tài liệu giúp bạn ôn thi đại học môn toán
Trang 1Các bài tóan có liên quan đến nhị thưcù N ewTon
1.Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển (x +2 1)n bằng 1024.Tìm hệ số a của số hạng x12 trong khai triển đó?
Giải
0
1 n n k k
n k
=
C +C x +C x + +C x
Tổng tất cả các hệ số của khai triển là:
C +C + +C = + =2n =1024 ⇒ =n 10
Hệ số của x12⇒ =k 6
Vậy hệ số là: 6
C =
2.Trong khai triển nhị thức 3 1528
n
x x x−
⎛ +
⎜
⎞
⎟
9
,hãy tìm số hạng không phụ thuộc x,biết
(1)
C +C − +C − =
Giải
(1) 1 n 1 n 2 7
1
n
n
C −
+
( 1 !2!1 !) 78
n
n
+
−
156
1 !
n
−
13 0( ) 12
n
= − <
⎡
⇔ ⎢ =
⎣
( )
12
k o
x x x− C x− x
=
= 12 112 165 5
12 0
k k
k
C x− +
=
∑
Số hạng không phụ thuộc x 112 16 0
Vậy số hạng không phụ thuộc x là: 7
C =
Trang 23.Tìm số hạng không chứa x của khai triển
17 3 4
3 2
x
+
Giải
17 3
4
3 2
x
+
⎝ ⎠ = 17 23(17 ) 34
17 0
k k k
k
C x− − x
=
∑
= 17 34 173 12
17 0
k k
k
C x− +
=
∑
số hạng không chứa x 34 17 0
3 12k
Vậy số hạng không chứa x là: 8
17 24310
C =
4.Tìm hệ số của x10 trong khai triển
5 3
2
2
x
0
Giải
5
3
2
2
3x
x
−
⎝ ⎠ = 5 ( ) (3 5 2)
5 0
k k
=
−
∑
5 0
3 ( 2)
k
=
−
∑
5k 10 k 1
1 4
5.3 ( 2)− = −810
x10 nên 15
Vậy hệ số của x10 là C
5.Tìm hệ số của x2 trong khai triển
10 3
1
x
Giải
10
3
1
x
⎛ + + ⎞
10 0
k k
C x x
=
⎛ + ⎞
∑
10
k
k i
k
i
0
10
k
k i k k
∑ ∑
x2 nên − +k 4i= ⇔ = −2 k 4 2i
mà 0≤ ≤k 1
0 4 2 10i
⇔ ≤ − ≤
2 i
Trang 3i
⇒ =
i= ⇒ =k
i
i= ⇒ =k
i
i= ⇒ =k
Vậy hệ số của x2 là: 2 1 6 2 10 3
6.CMR: 0 2 2 4 4 2 2 2 1( 2 )
2 2 3 2 3 2n3 n 2 n 2 n 1
=2 22 1n− 2n+22 1n− =24 1n− +22 1n− 2
Giải
2 2 3 2 3 2n3 n
Ta có:
( )2 2
2 0
n k
=
3 :
x =
i
2 2 3 2 3 2n3 n
=
2
4 n
3 :
x = −
i
2
( 2) n
⇒ − =A – B (2)
(1)&(2)⇒ 2A=42n+ −( 2)2n
⇒ A=42 ( 2)2 24 22 24 1 22 1
n− n−
1
n−
n n
1
n
x −
n n nC
⇒ đpcm
7.CMR: 13n 1 2 32 n 2 3 33 n 3 n 4
Giải
Trong đó n là số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1
Đặt f(x)=(3+x)n
Ta có: (3+x)n =
0
3
n
k n k k n k
=
∑
= 0 13n 1 23n 2 2 33n 3 3
f’(x) =n(3+x) n-1
= 13n 1 2 32 n 2 3 33 n 3 2 n
f’(1)=n.4n− 1
= 13n 1 2 32 n 2 3 33 n 3
⇒đpcm
Trang 48
a)Tính 2( )
0 1+x dx n
∫
b)CMR:2 0 22 1 23 2 2 1 3 1 1
n n
n
+ +
1
−
Giải
a) 2( )
0 1+x dx n
0 1
n x n
+
+
1
n n
+ − + b)Ta có:
0
n k
=
= 0 1 2 2 n n
C +C x C x+ + +C x
x dx C C x C x C x dx
0
n n
n
+
+
=
=2 0 22 1 23 2 2 1
n n
n
+
+
=3 1 1 1
n n
+ − +
⇒ đpcm
9.Với mỗi số tự nhiên n tính tổng:
S = 0 1 12 1 2 22 1 2
n n
n
+ Giải
Ta có:
0
(1 2 )n n k k2
n k
k
=
x dx C C x C x C x dx
1
0
n
n n n
+
+
1
n
n n
+
Trang 5Vậy S =
1
n
n
+
−
10.Giải phương trình,hệ phương trình,bất phương trình:
4
C − −C − − A− =
b)
2
y y
x x
x
C
+
⎪
⎨
=
⎪⎩
Giải
a)
Đk:
1 4
1 3
2 2
n
n
n
− ≥
⎧
⎪ − ≥
⎨
⎪ − ≥
⎩
5;
4!( 5)! 3!( 4)! 4 ( 4)!
4!( 4)!( 5) 3!( 4)! 4 ( 4)!
( 4)! 24( 5) 6 4
24(n−5) 6 4− n− =
2
30n +206n−279 0=
⇔ −
153
y y
x x
x
C
+
⎪
⎨
=
⎪⎩
2 2
x y
x
x y
x y x
≥
⎧
≥
⎧
⎪ ≥ + ⇔
⎪ ≥
⎩
2!( 2)!
x
x C
x
−
( 2)!( 1) 153
2! 2 !
x x x x
−
18
17 0( )
x
=
⎡
⇔ ⎢ = − <
⎣
! 18 ! ( 2)! 16 !
y y
x x
C C
y y y y
+
Trang 6( ) 1 1 ( )
! 16 !(17 )(18 ) !( 1)( 2) 16 !
y y y y y y y y
(17 y)(18 y) (y 1)(y 2)
306 35y y y 3y 2
2
2A x A x C x
x
Đk:
0
3 2
3
x
x
x x
x
≠
⎧
⎨ ≥
⎪
⎪ ≥
⎩
bpt
x x x x
1 (2 2)!(2 1)2 ( 2)!( 1) 6 ( 3)!( 2)( 1) 10
x x x x x x x x x x
0 (2x 1)x (x 1)x (x 2)(x 1) 1
2x x x x x 3x
3x 12 0
⇔ − + ≥ ⇔ ≤x 4
{ }
Vậy nghiệm của bpt là ≤ ≤ ⇔ =x x 3;4