Ôn tập chương 3 Bài tập 1 trang 107 Toán lớp 11 Đại số Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm? Lời giải Xét cấp số cộng (un) với un+1 = un + d, Ta có un+1 un = d Nếu d > 0 thì un+1 > un,[.]
Trang 1Ôn tập chương 3 Bài tập 1 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?
Lời giải:
Xét cấp số cộng (un) với un+1 = un + d,
Ta có: un+1 - un = d
Nếu d > 0 thì un+1 > un, n *, khi đó (un) là dãy số tăng
Nếu d < 0 thì un+1 < un, n *, khi đó (un) là dãy số giảm
Bài tập 2 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân có u 1 < 0 và công bội q Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:
a) q > 0
b) q < 0
Lời giải:
Ta có: un = u1.qn-1
a) Vì u1 < 0 nên với q > 0 thì un < 0, n *
b) Vì u1 < 0 nên với q < 0:
Xét n > 1
Nếu n là số chẵn thì n – 1 là số lẻ
n 1
q − 0
n 1
1
u q − 0
(vì u1 < 0)
n
u 0
Nếu n là số lẻ thì n – 1 là số chẵn
n 1
q − 0
n 1
1
u q − 0
(vì u1 < 0)
n
u 0
Vậy nếu q < 0, u1 < 0 thì các số hạng thứ chẵn dương và các số hạng thứ lẻ âm
Trang 2Bài tập 3 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho hai cấp số cộng có cùng số số hạng
Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số cộng không? Vì sao?
Cho một ví dụ minh họa
Lời giải:
Giả sử có hai cấp số cộng (un) với công sai d1 và (vn) với công sai d2
+
+
Xét dãy (an) với an = un + vn
Ta có: an + 1 – an = (un + 1 + vn + 1) – (un + vn)
= (un+1 – un ) + (vn+1 - vn)
= d1 + d2 = const
Vậy (an) là cấp số cộng có số hạng đầu là a1 = u1 + v1 và công sai là d1 + d2
Ví dụ:
1, 3, 5, 7, là cấp số cộng có u1 = 1 và d1 = 2
0, 5, 10, 15, là cấp số cộng có v1 = 0 và d2 = 5
Suy ra (an): 1, 8, 15, 22, là cấp số cộng có
a1 = 1 + 0 = 1 và d = d1 + d2 = 2 + 5 = 7
Bài tập 4 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho hai cấp số nhân có cùng số các số
hạng Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì
sao? Cho một ví dụ minh họa
Lời giải:
Gọi (an) là cấp số nhân công bội q1 và (bn) là cấp số nhân công bội q2 tương ứng Xét (un) với un = an.bn
Ta có:
un+1 = an+1.bn+1
Trang 3n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
1 2
q q
Vậy dãy số (un) là một cấp số nhân có công bội: q = q1.q2
Ví dụ:
1, 2, 4,… là cấp số nhân có công bội q1 = 2
3, 9, 27,… là cấp số nhân có công bội q2 = 3
Suy ra: 3, 18, 108 là cấp số nhân có công bội: q = q1.q2 = 2.3 = 6
Bài tập 5 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi n *, ta có:
a) 13n - 1 chia hết cho 6;
b) 3n3 + 15nchia hết cho 9
Lời giải:
a) Với n = 1, ta có: 13 –1 13 –1 12 61 = =
Giả sử: ( k )
13 −1 6 với mọi k 1
Ta chứng minh: ( k 1 )
13 + −1 6 Thật vậy:
13k+1 – 1 = 13k+1 − 13k + 13k – 1
= (13k+1 − 13k) + (13k − 1)
= 13k(13 − 1) + (13k − 1)
= 12.13k + 13k − 1
Vì ( k)
12.13 6 và (13 –1 6 (theo giả thiết quy nạp) k )
Nên (13 –1 6k 1+ )
Vậy 13n − 1 chia hết cho 6 với mọi n *
b) Với n = 1, ta có: 3
3.1 +15.1 18 9=
Trang 4Giả sử: ( 3 )
3k +15k 9, k 1
Ta chứng minh: ( ( )3 ( ) )
3 k 1+ +15 k 1+ 9 Thật vậy:
3(k + 1)3 + 15(k + 1)
= 3.(k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15k + 15
