Ebook toán rời rạc

TOÁN RÒ I RA C Pha m Tiến So n D à La t, 2005 2 Mu c lu c MO ’̇ D À̂U 6 1 PHÉP D É̂M 9 1 1 Các nguyên lý co bȧ’n cu̇’a phép d̄ếm 9 1 1 1 Nguyên lý tô̇’ng 9 1 1 2 Nguyên lý t́ıch 10[.]

TO ´ AN R ` O . I RA C

Pha.m Tiˆe´n So.n

Mu.c lu.c

1.1 C´ac nguyˆen l´y co ba˙’n cu˙’a ph´ep d¯ˆe´m 9

1.1.1 Nguyˆen l´y tˆo˙’ng 9

1.1.2 Nguyˆen l´y t´ıch 10

1.1.3 Nguyˆen l´y bao h`am-loa.i tr`u 13

1.2 Ho´an vi v`a tˆo˙’ ho p 15

1.3 C´ac thuˆa.t to´an sinh ra ho´an vi v`a tˆo˙’ ho p 20

1.4 Ho´an vi v`a tˆo˙’ ho p suy rˆo.ng 25

1.5 C´ac hˆe sˆo´ nhi th´u.c v`a c´ac d¯ˆo`ng nhˆa´t th´u.c 32

1.6 Nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo` cˆau 36

1.6.1 Nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo` cˆau (da.ng th´u nhˆa´t) 36

1.6.2 Nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo` cˆau (da.ng th´u hai) 37

1.6.3 Nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo` cˆau (da.ng th´u ba) 39

2 QUAN HˆE. 43 2.1 Quan hˆe hai ngˆoi 43

2.2 Quan hˆe v`a ma trˆa.n 48

2.3 Quan hˆe th´u tu 54

2.4 Quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng 62

2.5 Bao d¯´ong cu˙’a quan hˆe 69

2.6 Lattice cu˙’a c´ac phˆan hoa.ch 75

2.6.1 Thuˆa.t to´an giao c´ac phˆan hoa.ch 77

2.6.2 Thuˆa.t to´an trˆo.n c´ac phˆan hoa.ch 78

3 D- A.I SˆO´ BOOLE 81 3.1 Lattice 81

3.2 Latiice phˆan bˆo´ 90

3.3 D- a.i sˆo´ Boole 96

3.4 H`am Boole 103

3.5 Biˆe˙’u diˆe˜n c´ac h`am Boole qua hˆe tuyˆe˙’n, hˆo.i v`a phu˙’ d¯i.nh 107

3.6 Biˆe˙’u diˆe˜n tˆo´i thiˆe˙’u cu˙’a h`am Boole 111

3.6.1 Kh´ai niˆe.m 111

3.6.2 Phu.o.ng ph´ap ba˙’n d¯ˆo` Karnaugh 112

4 M ˜A TUYˆE´N T´INH 119 4.1 Mo.˙’ d¯ˆa` u 119

4.1.1 Kh´ai niˆe.m 119

4.1.2 M˜a ph´at hiˆe.n lˆo˜i 120

4.1.3 M˜a su.˙’a sai 121

4.2 C´ac kh´ai niˆe.m 122

4.3 Khoa˙’ng c´ach Hamming 131

4.4 Hˆo.i ch´u.ng 139

4.4.1 Gia˙’i m˜a d`ung ba˙’ng chuˆa˙’n 140

4.5 M˜a ho`an ha˙’o 143

4.6 M˜a Hamming 146

5 D- ˆ` THI.O 149 5.1 C´ac kh´ai niˆe.m 149

5.2 Dˆay chuyˆe` n v`a chu tr`ınh 154

5.3 Chu tr`ınh Hamilton v`a b`ai to´an ngu.`o.i du li.ch 162

5.3.1 Quy tˇa´c t`ım chu tr`ınh Hamilton 164

5.3.2 M˜a Gray 166

