File câu hỏi 9 10 4

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9 10 ĐIỂM Dạng 1 Bài toán liên qu[.]

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại: 0946798489

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Dạng 1 Bài toán liên quan đến mặt cầu – mặt phẳng – đường thẳng

Câu 1 (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A4;6; 2 và B2; 2;0  và

mặt phẳng  P :x  y z 0 Xét đường thẳng d thay đổi thuộc  P và đi qua B , gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định

Biết đường thẳng  cắt mặt cầu  S tại hai điểm phân biệt A B, sao

cho AB 8 Giá trị của m là

A   S : x22y42z321 B   S : x22y42z326

C   : 22  42  32 2

7

S x  y  z  D   S : x22y42z428

Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   S : x22y32z42 14 và mặt phẳng

  :x3y2z  Biết đường thẳng 5 0  nằm trong   , cắt trục Ox và tiếp xúc với  S

Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ?

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Câu 7 (Chuyên Thái Bình 2019) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;1;1 , B2; 2;1

và mặt phẳng  P :x y2z  Mặt cầu 0  S thay đổi qua , A B và tiếp xúc với  P tại H Biết

H chạy trên 1 đường tròn cố định Tìm bán kính của đường tròn đó

Ba điểm A, B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho

MA, MB , MC là tiếp tuyến của mặt cầu Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua điểm  D1;1; 2 Tổng Tx02y02z02 bằng

Câu 11 Trong không gian Oxyz, cho điểm E2;1;3, mặt phẳng  P : 2x2y  z 3 0 và mặt cầu

  S : x32y22z5236 Gọi  là đường thẳng đi qua E, nằm trong  P và cắt

 S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất Phương trình của  là

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

đường thẳng qua E, nằm trong mặt phẳng  P và cắt  S tại 2 điểm phân biệt A B, sao cho 2

AB  Phương trình đường thẳng  là

A

1 221

S x y z x y Gọi  là đường thẳng đi qua

A và  nằm trong mặt phẳng  P và cắt mặt cầu  S tại hai điểm B , C sao cho tam giác IBC

có diện tích lớn nhất, với I là tâm của mặt cầu  S Phương trình của đường thẳng  là

d   Phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng d và cắt mặt phẳng  P theo thiết

diện là đường tròn tâm K , bán kính r  5 là

 Cho các phát biểu sau đây:

I Đường thẳng d cắt mặt cầu  S tại 2 điểm phân biệt

II Mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S

III Mặt phẳng  P và mặt cầu  S không có điểm chung

IV Đường thẳng d cắt mặt phẳng  P tại một điểm

Trang 4

Câu 19 (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng

x t

d y t z

Viết phương trình mặt cầu  S có bán kính nhỏ nhất

tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2

Câu 22 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho

điểm M  3;3; 3  thuộc mặt phẳng   : 2x2y z 15 0 và mặt cầu

  S : x22y32z52100 Đường thẳng  qua M , nằm trên mặt phẳng   cắt  S

tại ,A B sao cho độ dài AB lớn nhất Viết phương trình đường thẳng 

C  Gọi D là điểm khác O sao cho DA , DB , DC đôi một vuông góc nhau và I a b c  ; ; 

là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính S    a b c

Câu 24 (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian Oxyz, cho  P :2xy2z  , 1 0

0;0; 4 , 3;1; 2

A B Một mặt cầu  S luôn đi qua A B, và tiếp xúc với  P tại C Biết rằng, C

luôn thuộc một đường tròn cố định bán kính r Tính bán kính rcủa đường tròn đó

A Đáp án khác B

4

2 2446513

Trang 5

Câu 25 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình

chóp S ABCD với S1; 1;6 , A1;2;3, B3;1;2, C4;2;3, D2;3;4 Gọi I là tâm mặt cầu

 S ngoại tiếp hình chóp Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng SAD 