= 3k3 + 9k2 + 9k + 15k + 18
= (3k3 + 15k) + 9(k2 + k + 2)
Vì ( 3 )
3k +15k 9 (theo giả thiết quy nạp) và ( 2 )
9 k + +k 2 9 Nên ( ( )3 ( ) )
3 k 1+ +15 k 1+ 9
Vậy 3n3 + 15n chia hết cho 9 với mọi n *
Bài tập 6 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (u n), biết u 1 = 2, u n +1 = 2u n−
1 (với n 1 )
a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy
b) Chứng minh u n= 2n –1 + 1 bằng phương pháp quy nạp
Lời giải:
a) u1 = 2
u2 = 2u1 – 1 = 2.2 – 1 = 3
u3 = 2u2 – 1 = 2.3 – 1 = 5
u4 = 2u3 – 1 = 2.5 – 1 = 9
u5 = 2u4 – 1 = 2.9 – 1 = 17
b) Với n = 1, ta có: u1 = 21−1 + 1 = 2 công thức đúng
Giả sử công thức đúng với mọi n k 1= Nghĩa là: uk = 2k−1 + 1
Ta chứng minh công thức cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là ta phải chứng minh:
uk+1 = 2(k+1)−1 + 1 = 2k + 1
Trang 5Ta có: uk+1 = 2uk – 1 = 2(2k−1 + 1) – 1 = 2.2k–1 + 2 – 1 = 2k + 1 (điều phải chứng minh)
Vậy un = 2n−1 + 1 với mọi n *
Bài tập 7 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các
dãy số (u n), biết:
a) un n 1
n
= +
b) ( )n 1
n
1
u 1 sin
n
−
= −
c) un = n 1+ − n
Lời giải:
a) Xét hiệu:
= + + − −
+
1 1 1
n 1 n
+
2
n n n n 1
n(n 1)
+ + − −
=
+
2
n n 1
0, n N * n(n 1)
+ −
+
Do n2+ − + − = và n(n + 1) > 0 với n 1 12 1 1 1 0 n *
Vậy un là dãy số tăng
Mặt khác: un n 1 2 n 1 2, n *
= + = Vậy un là dãy số bị chặn dưới
Khi n càng lớn thì un càng lớn nên un là dãy số không bị chặn trên
Vậy un là dãy số tăng và bị chặn dưới
b) Ta có: u1 = (-1)1-1.sin1 = sin1 > 0
2 1
2
u ( 1) sin sin 0
−
= − = −
Trang 63 1
3
u ( 1) sin sin 0
−
Suy ra u1 > u2 và u2 < u3
Vậy un là dãy số không tăng không giảm
Ta lại có: n 1
u ( 1) sin sin 1 1 u 1
−
Vậy un là dãy số bị chặn
c) Ta có:
n
( n 1 n )( n 1 n ) n 1 n 1
Xét hiệu:
(n 1) 1 n 1 n 1 n
Ta có: n 2 n 1
n 1 n
+
n 2 n 1 n 1 n
+ + + + +
Suy ra un+1 – un < 0
Vậy un là là dãy số giảm
Mặt khác: un 1 0, n *
Suy ra un là dãy số bị chặn dưới
Ta lại có: với n 1 thì n 1+ + n 2 1+
Trang 7Suy ra un 1 1
Suy ra un là là dãy số bị chặn trên
Vậy un là là dãy số giảm và bị chặn
Bài tập 8 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Tìm số hạng đầu u 1 và công sai d của các cấp số cộng (u n), biết:
a) 1 5
4
5u 10u 0
S 14
=
b) 72 152
u u 60
u u 1170
+ =
+ =
Lời giải:
a) 1 5
4
5u 10u 0
S 14
=
u 2 u 4d 0
4 u u 3d
14 2
+ + =
1 1
3u 8d 0 4u 6d 14
1
=
= −
Vậy số hạng đầu u1 = 8, công sai d = -3
b) 72 152
+ =
u 6d u 14d 60
u 3d u 11d 1170
1
2u 20d 60
u 14u d 65d 585
1
u 30 10d
(30 10d) 14(30 10d)d 65d 585
= −
1 2
u 30 10d 25d 180d 315 0
1
1
u 0
d 3
u 12
21
d
5
=
=
= −
=
Vậy số hạng đầu và công sai là u1 0
d 3
=
=
hoặc
1
u 12 21 d 5
= −
=
Trang 8Bài tập 9 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của các cấp số nhân (un), biết:
a) 6
7
u 192
u 384
=
=
b) 4 2
− =
c) 2 5 4
+ − =
Lời giải:
a) 6
7
u 192
u 384
=
=
5 1 6 1
u q 192 (1)
u q 384 (2)
=
Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được:
6
1
q 2
u 2 384
=
q 2
=
=
Vậy u1 = 6 và q = 2
b) 4 2
− =
3
u q u q 72
u q u q 144
2 1
1
u q q 1 72 (1)
u q q 1 144 (2)