5.4 D- u.`o.ng d¯i v`a ma.ch 169

5.4.1 Thuˆa.t to´an 171

5.5 Ma trˆa.n biˆe˙’u diˆe˜n d¯ˆo` thi 173

5.5.1 Ma trˆa.n kˆe` 173

5.5.2 Ma trˆa.n liˆen thuˆo.c 175

5.6 D- ˇa˙’ng cˆa´u gi˜u.a c´ac d¯ˆo` thi 179

5.7 D- ˆo` thi phˇa˙’ng 181

6 C ˆAY 191 6.1 Mo.˙’ d¯ˆa` u 191

6.1.1 C´ac kh´ai niˆe.m 191

6.1.2 M˜a Huffman 192

6.2 Cˆay bao tr`um 197

6.2.1 Thuˆa.t to´an t`ım kiˆe´m theo chiˆe` u rˆo.ng x´ac d¯i.nh cˆay bao tr`um 198

6.2.2 Thuˆa.t to´an t`ım kiˆe´m theo chiˆe` u sˆau x´ac d¯i.nh cˆay bao tr`um 199

6.3 Cˆay bao tr`um nho˙’ nhˆa´t 200

6.3.1 Thuˆa.t to´an Kruskal 201

6.4 Liˆe.t kˆe cˆay 204 6.5 Cˆay nhi phˆan 208

MO ˙’ D . - ˆ ` U A

To´an ho.c r`o.i ra.c l`a mˆo.t bˆo phˆa.n cu˙’a To´an ho.c nhˇa`m nghiˆen c´u.u c´ac d¯ˆo´i tu.o ng r`o.i ra.c: nghiˆen c´u.u c´ac cˆa´u tr´uc r`o.i ra.c kh´ac nhau v`a c´ac phu.o.ng ph´ap gia˙’i c´ac vˆa´n d¯ˆe` c´o liˆen quan d¯ˆe´n c´ac cˆa´u tr´uc n`ay

Thˆong tin lu.u tr˜u v`a vˆa.n h`anh trong m´ay t´ınh du.´o.i da.ng c´ac t´ın hiˆe.u r`o.i ra.c (c´ac m´ay t´ınh liˆen tu.c chı˙’ l`a c´ac m´ay t´ınh tu.o.ng tu , chuyˆen du.ng) V`ı vˆa.y cˆong cu d`ung d¯ˆe˙’ biˆe˙’u diˆe˜n thˆong tin trong m´ay v`a xu.˙’ l´y c´ac thˆong tin n`ay l`a To´an ho.c r`o.i ra.c

Ngo`ai ra, c´ac phu.o.ng ph´ap v`a kˆe´t qua˙’ cu˙’a To´an ho.c r`o.i ra.c c´o thˆe˙’ d`ung d¯ˆe˙’ gia˙’i quyˆe´t tru c tiˆe´p nhiˆe` u vˆa´n d¯ˆe` d¯ˇa.t ra cu˙’a Tin ho.c nhu logic, h`am d¯a.i sˆo´ logic, tˆo˙’ ho p trˆen t`u To´an

ho.c r`o.i ra.c chuˆa˙’n bi sˇa˜n v`a cung cˆa´p c´ac cˆong cu., phu.o.ng ph´ap luˆa.n d¯ˆe˙’ gia˙’i quyˆe´t nhiˆe` u vˆa´n d¯ˆe` cu˙’a Tin ho.c C´o thˆe˙’ n´oi To´an ho.c r`o.i ra.c l`a ng`anh To´an ho.c co so.˙’ cho Tin ho.c Mu.c d¯´ıch cu˙’a gi´ao tr`ınh nhˇa`m cung cˆa´p mˆo.t sˆo´ cˆong cu To´an ho.c d¯ˆe˙’ bu.´o.c d¯ˆa`u d¯i v`ao Tin ho.c Gi´ao tr`ınh d¯u.o c tr`ınh b`ay mˆo.t c´ach d`an tra˙’i ho.n l`a d¯i sˆau v`ao mˆo.t vˆa´n d¯ˆe` cu thˆe˙’ Cuˆo´i mˆo˜i phˆa` n c´o c´ac b`ai tˆa.p nhˇa`m cu˙’ng cˆo´ nh˜u.ng kiˆe´n th´u.c d¯˜a ho.c Hy vo.ng rˇa`ng gi´ao tr`ınh n`ay d¯´ap ´u.ng d¯u.o c phˆa`n n`ao yˆeu cˆa`u ho.c tˆa.p cu˙’a c´ac ba.n sinh viˆen