Câu 27 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt

phẳng  P :x2y2z  và mặt cầu 3 0  S tâm I5; 3;5 , bán kính R 2 5 Từ một điểm

A thuộc mặt phẳng  P kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu  S tại B Tính OA biết

Ba điểm A, B , C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA, MB , MC là tiếp

tuyến của mặt cầu Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua  D1;1; 2 Tổng T x02y02z02 bằng

Câu 30 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x2y2z2 9

và điểm M x 0; ; y0 z0thuộc đường thẳng

Ba điểm A , B , C phân biệt cùng

thuộc mặt cầu sao cho MA , MB , MC là tiếp tuyến của mặt cầu Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua D1; 1; 2 Tổng T x02y02z02 bằng

Trang 6

Câu 32 Cho hai đường thẳng

2:

Câu 33 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d

là giao tuyến của hai mặt phẳng   :x my  z 2m  và 1 0   :mxymzm 2 0 Gọi

 là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng Oxy Biết rằng với mọi số thực  m thay đổi thì đường thẳng  luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định Tính bán kính R của đường tròn đó

S x  y  z  x  y  z   cắt nhau theo đường tròn  C Hỏi có bao nhiêu mặt cầu

có tâm thuộc mặt phẳng chứa  C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM?

m

S x y z  m x my mzm  Biết rằng với mọi số thực m thì S m luôn chứa một đường tròn cố định Tính bán kính r của

Oxyz, cho mặt câu   2 2

MA MB MC đến mặt cầu  S ( A B C, , là các tiếp điểm) thỏa mãn  60AMB  , 90BMC  ,

Trang 7

là tâm của mặt cầu  S1 và  P là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu  S1 và  S2 Xét các điểm M thay đổi và thuộc mặt phẳng  P sao cho đường thẳng IM tiếp xúc với mặt cầu  S2 Khi đoạn thẳng AM ngắn nhất thì M a b c Tính giá trị của T ; ;  a b c 

d và tiếp xúc với  S Gọi M , N là tiếp điểm H a b c là trung điểm của  ; ;  MN.Khi đó tích

 Có bao nhiêu điểm M thuộc trục hoành, với hoành độ là số nguyên,

mà từ M kẻ được đến  S hai tiếp tuyến cùng vuông góc với d ?

Câu 42 (Mã 101-2022) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S tâm I1;3;9 bán kính bằng 3 Gọi

M, N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox, Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với  S , đồng thời

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng 13

2 Gọi A là tiếp điểm của MN và  S , giá trị

AM AN bằng

Câu 43 (Mã 102 - 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S tâm I4;1; 2 bán kính bằng 2 Gọi

M ; N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox ; Oy sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với  S , đồng thời

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng 7

2 Gọi A là tiếp điểm của MN và  S , giá trị

 và mặt cầu   S : x22y12z12 6 Hai mặt phẳng    P , Q chứa

d và cùng tiếp xúc với  S lần lượt tại , A B Gọi I tà tâm mặt cầu  S Giá trị cos AIB bằng

3

Trang 8

Câu 45 (THPT Hương Sơn - Hà Tĩnh - 2022) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng

A 2 

B 3

C 2

D 3

Câu 47 (Sở Bạc Liêu 2022) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu

  S : x12y12z229 và điểm M1;3; 1 , biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ

M tới các mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn  C có tâm J a b c Giá trị  ; ;  T 2a b c  bằng

Ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao choMA MB MC là , ,

tiếp tuyến của mặt cầu Biết rằng mặt phẳng (ABC đi qua điểm ) D(1;1; 2) Tổng T x02y02z02 bằng

A 21

B 30

C 20

D 26

Câu 49 (THPT Kim Liên - Hà Nội - 2022) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

 P : 2x2y   và mặt cầu z 5 0  S có tâm I1; 2; 2  Biết  P cắt  S theo giao tuyến là đường tròn