− =
Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được:
1
q 2
u 2 2 1 1 44
=
q 2 12u 144
=
q 2
u 12
=
=
Vậy u1 = 12 và q = 2
c) 2 5 4
+ − =
u q u q u q 10
u q u q u q 20
1
1
u q 1 q q 10 (1)
u q 1 q q 20 (2)
Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được:
Trang 9( 3 2)
1
q 2
u 2 1 2 2 10
=
q 2
=
=
Vậy u1 = 1 và q = 2
Bài tập 10 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các
góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D Biết rằng góc C gấp 5 lần
góc A Tính các góc của tứ giác
Lời giải:
Theo giả thiết ta có: A, B, C, D là một cấp số cộng và C 5A=
Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: d
Theo tính chất của cấp số cộng ta có:
B= + , C A 2dA d = + , D= +A 3d
A 2d 5A
+ = 4A−2d=0 4A=2d
Mà tổng bốn góc của tứ giác bằng 360o nên:
A+ + + =B C D 360
A A d A 2d A 3d 360
4A 6d 360
Thay 4A=2d vào ta được: 8d = 360o
Suy ra d = 45o
Suy ra 4A−2.45 = 0
A 22,5 22 30'
B= + = A 45 67 30'
'
C= +A 2.45=112 30
D= +A 3.45 =157 30'
Trang 10Bài tập 11 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp
số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng Tìm công bội của cấp số nhân Lời giải:
Giả sử ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân với công bội q ta có: y = x.q và z = y.q = x.q2
Ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng nên:
x + 3z = 2.2y
x + 3.(xq2) = 4.(xq)
x + 3xq2 − 4xq = 0
x.(1 + 3q2 – 4q) = 0
Suy ra x = 0 hoặc 3q2 – 4q + 1 = 0
Nếu x = 0 thì x = y = z = 0, q không xác định (loại)
Nếu x 0 thì 2
q 1 3q – 4q 1 0 1
q 3
=
+ =
=
Cách khác:
Gọi công bội của cấp số nhân x, y, z là q
Suy ra y = x.q, z = x.q2
Lại có: x, 2y, 3z lập thành cấp số cộng
Khi đó 2y – x = 3z – 2y
2.xq – x = 3.xq2 – 2.xq
x(2q – 1) = x.(3q2 – 2q)
x.(3q2 – 4q + 1) = 0
Nếu x = 0 suy ra y = z = 0
Suy ra q không xác định (loại)
Trang 11Nếu x 0 thì 3q2 – 4q + 1 = 0
q 1 1 q 3
=
=
Vậy cấp số nhân có công bội q = 1 hoặc q 1
3
=
Bài tập 12 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11
tầng Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp Biết diện tích mặt đế tháp là 12288 m2 Tính diện tích mặt trên cùng
Lời giải:
Gọi diện tích đáy tháp là S0; diện tích mặt trên của tầng 1; tầng 2; tầng 3; …; tầng
11 lần lượt là S1; S2; S3; …; S11
Ta có:
Diện tích đế tháp: S0 = 12288 m2
Diện tích tầng 1: S1 1S0 1.12288 6144
= = = (m2) Theo giả thiết diện tích của bề mặt trên mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới
Do đó (Sn) là cấp số nhân có số hạng đầu S1 = 6144 m2 công bội q 1
2
= Diện tích tầng 11 là
10 10
1
2
2)
Bài tập 13 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng nếu a2, b2, c2 lập
thành một cấp số cộng (abc0 )thì các số 1
b c+ ,
1
c+a,
1
a+b cũng lập thành một
cấp số cộng
Lời giải:
Trang 12Ta phải chứng minh: 1 1 1 1
b c−c a = c a −a b
Thật vậy,
b c −c a =c a −a b
(c a)(b c) (c a)(a b)
a b b c
b c a b
(a – b a b)( ) (b c b – c)( )
a b b c
− = −
Do a2, b2, c2 lập thành cấp số cộng
Vậy điều kiện để 1
b+c,
1
c+a ,
1
a+b là cấp số cộng là a2, b2, c2 là cấp số cộng