Chu.o.ng 1: Ph´ep d¯ˆe´m D- ˆe` cˆa.p d¯ˆe´n c´ac phu.o.ng ph´ap co ba˙’n cu˙’a ph´ep d¯ˆe´m: Nguyˆen l´y t´ıch, nguyˆen l´y tˆo˙’ng, nguyˆen l´y bao h`am-loa.i tr`u., nguyˆen l´y c´ac chuˆo`ng chim bˆo` cˆau Ch´ung d¯´ong vai tr`o quan tro.ng trong Tin ho.c, chˇa˙’ng ha.n: d¯ˆe˙’ u.´o.c lu.o ng th`o.i gian thu c hiˆe.n cu˙’a mˆo.t thuˆa.t to´an ch´ung ta cˆa`n d¯ˆe´m sˆo´ th`o.i gian thi h`anh t`u.ng d`ong lˆe.nh hoˇa.c c´ac v`ong lˇa.p Ph´ep d¯ˆe´m c˜ung d¯´ong vai tr`o quan tro.ng trong l´y thuyˆe´t x´ac suˆa´t

Chu.o.ng 2: Quan hˆe Tr`ınh b`ay c´ac quan hˆe th´u tu , quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng v`a cuˆo´i c`ung

l`a quan hˆe tˆo˙’ng qu´at trˆen nh˜u.ng tˆa.p h˜u.u ha.n Ch´ung ta c˜ung x´et mˆo´i quan hˆe gi˜u.a c´ac quan hˆe v´o.i ma trˆa.n hay d¯ˆo` thi biˆe˙’u diˆe˜n n´o

Chu.o.ng 3: D - a.i sˆo´ Boole Thuˆa.t ng˜u “d¯a.i sˆo´ Boole” d¯u.o c su.˙’ du.ng d¯ˆe˙’ mˆo ta˙’ nhiˆe`u l˜ınh

vu c c´o liˆen quan, t`u tu duy logic v`a c´ac ba˙’ng chˆan tri d¯ˆe´n c´ac ph´ep to´an sˆo´ ho.c d¯u.o c thu c hiˆe.n bo.˙’i c´ac ma.ch d¯iˆe.n tu.˙’ Chu.o.ng n`ay bˇa´t d¯ˆa`u v´o.i mˆo´i quan hˆe gi˜u.a c´ac tˆa.p d¯u.o c sˇa´p th´u tu v`a c´ac lattice Kˆe´ tiˆe´p l`a d¯a.i sˆo´ Boole v`a vˆa´n d¯ˆe` cu c tiˆe˙’u ho´a h`am Boole

Chu.o.ng 4: M˜a tuyˆe´n t´ınh Gi´o.i thiˆe.u so lu.o c vˆe` l´y thuyˆe´t m˜a bao gˆo`m c´ac m˜a cho ph´ep ph´at hiˆe.n v`a su.˙’a sai D- ˆay l`a vˆa´n d¯ˆe` th`o.i su do su ph´at triˆe˙’n c´ac cˆong nghˆe m´o.i trong viˆe.c truyˆe` n v`a lu.u tr˜u d˜u liˆe.u