 C có chu vi 8π Tìm bán kính của mặt cầu  T chứa đường tròn  C và  T đi qua điểm M1;1;1

Câu 50 (Sở Phú Thọ 2022) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (2; 2; 6), (3; 3; 9) A  B  và mặt phẳng

( ) : 2P x2y z 12 Điểm M di động trên ( )0 P sao cho MA MB luôn tạo với ( ), P các góc

bằng nhau Biết rằng điểm M luôn thuộc một đường tròn cố định Tung độ của tâm đường tròn

đó bằng

A 0

Trang 9

Biết rằng khi a thay đổi thì luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua điểm M(1;1;1) và

tiếp xúc với đường thẳng  Tìm bán kính của mặt cầu đó

3:

3

 Có bao nhiêu điểm M thuộc

trục tung, với tung độ là số nguyên, mà từ M kẻ được đến  S hai tiếp tuyến cùng vuông góc với d ?

Trang 10

Gọi  S là mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ABC tại A và tiếp xúc với cạnh  SB Khi đó bán kính mặt cầu

 S thuộc khoảng nào sau đây?

Câu 58 (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2022) Trong không gian Oxyz , cho hình lăng trụ tam giác

đều ABC A B C 1 1 1 có A1( 3; 1;1) , hai đỉnh ,B C thuộc trục Oz và AA11, (C không trùng với O) Biết ( ; ;1)

S x  y z  cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn  C và mặt

phẳng  P :zm  Gọi T là tập hợp các giá trị của 0 m để trên mặt phẳng  P dựng được một tiếp tuyến

 Hai mặt phẳng    P , Q chứa đường

thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu  S lần lượt tại M N Gọi , H a b c là trung điểm của  ; ;  MN Khi đó tổng a b c  bằng

a  thuộc d sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến MA MB MC đến mặt cầu ,  S ( , , A B C là các tiếp điểm)

thỏa mãn AMB 60 , BMC  90, CMA  120 Tổng a b c  bằng

A 10

Trang 11

Dạng 2 Bài toán cực trị

1 Một số bất đẳng thức cơ bản

Kết quả 1 Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn

Kết quả 2 Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường

thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất Như trong hình vẽ ta luôn có AM  AH

Kết quả 3 Với ba điểm A B C, , bất kì ta luôn có bất đẳng thức ABBCAC

Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với n điểm A A1, 2, A ta luôn có n

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy

Kết quả 5 Với hai véc tơ a b ,

ta luôn có a b   a b 

Đẳng thức xảy ra khi akb k, 



2 Một số bài toán thường gặp

Bài toán 1 Cho điểm A cố định và điểm Mdi động trên hình  H (  H là đường thẳng, mặt phẳng) Tìm

giá trị nhỏ nhất của AM

Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của Alên hình  H Khi đó, trong tam giác AHM

Vuông tại Mta có AM AH

Đẳng thức xảy ra khi MH Do đó AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên  H

Bài toán 2 Cho điểm A và mặt cầu  S có tâm I, bán kính R, M là điểm di động trên  S Tìm giá trị

Vậy minAM |AIR|, maxAM RAI

Bài toán 3 Cho măt phẳng ( )P và hai điểm phân biệt A B, Tìm điể M thuộc ( )P sao cho

1 MA MB nhỏ nhất

2 |MA MB | lớn nhất

Lời giải

1 Ta xét các trường hợp sau

Trang 12

- TH 1: Nếu A và B nằm về hai phía so với ( )P Khi đó

AMBM AB

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( )P

- TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( )P Gọi A đối xứng với A qua ( )P Khi đó

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( )P

- TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với ( )P Gọi A'đối xứng với Aqua  P , Khi đó

|AMBM| A M BM A B

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( )P

Bài toán 4 Viết phương trinh măt phẳng ( )P di qua A và cách B một khoảng lớn nhất