Bài tập trắc nghiệm
Bài tập 14 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (un) biết un = 3n Hãy chọn phương án đúng:
a) Số hạng un+1 bằng:
(A) 3n + 1 (B) 3n + 3 (C) 3n.3 (D) 3(n + 1)
b) Số hạng u2n bằng:
(A) 2.3n (B) 9n (C) 3n + 3 (D) 6n
c) Số hạng un-1 bằng:
(A) 3n – 1 (B) 1.3n
n – 3 (D) 3n – 1
d) Số hạng u2n-1 bằng:
(A) 32.3n – 1 (B) 3n.3n-1 (C) 32n – 1 (D) 32(n – 1)
Lời giải:
Trang 13a) Thay n thành n + 1
Ta được un+1 = 3n+1 = 3n.3
Chọn đáp án C
b) Thay n thành 2n
Ta được u2n = 32n = (32)n = 9n
Chọn đáp án B
c) Thay n thành n – 1
Ta được n 1 1 n n
n 1
1
u 3 3 3 3
3
Chọn đáp án B
d) Thay n thành 2n – 1
Ta được u2n-1 = 32n-1 = 3n.3n-1
Chọn đáp án B
Bài tập 15 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Hãy cho biết dãy số (un) nào dưới đây
là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát un của nó là:
(A) ( )n 1
1 sin
n
−
(B) (−1)2n(5n + 1)
(C) 1
n 1+ +n
(D) 2n
n +1
Lời giải:
(A) Ta có:
1
u =sin
2
u sin
2
= −
Trang 14u sin
3
=
Do vậy (un) không tăng cũng không giảm
(B) Ta có:
u n +1 – u n= (−1)2( n +1)(5n +1 + 1) − (−1)2 n(5n+ 1)
= 5n +1 + 1 − 5n– 1
= 5n +1 − 5n> 0
Vậy (un) là dãy tăng
(C) Ta có: un 1 1 1 un
Nên (un) là dãy giảm
(D) Ta có:
+
+
2
n n 1
0, n
− − +
+ + + Nên (un) là dãy giảm
Chọn đáp án B
Bài tập 16 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số cộng −2, x, 6, y Hãy chọn
kết quả đúng trong các kết quả sau:
(A) x = −6; y = −2
(B) x = 1; y = 7
(C) x = 2; y = 8
(D) x = 2; y = 10
Lời giải:
Theo giả thiết: -2, x, 6, y là cấp số cộng
2x ( 2) 6
2.6 x y
= − +
x 2
y 10
=
=
Chọn đáp án D
Trang 15Bài tập 17 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân −4, x, −9 Hãy chọn
đáp án đúng trong các kết quả sau:
(A) x = 36
(B) x = −6,5
(C) x = 6
(D) x = −36
Lời giải:
Ta có:
−4, x, −9 là ba số hạng của một cấp số nhân nên:
x2 = (−4).( −9) = 36 x 6
=
= −
Chọn đáp án C
Bài tập 18 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số cộng (un) Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
(A) 10 20
u u
u u 2
+
= + (B) u90 + u210 = 2u150
(C) u10.u30 = u20
(D) 10 30
20
u u
u
2 =
Lời giải:
Giả sử (un) là cấp số cộng có công sai là d Ta có:
u u u 9d u 19d
+ = + + + u1 4d u1 9d 15d
2
u u 15d
u u
+
Suy ra (A) sai
u90 + u210 = u1 + 89d + u1 + 209d = 2u1 + 298d = 2(u1 + 149d) = 2u150
Suy ra (B) đúng
Trang 16( )( )
u u = u +9d u +29d u +19d=u20
Suy ra (C) sai
10 30
1
u 9d u 29d
u
20
19d u
Suy ra (D) sai
Chọn đáp án B
Bài tập 19 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Trong các dãy số cho bởi các công thức
truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:
(A) 1 2
u + u
=
(B) 1
u + 3u
= −
(C) 1
= −
(D)
n chu so 7
7,77,777,,777 7
Lời giải:
Ta có:
+ 1 2
u + u
=
n 1
n n
u
u u
+
+
Suy ra (un) không phải cấp số nhân
+ 1
u + 3u
= −
n 1 n
u
3 n u
+
= (un) là cấp số nhân với công bội q = 3, u1 = -1
+ 1
= −
Đây là cấp số cộng với u1 = 3; công sai d = 1
Trang 17+ 7; 77; 777;…; 777…77
2
1
u
11
u = , 3
2
u 777 111
u = 77 = 11 2 3
u u
u u
Suy ra (un) không là cấp số nhân
Chọn đán án B