Chu.o.ng 5: D - ˆo` thi Chu.o.ng n`ay gi´o.i thiˆe.u mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m v`a b`ai to´an co ba˙’n cu˙’a l´y

thuyˆe´t d¯ˆo` thi nhu chu tr`ınh Euler, chu tr`ınh Hamilton, d¯u.`o.ng d¯i ngˇa´n nhˆa´t, t´ınh phˇa˙’ng cu˙’a d¯ˆo` thi

Chu.o.ng 6: Cˆay Nˆo.i dung ch´ınh cu˙’a chu.o.ng d¯ˆe` cˆa.p d¯ˆe´n nh˜u.ng vˆa´n d¯ˆe`: Xˆay du ng m˜a tˆo´i u.u Huffman, cˆay bao tr`um v`a hˆe c´ac chu tr`ınh d¯ˆo.c lˆa.p, cˆay bao tr`um tˆo´i thiˆe˙’u, liˆe.t kˆe cˆay Tˆoi d¯ˇa.c biˆe.t c´am o.n c´ac d¯ˆo`ng nghiˆe.p, d¯ˇa.c biˆe.t Th.s Trˆa`n Tuˆa´n Minh, c´ac ba.n b`e v`a c´ac sinh viˆen v`ı nh˜u.ng d¯´ong g´op cu˙’a ho trong qu´a tr`ınh biˆen soa.n gi´ao tr`ınh n`ay

Tˆoi chˆan th`anh c´am o.n ba.n d¯o.c vˆe` nh˜u.ng ´y kiˆe´n d¯ˆo´i v´o.i c´ac thiˆe´u s´ot khˆong thˆe˙’ tr´anh kho˙’i cu˙’a cuˆo´n s´ach

Pha.m Tiˆe´n So.n

Chu.o.ng 1

PH´ EP D - ˆ E ´M

To´an tˆo˙’ ho p nghiˆen c´u.u vˆe` c´ach sˇa´p xˆe´p c´ac d¯ˆo´i tu.o ng, l`a mˆo.t bˆo phˆa.n quan tro.ng cu˙’a to´an ho.c r`o.i ra.c Nh˜u.ng vˆa´n d¯ˆe` cu˙’a tˆo˙’ ho p d¯u.o c nghiˆen c´u.u t`u Thˆe´ ky˙’ 17, liˆen quan tru.´o.c tiˆen d¯ˆe´n c´ac tr`o cho.i may ru˙’i Ng`ay nay to´an tˆo˙’ ho p d¯u.o c d`ung rˆo.ng r˜ai trong tin ho.c Mu.c d¯´ıch ch´ınh cu˙’a chu.o.ng n`ay l`a thiˆe´t lˆa.p mˆo.t sˆo´ phu.o.ng ph´ap d¯ˆe´m c´ac tˆa.p h˜u.u ha.n phˆa` n tu.˙’ m`a khˆong liˆe.t kˆe c´ac phˆa`n tu.˙’ cu˙’a ch´ung

V´oi tˆa.p h˜u.u ha.n phˆa`n tu.˙’ S, ta k´y hiˆe.u #S l`a sˆo´ phˆa`n tu.˙’ cu˙’a tˆa.p S Do d¯´o #S = #T nˆe´u hai tˆa.p S v`a T c´o c`ung sˆo´ c´ac phˆa`n tu.˙’ Ch´u ´y rˇa`ng

Ch´ung ta bˇa´t d¯ˆa` u v´o.i mˆo.t sˆo´ nguyˆen l´y d¯ˆe´m

Gia˙’ su.˙’ A1, A2, , A m l`a c´ac su kiˆe.n d¯ˆoi mˆo.t loa.i tr`u nhau; v`a gia˙’ su.˙’ c´ac su kiˆe.n A1, A2, , A m c´o tu.o.ng ´u.ng n1, n2, , n m c´ach xa˙’y ra Khi d¯´o su kiˆe.n (hoˇa.c A1, hoˇa.c A2, , hoˇa.c A m)

c´o n1+ n2+ · · · + n m c´ach xa˙’y ra.

