File câu hỏi 9 10 2

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9 10 ĐIỂM Dạng 1 Một số bài toán[.]

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại: 0946798489

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Dạng 1 Một số bài toán liên khác quan điểm – mặt phẳng – mặt cầu

Câu 1 (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) : (S x1)2(y2)2(z3)21 và điểm (2; 3; 4)

A Xét các điểm M thuộc ( ) S sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( ) S , M luôn thuộc mặt

phẳng có phương trình là

A 2x2y2z150 B xy z 70

C 2x2y2z15 D 0 x y z 7 0

Câu 2 (Sở Bắc Giang Năm 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A2; 2; 2  và mặt cầu

 S :x2y2z22 Điểm M di chuyển trên mặt cầu 1  S đồng thời thỏa mãn OM AM   6

Điểm M luôn thuộc mặt phẳng

nào dưới đây?

A 2x 2 y6z 9 0 B 2x2y6z 9 0

C 2x2y6z 9 0 D 2x 2 y6z 9 0

cầu  S : x12y12z12 và điểm 1 A(2; 2; 2) Xét các điểm M thuộc ( )S sao cho đường thẳng

AM luôn tiếp xúc với ( )S M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là

A x y z– 60 B x   y z 4 0 C 3x3y3 – 8z 0 D 3x3y3 – 4z 0

Câu 5 (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A1; 2;1, B3; 1;1  và

 1; 1;1

C   Gọi  S1 là mặt cầu có tâm A , bán kính bằng 2 ;  S2 và  S3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt

là B , C và bán kính đều bằng 1 Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu  S1 ,  S2 ,  S3

M N P  Gọi I a b c là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  ; ;  Oyz đồng thời 

đi qua các điểm M N P, , Tìm c biết rằng a  b c 5

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Chuyên đề 30

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Câu 8 (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H1; 2; 2  Mặt phẳng

  đi qua H và cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại các điểm A B C, , sao cho H là trực tâm của tam giác

ABC Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

2432

S x y z  x y z  cắt nhau theo đường tròn  C Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm

thuộc mặt phẳng chứa  C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN NP PM, ,

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A3;1;1 , B1; 1; 5  và mặt phẳng

 P : 2xy2z110 Mặt cầu  S đi qua hai điểm A B, và tiếp xúc với  P tại điểm C Biết C luôn

thuộc một đường tròn  T cố định Tính bán kính r của đường tròn  T

( )S Tính giá trị của T a b c  d khi thiết diện qua trục của hình nón (N) có diện tích lớn nhất

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Câu 21 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho mặt cầu

  S : x12y12z12 1 và điểm A  2;2;2  Xét các điểm M thuộc mặt cầu   S sao cho đường thẳng AM luôn tiếp xúc với   S M luôn thuộc mặt phẳng cố định có phương trình là

Trang 4

S x  y z  Có tất cả bao nhiêu điểm A a b c ( ; ;  a , c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng

có phương trình y 2 2 sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của 0  S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

Câu 26 (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  S : x12y12z12 9 và điểm A2; 3; 1  Xét các điểm M thuộc  S sao cho đường thẳng

AM tiếp xúc với  S Hỏi điểm M luôn thuộc mặt phẳng nào có phương trình dưới đây?

A 3x4y 2 0 B 3x4y 2 0 C 6x8y11 0 D 6x8y11 0

Câu 27 (Chuyên ĐHSP - 2021) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu

  S1 : x22y32z12 4 và   S2 : x32y12z121 Gọi M là điểm thay đổi thuộc mặt cầu  S2 sao cho tồn tại ba mặt phẳng đi qua M, đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu  S theo ba đường tròn Giá trị lớn nhất của tổng chu vi ba đường tròn đó là 1

Câu 28 (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

  S : x12y32z42  và điểm 5 M1; 4; 2  Xét điểm N thuộc mặt cầu  S sao cho đường

thẳng MN tiếp xúc với mặt cầu  S Khi đó điểm N luôn nằm trên mặt phẳng có phương trình là:

Trang 5

phẳng cố định này chắn các trục tọa độ thành một tứ diện, tính thể tích của khối tứ diện đó

A B  và mặt phẳng ( ) :P xyz  Xét đường thẳng 0 d thay đổi thuộc ( )P và đi qua B ,

gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố

định Diện tích của hình tròn đó bằng

Câu 33 (THPT Cửa Lò – Nghệ An 2022) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng  P : 4y   và z 3 0mặt cầu   S : x42y42z22 4. Có bao nhiêu điểm M thuộc mặt phẳng Oxy với tung độ nguyên, mà từ điểm M kẻ được tiếp tuyến với  S đồng thời vuông góc với mặt phẳng  P