Lời giải Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( ),P khi đó

d( , ( ))B P BH BA

Do đó  P là mặt phẳng đi qua Avuông góc với AB

Bài toán 5 Cho các số thực dương  , và ba điểm A B, , C Viết phương trình măt phẳng

Đến đây ta chuyển về trường hợp trên

So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất

Bài toán 6 Trong không gian cho n điểm A A1, 2,,A n và diểm A Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và tổng khoảng cách từ các điểm A i i( 1,n ) lớn nhất

Trang 13

Đến đây ta chuyển về bài toán trên

Bài toán 7.Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua đường thẳng  và cách Amột khoảng lớn nhất

Lời giải Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( )P và đường thẳng  Khi đó

d( , ( ))A P AHAK

Do đó ( )P là mặt phẳng đi qua K và vuông góc vói AK

Bài toán 8 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A A1, 2,,A n Xét véc tơ

w MA M A  M A

Trong đó  1; 2 nlà các số thực cho trước thỏa mãn 12 n0 Tìm điểm

M thuôc măt phẳng ( )P sao cho |w|

M P nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( )P

Bài toán 9 Trong không gian Oxy z, cho các diểm A A1, 2,,A n Xét biểu thức:

Trang 14

• với 12n 0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất

• với 12n 0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất

Mà M( )P nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( )P

Bài toán 10 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( )P cắt nhau Viết phương trình của mặt phẳng ( )Q chứa d và tạo với mặt phẳng ( )P một góc nhỏ nhất

Lời giải Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( )P và lấy điểm Md M, I Gọi H K,

lầ lượt là hình chiếu của M lên ( )P và giao tuyến  của ( )P và ( )Q

  Khảo sát f t( ) ta tìm được max của f t( )

Bài toán 11 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d chéo nhau Viết phương trinh mặt phẳng ( )P chứa d và tạo với d một góc lớn nhất

Lời giải Trên đường thẳng d , lấy điểm M và dựng đường thẳng  đi qua M song song với d

Khi đó góc giữa  và ( )P chính là góc giữa d và ( )P

Trên đường thẳng , lấy điểm A Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên ( )P và d, là góc giữa

Trang 15

Chú ý Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đại số như sau:

  Khảo sát f t( ) ta tìm được max của f t( )

Dạng 2.1 Cực trị liên quan đến khoảng cách, góc

Câu 1 (Mã 101 - 2019) Trong không gianOxyz, cho điểm A0; 4; 3  Xét đường thẳng d thay đổi,

song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ

nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?

A Q0;5; 3   B P  3;0; 3   C M0; 3; 5    D N0;3; 5  

Câu 2 (Mã 103 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A0;3; 2 Xét đường thẳng  d thay đổi

song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2 Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất d đi

qua điểm nào dưới đây?

A Q0;2; 5  B M0; 4; 2  C P  2;0; 2  D N0; 2; 5  

Câu 3 (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A0; 4; 3  Xét đường thẳng d thay đổi,

song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3 Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?

A N0;3; 5  B M0; 3; 5   C P  3; 0 ; 3  D Q0;11; 3 

Câu 4 (Mã 104 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A0;3; 2   Xét đường thẳng d thay đổi,

song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 2 Khi khoảng cách từ A đến d lớn

nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?

Câu 6 Trong không gian Oxyz , cho điểm A1;1; 2 và mặt phẳng   P : m1xymz  , với 1 0 m

là tham số Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P lớn nhất Khẳng định đúng trong bốn

khẳng định dưới đây là

A 2m6 B m 6 C  2 m2 D  6 m2

Câu 7 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai

điểm A(1;1;1), B(2; 0;1) và mặt phẳng ( ) :P  x y2z20 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng ( )P sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất

x y z

d    



Tiêu đề	Bài toán liên quan đến mặt cầu – mặt phẳng – đường thẳng
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Tài liệu ôn thi THPTQG
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Bình Dương

Định dạng
Số trang	30
Dung lượng	864,35 KB