V´ı du 1.1.1 Gia˙’ su.˙’ l´o.p tru.o.˙’ng c´o thˆe˙’ l`a mˆo.t n˜u sinh, hoˇa.c l`a mˆo.t nam sinh C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n l´o.p tru.o.˙’ng kh´ac nhau nˆe´u sˆo´ ho.c sinh n˜u l`a 36 v`a sˆo´ nam sinh l`a 20?

Go.i A1 (tu.o.ng ´u.ng, A2) l`a su kiˆe.n l´o.p tru.o.˙’ng l`a n˜u sinh (tu.o.ng ´u.ng, nam sinh) Ta c´o

36 c´ach cho.n l´o.p tru.o.˙’ng l`a n˜u sinh v`a 20 c´ach cho.n l´o.p tru.o.˙’ng l`a nam sinh Theo nguyˆen

l´y tˆo˙’ng, su kiˆe.n (A1 hoˇa.c A2) c´o (36 + 20) = 56 c´ach cho.n

V´ı du 1.1.2 Gia˙’ su.˙’ mˆo.t sinh viˆen c´o thˆe˙’ cho.n d¯´ung mˆo.t chuyˆen d¯ˆe` tu cho.n trong mˆo.t

d¯´o c´o bao nhiˆeu c´ach lu a cho.n?

Theo nguyˆen l´y tˆo˙’ng, c´o 3 + 5 + 9 = 17 c´ach

Nhˆa.n x´et 1 Nguyˆen l´y tˆo˙’ng c´o thˆe˙’ ph´at biˆe˙’u theo thuˆa.t ng˜u cu˙’a l´y thuyˆe´t tˆa.p ho p nhu

sau Nˆe´u c´ac tˆa.p T1, T2, , T m d¯ˆoi mˆo.t r`o.i nhau th`ı sˆo´ c´ac phˆa`n tu.˙’ cu˙’a tˆa.p T1∪T2∪· · ·∪T m

bˇa`ng tˆo˙’ng sˆo´ c´ac phˆa` n tu.˙’ cu˙’a c´ac tˆa.p n`ay; t´u.c l`a

#(T1∪ T2∪ ∪ T m) =

m

X

i=1

#T i

Gia˙’ su.˙’ A1, A2, , A m l`a c´ac su kiˆe.n d¯ˆoi mˆo.t loa.i tr`u nhau; v`a gia˙’ su.˙’ c´ac su kiˆe.n A1, A2, , A m c´o tu.o.ng ´u.ng n1, n2, , n m c´ach xa˙’y ra Khi d¯´o su kiˆe.n (A1 v`a A2 v`a v`a A m ) c´o

n1 × n2× · · · × n m c´ach xa˙’y ra.

V´ı du 1.1.3 Gia˙’ su.˙’ c´o hai mˇa.t na., ba m˜u Ho˙’i c´o mˆa´y c´ach ho´a trang?

D`ung nguyˆen l´y t´ıch, c´o 3 × 2 = 6 c´ach ho´a trang kh´ac nhau C˜ung c´o thˆe˙’ d`ung l´y thuyˆe´t tˆa.p ho p nhu sau: Mˆo˜i c´ach ho´a trang l`a mˆo.t c´ach cho.n x ∈ X v`a mˆo.t c´ach cho.n y ∈ Y Do d¯´o sˆo´ c´ach ho´a trang l`a sˆo´ c´ac cˇa.p (x, y) thuˆo.c X × Y v`a do d¯´o bˇa`ng #X × #Y = 2 × 3 = 6.

su.˙’ c´ac tˆa.p T1, T2, , T m c´o h˜u.u ha.n phˆa`n tu.˙’ v`a d¯ˆoi mˆo.t r`o.i nhau Khi d¯´o sˆo´ phˆa`n tu.˙’ cu˙’a

#T1× #T2× · · · × #T m

V´ı du 1.1.4 C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i bit kh´ac nhau c´o d¯ˆo d`ai 8? Mˆo˜i bit c´o hai c´ach cho.n, hoˇa.c

V´ı du 1.1.5 C´o bao nhiˆeu ba˙’ng sˆo´ xe kh´ac nhau, nˆe´u mˆo˜i ba˙’ng gˆo`m ba ch˜u c´ai v`a theo sau l`a ba con sˆo´ (gia˙’ thiˆe´t ba˙’ng ch˜u c´ai gˆo`m 26 k´y tu )?

Mˆo˜i ch˜u c´ai c´o 26 c´ach cho.n; mˆo˜i sˆo´ c´o 10 c´ach cho.n Do d¯´o theo nguyˆen l´y t´ıch, sˆo´ c´ac ba˙’ng sˆo´ xe kh´ac nhau l`a:

26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 17.576.000.

V´ı du 1.1.6 C´o bao nhiˆeu ´anh xa kh´ac nhau t`u tˆa.p X c´o m phˆa`n tu.˙’ lˆen tˆa.p Y c´o n phˆa`n

tu.˙’?

Mˆo˜i ´anh xa l`a mˆo.t bˆo m c´ach cho.n mˆo.t trong n phˆa`n tu.˙’ cu˙’a Y cho mˆo˜i mˆo.t trong m phˆa`n tu.˙’ cu˙’a X Theo nguyˆen l´y t´ıch, sˆo´ ´anh xa n`ay bˇa`ng

n × n × · · · × n

m lˆ` n a

V´ı du 1.1.7 C´o bao nhiˆeu ´anh xa mˆo.t-mˆo.t (d¯o.n ´anh) kh´ac nhau t`u tˆa.p X c´o m phˆa`n tu.˙’ lˆen tˆa.p Y c´o n phˆa`n tu.˙’?

Nˆe´u m > n : khˆong c´o ´anh xa mˆo.t-mˆo.t t`u X t´o.i Y.

Gia˙’ su.˙’ m ≤ n v`a X := {a1, a2, , a m }.

+ V´o.i phˆa` n tu.˙’ a1 c´o n c´ach cho.n phˆa`n tu.˙’ tu.o.ng ´u.ng trong Y.

+ V`ı ´anh xa l`a mˆo.t-mˆo.t, nˆen d¯ˆo´i v´o.i a2 chı˙’ c`on (n − 1) c´ach cho.n.

Theo nguyˆen l´y t´ıch, sˆo´ ´anh xa mˆo.t-mˆo.t kh´ac nhau bˇa`ng

n(n − 1)(n − 2) · · · (n − m + 1).

V´ı du 1.1.8 D- ˆe´m sˆo´ tˆa.p con cu˙’a mˆo.t tˆa.p h˜u.u ha.n S.

Gia˙’ su.˙’ S := {a1, a2, , a n } Dˆe˜ d`ang thiˆe´t lˆa.p mˆo.t tu.o.ng ´u.ng mˆo.t-mˆo.t gi˜u.a tˆa.p con P

cu˙’a S v´o.i c´ac chuˆo˜i bit d¯ˆo d`ai n : bit th´u i bˇa`ng 1 nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u a i ∈ P Mˇa.t kh´ac, sˆo´ c´ac

chuˆo˜i bit d¯ˆo d`ai n l`a 2 n nˆen sˆo´ c´ac tˆa.p con cu˙’a S l`a 2 n

V´ı du 1.1.9 Cho hai d¯oa.n chu.o.ng tr`ınh sau:

Chu.o.ng tr`ınh 1: Chu.o.ng tr`ınh 2:

Ho˙’i k s˜e lˆa´y gi´a tri bao nhiˆeu sau khi mˆo˜i d¯oa.n chu.o.ng tr`ınh trˆen d¯u.o c thu c hiˆe.n? + Chu.o.ng tr`ınh 1: C´u mˆo˜i v`ong lˇa.p d¯i.a phu.o.ng, k tˇang lˆen mˆo.t d¯o.n vi