Câu 34 (Sở Vĩnh Phúc 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng

 P đi qua hai điểm A1;1;1 , B0; 2; 2 đồng thời cắt các tia Ox Oy lần lượt tại các điểm , M N (, M N ,không trùng với gốc tọa độ O thỏa mãn OM 2ON

các điểm , ,A B C phân biệt di động trên ( ) S sao cho MA MB MC là các tiếp tuyến của ( ), , S Mặt phẳng

(ABC luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây? )

H 

 

Trang 6

Câu 37 (Chuyên Hùng Vương – Gia Lai 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

Câu 38 (Sở Bình Thuận 2022) Trong không gian Oxyz , cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình

thang vuông tại A và ; B AD2AB2BC và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD Nếu )

2

Câu 39 (THPT Trần Quốc Tuấn - Quảng Ngãi - 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt

phẳng   đi qua điểm M1; 2;3và cắt các tia Ox Oy Oz lần lượt tại , ,, , A B C sao cho độ dài

hoành, đồng thời  S cắt mặt phẳng  P theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3 và  S cắt mặt

phẳng  Q theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng r Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu

 S thỏa mãn yêu cầu

S x  y  z  x  y  z m   và mặt phẳng   P : x  2 y z m     1 0 Có bao nhiêu số tự nhiên

m để không tồn tại điểm K nào thuộc mặt phẳng   P mà qua điểm K kẻ được đường thẳng   d cắt mặt cầu   S tại A B, thỏa mãn K A K B   16

Trang 7

Dạng 2 Cực trị

1 Một số bất đẳng thức cơ bản

Kết quả 1 Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn

Kết quả 2 Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường

thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất Như trong hình vẽ ta luôn có AM  AH

Kết quả 3 Với ba điểm A B C, , bất kì ta luôn có bất đẳng thức ABBCAC

Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với n điểm A A1, 2, A nta luôn có

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy

Kết quả 5 Với hai véc tơ a b ,

ta luôn có a b  a b

   

Đẳng thức xảy ra khi akb k, 



2 Một số bài toán thường gặp

Bài toán 1 Cho điểm A cố định và điểm Mdi động trên hình  H (  H là đường thẳng, mặt phẳng) Tìm

giá trị nhỏ nhất của AM

Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của Alên hình  H Khi đó, trong tam giác AHM

Vuông tại Mta có AM AH

Đẳng thức xảy ra khi MH Do đó AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên  H

Bài toán 2 Cho điểm A và mặt cầu  S có tâm I, bán kính R, M là điểm di động trên  S Tìm giá trị

Vậy minAM |AIR|, maxAM RAI

Bài toán 3 Cho măt phẳng ( )P và hai điểm phân biệt A B, Tìm điể M thuộc ( )P sao cho

Trang 8

AMBM AB

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( )P

- TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( )P Gọi A đối xứng với A qua ( )P Khi đó

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( )P

- TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với ( )P Gọi A'đối xứng với Aqua  P , Khi đó

|AMBM| A M BM A B

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( )P

Bài toán 4 Viết phương trinh măt phẳng ( )P di qua A và cách B một khoảng lớn nhất

Lời giải Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( ),P khi đó

d( , ( ))B P BH BA

Do đó  P là mặt phẳng đi qua Avuông góc với AB

Bài toán 5 Cho các số thực dương  , và ba điểm A B, , C Viết phương trình măt phẳng

Đến đây ta chuyển về trường hợp trên

So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất

Bài toán 6 Trong không gian cho n điểm A A1, 2,,A n và diểm A Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và tổng khoảng cách từ các điểm A i i( 1,n ) lớn nhất

Lời giải

- Xét n điểm A A1, 2,,A n nằm cùng phía so với ( ).P Gọi G là trọng tâm của n điểm đã cho Khi đó

Trang 9

- Trong n điểm trên có m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về phía khác (m k n ) Khi đó, gọi G1

là trọng tâm của m điểm, G2 là trọng tâm của k điểm G3 đối xứng với G1 qua A Khi dó

md , ( ) d , ( )

P G P k G P

Đến đây ta chuyển về bài toán trên

Bài toán 7.Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua đường thẳng  và cách Amột khoảng lớn nhất

Lời giải Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( )P và đường thẳng  Khi đó

d( , ( ))A P AHAK

Do đó ( )P là mặt phẳng đi qua K và vuông góc vói AK

Bài toán 8 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A A1, 2,,A n Xét véc tơ

w MA M A  M A

Trong đó  1; 2 nlà các số thực cho trước thỏa mãn 12 n0 Tìm điểm

M thuôc măt phẳng ( )P sao cho |w|

M P nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( )P

Bài toán 9 Trong không gian Oxy z, cho các diểm A A1, 2,,A n Xét biểu thức:

