Toán 11 ôn tập chương 3

Ôn tập chương 3 A Câu hỏi ôn tập chương 3 Câu hỏi 1 trang 120 SGK Toán lớp 11 Hình học Nhắc lại định nghĩa vectơ trong không gian Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ Hãy kể tên những vectơ bằng vect[.]

Ôn tập chương 3

A Câu hỏi ôn tập chương 3

Câu hỏi 1 trang 120 SGK Toán lớp 11 Hình học: Nhắc lại định nghĩa vectơ trong

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ là các đoạn thẳng song song và bằng nhau nên các vectơ bằng vectơ AA' và có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ là: BB', CC'

Câu hỏi 2 trang 120 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong không gian cho ba vectơ a ,

b , c đều khác vectơ – không Khi nào ba vectơ đó đồng phẳng?

Lời giải:

Trong không gian cho hai vectơ a , b không cùng phương với c

Khi đó ba vectơ a , b , c đồng phẳng khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:

+ Giá của chúng cùng song song hoặc nằm trong một mặt phẳng

+ Có cặp số m, n sao cho c=ma+nb

Câu hỏi 3 trang 120 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong không gian hai đường thẳng

không cắt nhau có thể vuông góc với nhau không? Giả sử hai đường thẳng a, b lần lượt

có vectơ chỉ phương là u và v Khi nào ta có thể kết luận a và b vuông góc với nhau?

Lời giải:

Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau không nhất thiết phải cắt nhau

vì vậy hai đường thẳng không cắt nhau vẫn có thể vuông góc với nhau

Đường thẳng a có vectơ chỉ phương u

Đường thẳng b có vectơ chỉ phương là v

Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ u và v bằng không

Hay a ⊥ b u.v= 0

Câu hỏi 4 trang 120 SGK Toán lớp 11 Hình học: Muốn chứng minh đường thẳng a

vuông góc với mặt phẳng (α) có cần chứng minh a vuông góc với mọi đường thẳng của (α) hay không?

Cách 3 : Sử dụng định lí: “Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng đó”

Câu hỏi 5 trang 120 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hãy nhắc lại nội dung định lí ba

đường vuông góc

Lời giải:

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α) Gọi b’ là hình chiếu của b trên (α) Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’

Câu hỏi 6 trang 120 SGK Toán lớp 11 Hình học: Nhắc lại định nghĩa:

a) Góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng;

b) Góc giữa hai mặt phẳng

Lời giải:

a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α)

Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng 90o

Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (α) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α)

Nếu d // (α) hoặc d  ( ) thì góc giữa d và mặt phẳng (α) bằng 0o

b) Góc giữa hai mặt phẳng

Định nghĩa: Giả sử hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c Từ điểm I bất

kì trên c, trong mặt phẳng (α) ta dựng đường thẳng a vuông góc với c và trong mặt

I

phẳng (β) ta dựng đường thẳng b vuông góc với c Ta gọi góc giữa hai đường thẳng

a và b là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β)

Nếu (α) // (β) hoặc ( ) ( )   thì góc giữa hai mặt phẳng bằng 0o

Câu hỏi 7 trang 120 SGK Toán lớp 11 Hình học: Muốn chứng minh mặt

phẳng (α) vuông góc với mặt phẳng (β) người ta thường làm như thế nào?

Lời giải:

Muốn chứng minh mặt phẳng (α) vuông góc với mặt phẳng (β) ta có thể:

- Chứng minh mặt phẳng (α) chứa một đường thẳng vuông góc với (β) hoặc ngược lại

- Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 90o

Câu hỏi 8 trang 120 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hãy nêu cách tính khoảng cách :

a) Từ một điểm đến một đường thẳng;

b) Từ đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a;

c) Giữa hai mặt phẳng song song

Lời giải:

a)

Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  không đi qua O, ta xác định mặt phẳng (O,)và trong mặt phẳng này kẻ OH ⊥  Khi đó độ dài OH chính là khoảng cách từ O đến 

b)

Δ

H O

a

P

H M

Để tính khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a, ta lấy một điểm M bất kì thuộc đường thẳng a Khoảng cách MH từ điểm M đến mặt

phẳng (P) chính là khoảng cách giữa đường thẳng a với mặt phẳng (P) song song với a c)

Để tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (P’) song song với nhau, ta lấy một điểm M thuộc (P) và tìm khoảng cách MH từ điểm M đến mặt phẳng (P’)

Câu hỏi 9 trang 120 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho a và b là hai đường thẳng

chéo nhau Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau này bằng những cách nào?