Go.i A i l`a sˆo´ lˆa` n lˇa.p cu˙’a v`ong lˇa.p th´u i A i c´o n i kha˙’ nˇang Ho.n n˜u.a A i v`a A j , i 6= j, loa.i

tr`u nhau Do d¯´o theo nguyˆen l´y tˆo˙’ng, sˆo´ v`ong lˇa.p l`a n1+ n2+ · · · + n m

+ Chu.o.ng tr`ınh 2: C´u mˆo˜i v`ong lˇa.p to`an cu.c, k tˇang lˆen mˆo.t d¯o.n vi Mˆo˜i v`ong lˇa.p to`an cu.c do m v`ong lˇa.p d¯i.a phu.o.ng gh´ep la.i Theo nguyˆen l´y t´ıch sˆo´ v`ong lˇa.p to`an cu.c bˇa`ng

n1 × n2× · · · × n m

V´ı du 1.1.10 Trong nhiˆe`u tru.`o.ng ho p cˆa`n pha˙’i phˆo´i ho p ca˙’ hai nguyˆen l´y tˆo˙’ng v`a t´ıch: Gia˙’ su.˙’ mˆo˜i ngu.`o.i su.˙’ du.ng m´ay t´ınh c´o mˆo.t mˆa.t m˜a, gˆo`m t`u 6 d¯ˆe´n 8 k´y tu ; mˆo˜i k´y tu l`a mˆo.t ch˜u c´ai hoa hoˇa.c l`a mˆo.t con sˆo´ Mˆo˜i mˆa.t m˜a nhˆa´t thiˆe´t pha˙’i ch´u.a ´ıt nhˆa´t mˆo.t con sˆo´ Ho˙’i c´o bao nhiˆeu mˆa.t m˜a c´o thˆe˙’ c´o?

Go.i P l`a tˆo˙’ng sˆo´ c´ac mˆa.t m˜a c´o thˆe˙’ c´o v`a P6, P7, P8 l`a sˆo´ c´ac mˆa.t m˜a c´o thˆe˙’ v´o.i d¯ˆo d`ai tu.o.ng ´u.ng bˇa`ng 6, 7, 8

Viˆe.c t´ınh tru c tiˆe´p P6 l`a kh´o Ta t´ınh gi´an tiˆe´p nhu sau:

+ Sˆo´ c´ac xˆau c´o d¯ˆo d`ai 6, gˆo`m ch˜u v`a sˆo´, bao gˆo`m ca˙’ tru.`o.ng ho p khˆong c´o con sˆo´ n`ao

+ Sˆo´ c´ac xˆau d¯ˆo d`ai 6, khˆong ch´u.a con sˆo´ n`ao l`a 266.

Cuˆo´i c`ung

P = P6+ P7+ P8 = 2.684.483.063.360.

Nhˆa.n x´et 3 Khi c´ac su kiˆe.n A1 v`a A2 c´o thˆe˙’ xa˙’y ra d¯ˆo `ng th`o.i ta khˆong thˆe˙’ d`ung nguyˆen

l´y tˆo˙’ng Tru.`o.ng ho p n`ay cˆa`n su.˙’a d¯ˆo˙’i nhu sau: Nˆe´u vˆa˜n cˆo.ng (n1+ n2) ta d¯˜a d¯ˆe´m th`u.a,

v`ı c´o tru.`o.ng ho p d¯˜a d¯ˆe´m hai lˆa`n c`ung mˆo.t su kiˆe.n (mˆo.t lˆa`n trong A1, mˆo.t lˆa`n trong A2) Tru.`o.ng ho p n`ay chı˙’ xa˙’y ra khi n´o d¯ˆo`ng th`o.i c´o thˆe˙’ xa˙’y ra A1 v`a A2 V`ı vˆa.y cˆa`n tr`u d¯i sˆo´