Vì 1GA122GA22n GA n2 không đổi nên

• với 12n 0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất

• với 12n0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất

Trang 10

Mà M( )P nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( )P

Bài toán 10 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( )P cắt nhau Viết phương trình của mặt phẳng ( )Q chứa d và tạo với mặt phẳng ( )P một góc nhỏ nhất

Lời giải Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( )P và lấy điểm Md M, I Gọi H K,

lầ lượt là hình chiếu của M lên ( )P và giao tuyến  của ( )P và ( )Q

  Khảo sát f t( ) ta tìm được max của f t( )

Bài toán 11 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d chéo nhau Viết phương trinh mặt phẳng ( )P chứa d và tạo với d một góc lớn nhất

Lời giải Trên đường thẳng d , lấy điểm M và dựng đường thẳng  đi qua M song song với d Khi đó góc giữa  và ( )P chính là góc giữa d và ( )P

Trên đường thẳng , lấy điểm A Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên ( )P và d, là góc giữa

Trang 11

Chú ý Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đại số như sau:

  Khảo sát f t( ) ta tìm được max của f t( )

Dạng 2.1 Cực trị liên quan đến bán kính, diện tích, chu vi, thể tích

Câu 1 (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3; 2; 6 ,  B0;1; 0 và mặt cầu   S : x12y22z3225 Mặt phẳng  P :axbycz20 đi qua A B, và cắt  S theo

giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất Tính T a b c 

A T  3 B T 4 C T  5 D T 2

Câu 2 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Mặt phẳng  P đi qua điểm M1;1;1 cắt các tia Ox , Oy,

Oz lần lượt tại A a ;0;0, B0; ; 0b , C0;0;c sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất Khi đó 

a b c bằng

Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A2;0;0, M1;1;1 Mặt phẳng  P thay đổi qua

AM và cắt các tia Oy , Oz lần lượt tại B , C Khi mặt phẳng  P thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt

giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

( ) :S x1  y2  z3 27 Gọi   là mặt phẳng đi qua 2 điểm A0; 0; 4 ,B2; 0; 0 và cắt

 S theo giao tuyến là đường tròn  C sao cho khối nón có đỉnh là tâm của  S , là hình tròn  C có thể

tích lớn nhất Biết mặt phẳng   có phương trình dạng ax by   z c 0, khi đó a b c  bằng:

Trang 12

tròn đáy là đường tròn giao tuyến của ( )P và ( )S Tính giá trị của T  a b c  d khi thiết diện qua trục của hình nón (N) có diện tích lớn nhất

CD  và A C D, , thẳng hàng Gọi S S1, 2 lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD Khi

đó tổng S1S2 có giá trị bằng bao nhiêu?

Câu 12 (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz mặt phẳng ,  P

đi qua điểm M1; 2;1 cắt các tia Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm , ,, , A B C ( , , A B C không trùng với gốc O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất Mặt phẳng  P đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A N0; 2; 2 B M0; 2;1 C P2; 0; 0 D Q2; 0; 1 

Trang 13

Câu 13 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng  P

đi qua điểm M9;1;1 cắt các tia Ox Oy Oz, , tại A B C, , (A B C, , không trùng với gốc tọa độ ) Thể tích tứ diện

OABC đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Câu 14 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho

mặt cầu  S :x2y2z2  Một mặt phẳng 3   tiếp xúc với mặt cầu  S và cắt các tia Ox, Oy , Oz lần lượt tại A, B, C thỏa mãn 2 2 2

( ) :P x  y z 0 và mặt cầu ( ) :S x2(y1)2(z2)21 Xét một điểm Mthay đổi trên mặt phẳng ( )P Gọi khối nón ( )N có đỉnh là điểm Mvà có đường tròn đáy là tập hợp các tiếp điểm vẽ từ Mđến mặt cầu

( )S Khi ( )N có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng chứa đường tròn đáy của ( )N có phương trình dạng

Câu 17 (Sở Lào Cai - 2021) Trong không gian Oxyz cho hai điểm (3; 2; 0);, A  B( 1; 2; 4). Xét trụ ( )T

nội tiếp mặt cầu đường kính AB và có trục nằm trên đường thẳng AB Thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì chứa đường tròn đáy đi qua điểm nào dưới đây?

2 ngoại tiếp tứ diện O ABC Khi tổng

OA OB OC đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng  đi qua tâm I của mặt cầu  S và song song với mặt

Tiêu đề	Một số bài toán liên quan đến quan điểm – mặt phẳng – mặt cầu
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu ôn thi
Năm xuất bản	2023

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	786,21 KB