Lời giải:

Cách 1: Dựng đường vuông góc chung của a và b rồi tính độ dài đường vuông góc chung

Cách 2: Đưa về khoảng cách từ 1 điểm đển 1 mặt phẳng

- Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b

- Tìm khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường thẳng b đến mặt phẳng (P)

- Khi đó d(a; b) = d(M; (P))

Cách 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng

đó

Câu hỏi 10 trang 120 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh rằng tập hợp các

điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác ABC là đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Lời giải:

P

P'

H M

Lấy một điểm M bất kì trong không gian sao cho MA = MB = MC

Từ M kẻ MO vuông góc với (ABC) Các tam giác vuông MOA, MOB, MOC bằng nhau, suy ra OA = OB = OC

Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vậy các điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nằm trên đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Ngược lại, lấy một điểm M ' d , nối M’A, M’B, M’C

Do M’O chung và OA = OB = OC nên các tam giác vuông M’OA, M’OB, M’OC bằng nhau, suy ra M’A = M’B = M’C

Tức là điểm M’ cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC

Vậy tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

B Bài tập ôn tập chương 3

Bài tập 1 trang 121 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh

đề nào là đúng ?

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song; b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song; c) Mặt phẳng (α) vuông góc với đường thẳng b mà b vuông góc với thẳng a, thì a song song với (α);

d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song; e) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song

c) Câu c) sai: Vì a có thể thuộc mặt phẳng (α)

d) Câu d) sai: Hai mặt phẳng (α) và (β) cùng vuông góc với mặt phẳng (P) thì (α)

và (β) vẫn có thể cắt nhau và trong trường hợp này thì giao tuyến của (α) và (β) vuông góc với mặt phẳng (P)

e) Câu e) sai: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng này có thể cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường thẳng còn lại

Bài tập 2 trang 121 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong các điều khẳng định sau đây,

điều nào đúng?

b a

P

P Q

a) Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại

b) Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác c) Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác

d) Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Lời giải:

Câu a) đúng: Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (xem mục c Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau)

Câu b) sai: Qua một điểm, ta có thể vẽ được vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước

Câu c) sai: Vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước

Để có khẳng định đúng, ta phải nói: “Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho”

Câu d) sai: Vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường thẳng ấy

Bài tập 3 trang 121 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình

vuông ABCD cạnh a, cạnh SA bằng a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

b) Mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’ Chứng minh B’D’ song song với BD và AB’ vuông góc với SB

Lời giải:

Chứng minh tương tự ta có AD'⊥(SCD)AD'⊥SD

Dễ thấy SAD= SAB (cạng – góc – cạnh)

Ta có thể chứng minh B’D’//BD như sau:

Bài tập 4 trang 121 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình

thoi ABCD cạnh a và có góc BAD=60o Gọi O là giao điểm của AC và BD Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO 3a

C

D S

H

Xét tam giác BOE có BO BE a

2

= = và OBE=600 nên tam giác BOE đều

Do đó OF là đường cao và ta được OF⊥BC

Gọi K là hình chiếu của A trên (SBC), ta có AK // OH

Trong AKC thì OH là đường trung bình, do đó:

Bài tập 5 trang 121 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tứ diện ABCD có hai mặt ABC và

ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau Tam giác ABC vuông tại A và có

AB = a, AC = b Tam giác ADC vuông tại D có CD = a

a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC là những tam giác vuông

b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC Chứng minh IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC

Lời giải:

Từ (1) và (2) suy ra: AD⊥(KIJ)AD⊥IK (3)

Ta lại có: BAI= CDI (cạnh – góc - cạnh)

J I

D

S

Bài tập 6 trang 122 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ cạnh a

a) Chứng minh BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD)

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’

Ta tìm hình chiếu của BC’ trên mặt phẳng (AB’D’)

Gọi E, F là tâm của các mặt bên ADD’A’ và BCC’B’

Từ (3) và (4) suy ra: IF⊥(AB'D')

Vậy IF là hình chiếu của F trên mặt phẳng (AB’D’) Qua I ta dựng đường thẳng song song với BC’ thì đường thẳng này chính là hình chiếu của BC’ trên mặt phẳng

(AB’D’)

I E

K

H F

C'

B' A'

C

D D'

Đường thẳng qua I song song với BC’ cắt AB’ tại K Qua K kẻ đường thẳng song song với IF, đường này cắt BC’ tại H KH chính là đường vuông góc chung của AB’ và BC’ Thật vậy:

Bài tập 7 trang 122 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là

hình thoi ABCD cạnh a có góc BAD=60 o và SA SB SD a 3

2

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC

b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

c) Chứng minh SB vuông góc với BC

d) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) Tính tanφ

Lời giải:

a) Kẻ SH⊥(ABCD), nên d(H, (ABCD)) = SH

Do SA = SB = SD suy ra HA = HB = HC

Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

Ta có: AB = AD = a và BAD= 60 nên ABD là tam giác đều cạnh a

= ; BC2 = a2;

2

2 3aSB

4

=Suy ra SC2 = BC2 + SB2

C Câu hỏi trắc nghiệm chương 3

Câu hỏi trắc nghiệm 1 trang 122 Toán lớp 11 Hình học: Trong các mệnh đề sau

đây, mệnh đề nào đúng?