tru.`o.ng ho p dˆoi th`u.a n`ay

1.1.3 Nguyˆ en l´ y bao h` am-loa.i tr`u.

Gia˙’ su.˙’ A1 v`a A2 l`a hai su kiˆe.n bˆa´t k`y Nˆe´u su kiˆe.n A . 1 c´o thˆe˙’ xa˙’y ra n1 c´ach, su kiˆe.n A2 c´o thˆe˙’ xa˙’y ra n2 c´ach, th`ı su kiˆe.n (A1 hoˇa.c A2) c´o thˆe˙’ xa˙’y ra [(n1 + n2)− sˆo´ lˆa ` n (A1 v`a A2)]

c´ach.

Bˇa`ng thuˆa.t ng˜u tˆa.p ho p, nguyˆen l´y bao h`am-loa.i tr`u tro.˙’ th`anh:

V´ı du 1.1.11 C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i bit d¯ˆo d`ai 8 hoˇa.c bˇa´t d¯ˆa`u bˇa`ng 1, hoˇa.c kˆe´t th´uc bˇa`ng 00? (C´o thˆe˙’ c´o chuˆo˜i v`u.a bˇa´t d¯ˆa` u bˇa`ng 1, v`u.a kˆe´t th´uc bˇa`ng 00)

Go.i P1 l`a sˆo´ c´ac chuˆo˜i bit d¯ˆo d`ai 8 bˇa´t d¯ˆa`u bˇa`ng 1 Nhu vˆa.y, phˆa`n tu.˙’ th´u nhˆa´t d¯˜a d¯u.o c cho.n, chı˙’ c`on la.i 7 bit Theo nguyˆen l´y t´ıch,

Go.i P2 l`a sˆo´ c´ac chuˆo˜i bit d¯ˆo d`ai 8 kˆe´t th´uc bˇa`ng 00 Theo nguyˆen l´y t´ıch

t´ıch

´

Ap du.ng nguyˆen l´y bao h`am-loa.i tr`u ta c´o

P = P1+ P2− P3 = 160.

Nguyˆen l´y bao h`am-loa.i tr`u c´o thˆe˙’ mo.˙’ rˆo.ng cho tru.`o.ng ho p m su kiˆe.n, nhu.ng ph´u.c ta.p

ho.n, ta s˜e d¯ˆe` cˆa.p o.˙’ phˆa`n sau

Su cˆong nhˆa.n ba nguyˆen l´y trˆen nhu l`a xuˆa´t ph´at d¯iˆe˙’m cu˙’a l´y thuyˆe´t tˆo˙’ ho p:

+ T´ınh d¯´ung d¯ˇa´n cu˙’a ba nguyˆen l´y trˆen l`a “d¯´ung hiˆe˙’n nhiˆen” Quan d¯iˆe˙’m cu˙’a ch´ung ta l`a cˆong nhˆa.n 3 nguyˆen l´y trˆen, coi nhu xuˆa´t ph´at d¯iˆe˙’m cu˙’a l´y thuyˆe´t tˆo˙’ ho p C´ac kˆe´t qua˙’ kh´ac s˜e lˆa` n lu.o t d¯u.o c suy ra tru c tiˆe´p hoˇa.c gi´an tiˆe´p t`u ba nguyˆen l´y n`ay

+ Nˆe´u khˆong thoa˙’ m˜an, c˜ung c´o thˆe˙’ t`ım c´ach ch´u.ng minh ba nguyˆen l´y n`ay, nhu vˆa.y ta la.i pha˙’i cˆa`n d¯ˆe´n c´ac cˆong cu kh´ac, thu c chˆa´t ta la.i cˆong nhˆa.n mˆo.t d¯iˆe` u g`ı kh´ac l`a “d¯´ung hiˆe˙’n nhiˆen” d¯ˆe˙’ rˆo`i suy luˆa.n ra ba nguyˆen l´y trˆen