Các bài toán PT-HPT liên quan đến tham số pdf

BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số.. Trong chương này chúng ta s

BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ

Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó… ) và phương pháp giải các dạng toán đó là khảo sát hàm số

Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có

nghiệm trên D

Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm ⇔ hai đồ thị của hai hàm số y f x= ( ) và y g m= ( ) cắt nhau Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:

1) Lập bảng biến thiên của hàm số y f x= ( )

2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng y g m= ( ) cắt đồ thị hàm sốy f x= ( )

Chú ý : Nếu hàm số y f x= ( ) liên tục trên D và tồn tạimin ( )

Ví dụ 4.2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

1) 4 4x −13x m x+ + − =1 0

2) x x + x +12 =m( 5− +x 4−x) Giải: 1) Phương trình ⇔ 4 4x −13x m+ = −1 x 4 2 1 13 (1 ) x x x m x  ≤  ⇔  − + = −  3 2 1 4 6 9 1 x x x x m  ≤  ⇔  − − = −  Xét hàm số f x( ) 4= x3 −6x2 −9x với x ≤1 Ta có: 2 3 2 '( ) 12 12 9 '( ) 0 1 2 x f x x x f x x  =  = − − ⇒ = ⇔   = −  Bảng biến thiên: x −∞ −1 / 2 1

f’(x) + 0 –

f(x) 52

−∞ −11 Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm

1

⇔ − ≤ ⇔ ≥ −

2) Điều kiện:0≤ ≤x 4

Khi đó phương trình ⇔ f x( ) (= x x + x +12)( 5− −x 4−x)=m

(Vì 5− −x 4− ≠x 0)

Xét hàm số f x( ) (= x x + x +12)( 5− −x 4−x) vớix D∈ =  0;4

< − < − ⇒ − >

'( ) 0 [0;4)

⇒ > ∀ ∈ Vậy f(x) là hàm đồng biến trên D

Vậy phương trình đã cho có nghiệm ⇔2 3( 5 2)− ≤m ≤12.

Chú ý : Khi gặp hệ bất phương trình trong đó một bất phương trình của hệ

không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết bất phương trình này trước Từ bất phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm x D∈ (đối với hệ một ẩn) hoặc

sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên

Ví dụ 4.3: Tìm m để hệ sau có nghiệm:

2 4 5 2

⇒ có nghiệmx ≤1

Suy ra hệ có nghiệm ⇔(2) có nghiệmx ≤1

2

x

− +

− Xét hàm số f(x) vớix ≤1, có:

2

2

( 2)

x

− +

Bảng biến thiên

x −∞ 2− 3 1

f’(x) + 0 –

f(x) 2 2 3−

−∞ −2

Dựa vào bảng biến thiên ⇒ hệ có nghiệm⇔m ≤ −2 2 3 Ví dụ 4.5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2 0 (1)

2 (2)

x y m

y xy

 − + =



Giải:

Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước

2

y

x

y

 ≤



=





Thay vào (1) ta được:

(3)

Hệ có nghiệm ⇔(3) có nghiệmy ≤2 Xét hàm số f y với ( ) y ≤2

Ta có:

2

4

y

= > ⇒ đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 0) (0;2]−∞ ∪

lim ( ) 4; lim ( ) ; lim ( )

y f y y f y y f y

Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải

lưu ý: Số nghiệm của phương trình f x( )=g m( ) chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số y f x= ( ) vày g m= ( ) Do đó phương trình có k nghiệm ⇔hai

đồ thị trên cắt nhau tại k giao điểm

Ví dụ 4.6: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm

⇔ − > − ⇔ <

Ví dụ 4.7: Tìm m để phương trình : m x2 + = +2 x mcó ba nghiệm phân biệt

Giải:

Phương trình 2

2

2 1

x

x

+ −

(do x2 + − > ∀2 1 0 x)

Xét hàm số

2 2

2 2

2 1

2

x x

+ − −

+

2

2

x

+  + − 

Bảng biến thiên:

x −∞ − 2 2 +∞

f’(x) – 0 + 0 –

f(x) +∞ 2

− 2 −∞

Dựa vào bảng biến thiên⇒ − 2 <m < 2

Ví dụ 4.8: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình : mx2 + =1 cosxcó đúng một nghiệm 0;

2

x ∈  π 

 

Giải:

Ta thấy để phương trình có nghiệm thìm ≤0 Khi đó:

Phương trình

2

sin

−

 

 

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

x x x

+ − ++

1

4

3

x



≥





2

2 (1 )

1

x x

f x

x

x x

+

−  + − 

và lim ( ) 1

x f x

→+∞ =

Bảng biến thiên

x

−∞ 4

3 +∞

f’(x) + 0 −

f(x) 54

1 − 1 Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

• Nếu

5 4 1

m

m

 >

 ≤ −



phương trình vô nghiệm

• Nếu

5 4

m

m

 =

− < ≤



phương trình có một nghiệm

• Nếu 1 5

4

m

< < ⇒phương trình có hai nghiệm phân biệt

Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài

toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm Cụ thể:

* Khi đặtt u x x D= ( ), ∈ , ta tìm được t Y∈ và phương trình f x m( , ) 0= (1) trở thành g t m( , ) 0= (2) Khi đó (1) có nghiệm x D∈ ⇔ (2) có nghiệm

t Y∈

* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm u(x) )

* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x

và t , tức là mỗi giá trị t Y∈ thì phương trình u x( )=t có bao nhiêu nghiệm

2

t∈ , cóf t'( ) 2 2 0= t − > ⇒ f t'( ) 0= ⇔ =t 1 Bảng biến thiên:

t

0 1 9

2f’(t) − 0 +

Đặt t = 3+ +x 6− ⇒x t2 = +9 2 (3+x)(6−x)

t(x) 3 2

3 3 Dựa vào bảng biến thiên⇒ ∈t [3;3 2]

++

Vậy phương trình có nghiệm⇔m >1

Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi

xác định miền xác định của t Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm

miền xác định của t Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách

Phương trình đã cho có nghiệm trên [1;3 ]3 ⇔(2)có nghiệm1≤ ≤t 2 Xét hàm số f t( )=t2 +t với 1≤ ≤t 2, ta thấy f t là hàm đồng biến trên ( )đoạn  1;2 Suy ra2 = f(1)≤ f t( )≤ f(2) 5 = ∀ ∈t [1;2]

Vậy phương trình có nghiệm 2 2 2 5 0 3.

Yêu cầu bài toán ⇔(3) có nghiệm t >1

Ví dụ 4.13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2

3 211

1

t x

t t x

Chú ý : Chắc có lẽ các bạn sẽ thắc mắc vì sao lại nghĩ ra các đặt như vậy ?

Mới nhìn vào có vẻ thấy cách đặt t ở trên thiếu tự nhiên Thực chất ra các đặt

ở trên ta đã bỏ qua một bước đặt trung gian Cụ thể:

α α

2

3 2

11

1

t x

t t x

Đến đây chắc các bạn thấy cách đặt ở trên hoàn toàn

rất tự nhiên phải không?!

Ví dụ 4.14: Xác định giá trị của tham số m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt

Từ cách đặt t ta có: (x −1)2 =2t − ⇒4 Với mỗi giá trị t∈(2;3) thì cho ta đúng một giá trị x ∈(1;3) Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt x ∈(1;3)⇔ (3)

có 2 nghiệm phân biệt t∈(2;3) Xét hàm số f t( )=t2 −5t với t∈(2;3)

5'( ) 2 5 '( ) 0

Giải: Vì x =0 không phải là nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho x ta được: 3 (x3 13) 3(x2 12) 6(x 1) a 0

* Nếu t = ±2 thì phương trình (3) có một nghiệm

*Nếu t >2 thì với mỗi giá trị của t cho tương ứng hai giá trị của x

Nên (1) có đúng hai nghiệm phân biệt ⇔ (2) hoặc có đúng hai nghiệm t =2

2

TH 1: Nếu (2) có đúng hai ngiệm 2 6

27 +∞

−∞ 22 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (2) có đúng một nghiệm t >2

⇒(1) có bốn nghiệm phân biệt ⇔(2) có đúng hai nghiệm t∈(0;1]

⇒ (2) có hai nghiệm phân biệt (0;1] 2 5 1

• Nếu t = ⇒1 (*) có một giá trị x =0

• Nếu t > ⇒1 (*) có hai giá trị x

⇒Số nghiệm của (1) phụ thuộc vào số nghiệm t ≥1 của (3)

* Nếu −2m < ⇔0 m > ⇒0 (3) vô nghiệm ⇒(1) vô nghiệm

* Nếu m = ⇒0 (3) có một nghiệm t = ⇒1 (1) có một nghiệm x = 0

* Nếu m < ⇒0 (3) có một nghiệm t > ⇒1 (1) có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 4.17: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình :

2

1 1

2 2

Ví dụ 4.18: Hãy biện luận số nghiệm thực x y của hệ phương trình sau theo ,tham số a b : , 32 4 2 2 3 2

* Nếu a b≠ = ⇒0 hệ vô nghiệm

* Nếu b ≠ 0, ta thấy y =0 không là nghiệm của hệ nên ta đặt x ty=

4

b

x y= = )

t t

Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình f x ( ) ( ) > g m có nghiệm

trên D

Phương pháp: Với dạng toán này trước hết ta đi khảo sát và lập bảng biến

thiên của hàm số f x trên D, rồi dựa vào các tính chất sau để chúng ta định ( )giá trị của tham số:

1) Bất phương trình f x( )≥g m( ) có nghiệm trên D max ( ) ( )

2max ( )

3 +∞

2 (3)

⇒ có nghiệm t > ⇔0 2m ≥ ⇔2 m ≥1

Vậy m ≥1 là những giá trị cần tìm

t = x ⇒ > ∀ >t x

+∞ +∞

6 (2.3) có nghiệmt > ⇔1 m ≥ 6

2max ( ) (2)

max ( )f t f(0) 4

Vậy bất phương trình có nghiệm⇔m ≤4

Ví dụ 4.22: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

Ví dụ 4.24: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng∀ ∈x R

Yêu cầu bài toán ⇔(*) nghiệm đúng∀ ∈t [0;5]

Xét hàm số f t( )=t2 +t vớit∈[0;5], ta thấy f t là hàm đồng biến trên ( )

Ví dụ 4.26: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi | | 1

4 +∞

3 Vậy

Ta thấy x =0 luôn là nghiệm của bất phương trình

Với x >0 bất phương trình đã cho

Bài 4 1:Cho phương trình: 5 2x −34x a+ −4(x −1)(x −33) 1=

1 Giải phương trình khi a =64

2 Tìm a để phương trình có nghiệm

Bài 4 2: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

1 2

2

4− −x k log x −2x +3 2+ − +x x log 2x k− +2 =0

Bài 4 3: (ĐHXD-1994) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

sin x +cos x m= sin 2x

Bài 4 4: (ĐHGTVT-1999) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Bài 4 9: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực

Bài 4 17: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

Bài 4.18: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

Bài 4.29: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈   0;1