(A) Từ AB 3AC = ta suy ra BA= −3CA

(B) Từ AB= −3AC ta suy ra CB=2AC

(C) Từ AB= −2AC 5AD + nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng (D) Nếu AB 1BC

(A) Vì NM+NP= nên N là trung điểm của đoạn MP; 0

(B) Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kỳ ta có: 1( )

2

(C ) Từ hệ thức AB 2AC 8AD= − ta suy ra ba vectơ AB , AC , AD đồng phẳng

(D) Vì AB BC CD+ + +DA= nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng 0

(D) Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau Một đường thẳng c vuông góc với

a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (a, b)

Lời giải:

(A) sai vì a, c có thể cắt nhau khi cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với b

(B) đúng vì c và b song song với nhau nên góc giữa a và c bằng góc giữa a và b

Mà a⊥  ⊥b a c

(C) sai tương tự câu (A)

(D) sai

Chọn đáp án B

Câu hỏi trắc nghiệm 5 trang 123 Toán lớp 11 Hình học: Trong các mệnh đề sau

đây, hãy tìm mệnh đề đúng

(A) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau

(B) Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này

sẽ vuông góc với mặt phẳng kia

(C) Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d Với mỗi điểm A thuộc (α) và mỗi điểm B thuộc (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với d

(D) Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) đều vuông góc với mặt phẳng (γ) thì giao tuyến d của (α) và (β) nếu có sẽ vuông góc với (γ)

(A) Hai đường thẳng a và b trong không gian có các vectơ chỉ phương lần lượt

là u và v Điều kiện cần và đủ để a và b chéo nhau là a và b không có điểm chung và hai vectơ u , v không cùng phương;

(B) Cho a, b là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau Đường vuông góc chung của a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia (C) Không thể có một hình chóp tứ giác S.ABCD nào có hai mặt bên (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy

(D) Cho u và v là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (α) và n là vectơ chỉ phương của đường thẳng  Điều kiện cần và đủ

để  ⊥ ( )là n.u 0= và n.v 0=

Lời giải:

(A) Từ giả thiết a và b không có điểm chung và các vectơ u , v của chúng không cùng phương, ta suy ra hai đường thẳng a, b không đồng phẳng vì chúng không trùng nhau, không cắt nhau, không song song với nhau Vậy a và b chéo nhau Ngược lại

nếu a và b chéo nhau thì rõ ràng a và b không có điểm chung và u , v không cùng phương

(C) Xét trường hợp AB và CD cắt nhau tại một điểm M

Ta lấy S trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) kẻ từ M thì rõ

(C) Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳng

(D) Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm trong một mặt phẳng thì đồng quy

Lời giải:

(A) Sai vì có thể xảy ra trường hợp ba đường thẳng đồng quy nhưng không đồng

phẳng

(B) Sai vì nếu đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường thẳng đã cho thì xảy

ra trường hợp cả ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng

(C) Sai vì có thể xảy ra trường hợp đồng quy nhưng không đồng phẳng

(B) Sai vì tồn tại hai mặt phẳng song song cùng vuông góc với một mặt phẳng

(C) Sai vì trong không gian có vô số đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước Tập hợp các đường thẳng đó là các mặt phẳng do vậy tồn tại các đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau cùng vuông góc với đường thẳng

(D) Sai vì hai đường thẳng có thể trùng nhau

(A) sai vì chúng có thể cùng nằm tronng mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho và cắt nhau Hoặc chúng có thể chéo nhau

(B) sai vì chúng có thể song song với nhau

(C) sai vì chúng có thể cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường thẳng đã cho nên có thể song song hoặc cắt nhau

(C) Qua một điểm cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước

(D) Cho ba đường thẳng a, b và c chéo nhau từng đôi một Khi đó ba đường thẳng này

sẽ nằm trong ba mặt phẳng song song với nhau từng đôi một

(D) Sai

Chọn đáp án A

Câu hỏi trắc nghiệm 11 trang 125 Toán lớp 11 Hình học: Khoảng cách giữa hai

cạnh đối của một tứ diện đều cạnh a bằng kết quả nào trong các kết quả sau đây ?

(A) 3a

a 22

(C) a 3

Lời giải: