bài tập giải tích 1

Các dạng toán trong giải tích Dãy số thực Hàm số Giới hạn và liên tục Đạo hàm và Vi phân Tích phân Phương trình vi phân 1.1 T½nh ch§t d¢y sè 1. Kh£o s¡t t½nh ìn i»u cõa c¡c d¢y sè fang sau khi n õ lîn. a. an = 2n2 + 1 b. an = n n + 2 c. an = 1 − 1 2 1 − 13 : : : 1 − n1  2. Chùng minh c¡c d¢y sè sau bà ch°n

CC D„NG B€I TON THÜC T˜

1 íi sèng

2 Vªt lþ

3 Kÿ thuªt

4 Y t¸, sinh håc

5 Mæi tr÷íng

6 Kinh doanh, kinh t¸

Ch֓ng 1

D‚Y SÈ THÜC

1.1 T½nh ch§t d¢y sè

1 Kh£o s¡t t½nh ìn i»u cõa c¡c d¢y sè {an}sau khi n õ lîn

a an = 2n2+ 1

b an = n

n + 2

c an=



1 − 1 2

 

1 −1 3





1 − 1 n



2 Chùng minh c¡c d¢y sè sau bà ch°n

(a) an= n − 1



1 − 1 2

 

1 − 1 3





1 − 1 n



1.2 Giîi h¤n d¢y sè

T½nh giîi h¤n c¡c d¢y sè {an}sau:

1 an =3n

2+ 2n + 1

1.2+

1 2.3 + +

1 n(n + 1)

1.3 D¢y con

1.3.1 X¡c ành cæng thùc d¢y con

Cho an =n + 1

n2 , x¡c ành cæng thùc a2k, a2k−1, a3k+2, ak2

1.3.2 D¢y con v  giîi h¤n

1 Cho an= n

2− 2n + 1

n2 , x¡c ành giîi h¤n cõa c¡c d¢y con ak+1, a2k−1, a2k, ak2

2 Cho {an} x¡c ành bði: a2k =(−1)

k

k − 2, a2k+1=

k2

k3+ 1 T¼m giîi h¤n cõa an

Ch֓ng 2

H€M SÈ

2.1 Th nh lªp h m sè, þ ngh¾a h m sè v  ç thà

1 (Þ ngh¾a h m sè)Theo mët nghi¶n cùu ð Mÿ tø n«m 1997, ÷îc t½nh ph¦n tr«m d¥n sè cõa Mÿ theo

ë tuêi bà m­c b»nh Alzheimer cho bði h m sè

P (x) = 0.0726x2+ 0.7902x + 4.9623, 0 ≤ x ≤ 25

trong â x l  sè n«m v  x = 0 l  mèc 65 tuêi Häi

a T½nh gi¡ trà cõa P (8), gi¡ trà n y nâi l¶n i·u g¼?

b Câ bao nhi¶u ph¦n tr«m d¥n sè ð ë tuêi 90 bà m­c b»nh n y

2 B i to¡n v· chi ph½, doanh thu, lñi nhuªn (Þ ngh¾a h m sè)

Mët nh  s£n xu§t thi¸t bà låc n÷îc câ chi ph½ cè ành h ng th¡ng l  10.000USD, v  chi ph½ l÷u ëng

º s£n xu§t x thi¸t bà l 

C(x) = −0.0001x2+ 10x, (0 ≤ x ≤ 40.000)

N¸u gi¡ b¡n méi thi¸t bà l  p(x) = −0.0005x + 20, (0 ≤ x ≤ 40.000), t¼m h m doanh thu R(x) v 

h m lñi nhuªn P (x) h ng th¡ng cõa cæng ty ¸n lóc n o th¼ lñi nhuªn cõa cæng ty ¤t 10.000 USD

3 (ç thà):

Sau khi h½t khâi thuèc l¡, nicotine nhanh châng x¥m nhªp v o

m¡u.Trong mët tr÷íng hñp cö thº, qu¡ tr¼nh  o th£i nicotine

di¹n ra nh÷ ç thà ð h¼nh b¶n c¤nh.Häi sau m§y gií l÷ñng nicotine

gi£m cán mët nûa? N¸u ç thà c­t tröc ho nh th¼ i·u n y câ þ

H€M SÈ 2.2 Mi·n x¡c ành, mi·n gi¡ trà cõa h m sè.

5 (H m tuy¸n t½nh) Trong nhúng ký Olympic ¦u ti¶n, ð mæn nh£y s o, mùc s o cao nh§t m  ng÷íi væ

àch ¤t ÷ñc cho bði h m sè h(t) = 130 + 2t, trong â h t½nh b¬ng inches v  t t½nh theo n«m, t = 0 t÷ìng ùng n«m 1990

a H¢y cho bi¸t þ ngh¾a giao iºm cõa ç thà h m sè tr¶n vîi tröc tung

b H¢y cho bi¸t þ ngh¾a h» sè gâc a = 2 cõa ç thà h m sè h(t)

6 (H m mô) D¥n sè cõa mët th nh phè A v o n«m 2008 l  50.000 Méi n«m t l» gia t«ng l  4,5

a Lªp mët h m sè mæ t£ d¥n sè tø n«m 2008 cõa th nh phè n y

b D¥n sè v o n«m 2018 l  bao nhi¶u?

c Khi n o th¼ d¥n sè ¤t 100.000?

7 (H m nhi·u biºu thùc) Mët cûa h ng photo copy ni¶m y¸t gi¡ nh÷ sau: 200 çng cho méi b£n copy cho 100 b£n ¦u ti¶n (cï gi§y A4), 170 çng méi b£n v÷ñt mèc 100 Vi¸t h m sè mæ t£ têng sè ti·n photo copy x b£n, bi¸t r¬ng câ mët kho£n ph½ cè ành cho méi l¦n photo copy ð cûa h ng n y l  5000

çng

2.2 Mi·n x¡c ành, mi·n gi¡ trà cõa h m sè.

1 T¼m mi·n x¡c ành, mi·n gi¡ trà cõa c¡c h m sè sau: f(x) = ln(1 − x − 2x2)

2 Mët gia ¼nh dü ành tê chùc ti»c ð mët nh  h ng Mùc phöc vö chung cho búa ti»c (m°t b¬ng, trang tr½, ) l  5 tri»u çng Nh  h ng nhªn tèi thiºu 2 b n, méi b n 10 ng÷íi Gi¡ cho méi kh¡ch «n l 

250 ng n çng Gia ¼nh dü t½nh chi tèi a 25 tri»u N¸u gåi x l  sè kh¡ch míi, C(x) l  chi ph½ cho búa ti»c T¼m mi·n x¡c ành D v  mi·n gi¡ trà R cõa C

2.3 H m sè hñp

1 Cho 2 h m sè

f : R → [−1, 1], f (x) = sin(x),

g : (0, +∞) → R, g(x) = ln(x)

T¼m c¡c biºu thùc g ◦ f(x) v  f ◦ g(x) (n¸u tçn t¤i)

2 Cho 2 h m sè f(x) = x + 1

x − 2, g(x) = x

3+ x T¼m g ◦ f(x), f ◦ g(x) v  i·u ki»n x¡c ành cõa 2 biºu thùc n y

3 Mët nghi¶n cùu cho th§y mùc ë kh½ CO trung b¼nh h ng ng y trong khæng kh½ t¤i 1 khu vüc X câ p ngh¼n d¥n l 

C(p) = 0.5p + 1 (%)

Ng÷íi ta công ÷îc t½nh r¬ng, sau t n«m kº tø thíi iºm hi»n t¤i, d¥n sè ð khu vüc n y s³ l 

p(t) = 10 + 0.1t2 (ngh¼n)

T¼m mùc CO trung b¼nh h ng ng y theo sè n«m kº tø thíi iºm hi»n t¤i v  cho bi¸t ¸n khi n o th¼ mùc CO trung b¼nh h ng ng y s³ ¤t 6.8 %

H€M SÈ 2.4 H m sè ng÷ñc

2.4 H m sè ng÷ñc

1 Cho f : (2, +∞) → (1, +∞) , f(x) =x + 1

x − 2 Chùng minh f l  mët song ¡nh T¼m f−1(x)

2 P = f(t), trong â P l  sè l÷ñng lo i chim tr¶n mët hán £o (ìn và ngh¼n), t l  sè n«m t½nh tø n«m

2007 H¢y cho bi¸t

a f(4) þ ngh¾a l  g¼?

b f−1(4)þ ngh¾a l  g¼?

3 Cho h m sè y = f(x) câ ç thà nh÷ h¼nh v³ v  3 ç thà A, B, C

H¢y cho bi¸t ç thà n o l  cõa f−1

Ch֓ng 3

GIÎI H„N V€ LI–N TÖC

3.1 Giîi h¤n h m sè

1 T¼m giîi h¤n sau (n¸u câ): lim

x→0

ex− cos(x) x

2 Mët ng÷íi kinh doanh b§t ëng s£n ÷îc t½nh r¬ng sau t n«m kº tø thíi iºm hi»n t¤i, sè thûa §t m  æng ta b¡n i ÷ñc cho d÷îi d¤ng h m sè

S(t) = −2t3+ 19t2− 8t − 9

−t2+ 8t − 7 . Häi sau 1 n«m, sè thûa §t æng b¡n ÷ñc l  bao nhi¶u?

3.2 Væ còng lîn, væ còng b²

1 T¼m mët h m sè t÷ìng ÷ìng d¤ng axα khi x → 0 cõa f(x) = x ln(1 + 2x)

2 T¼m mët h m sè t÷ìng ÷ìng d¤ng axα khi x → +∞ cõa f(x) = x + 2 ln(x)

3 So s¡nh bªc c¡c væ còng b² ho°c væ còng lîn sau:

a f(x) = x2− 2 sin(x), g(x) = x cos(x), x → 0

b f(x) = ln(1 − 2x2+ x3), g(x) = x − 2x, x → +∞

4 Mët cèc c  ph¶ chùa 100mg caffeine ÷ñc  o th£i li¶n töc ra khäi cì thº vîi tèc ë 17% méi gií

a Chùng minh l÷ñng caffein cán l¤i trong cì thº sau t gií ÷ñc t½nh bði cæng thùc

P (t) = 100e−0.17t

b K¸t luªn g¼ khi t õ lîn

3.3 T¼m ti»m cªn cõa ÷íng cong y = f(x)

1 f(x) =

√

x2+ 4 3x − 2

2 f(x) = (x + 2)e− 2

x

GIÎI H„N V€ LI–N TÖC 3.4 H m sè li¶n töc

3.4 H m sè li¶n töc

1 X²t t½nh li¶n töc tr¡i, li¶n töc ph£i, li¶n töc cõa c¡c h m sè sau

f (x) =







sin(x)

|x| , x 6= 0,

1, x = 0,

t¤i x = 0, x = 1

2 Mët cæng ty t½nh ph½ 7.5/l½t cho mët lo¤i sìn cho t§t c£ c¡c ìn °t h ng 50 l½t trð xuèng v  6.75

/l½t cho c¡c ìn h ng tr¶n 50 l½t °t P (x) l  chi ph½ º cæng ty mua x l½t sìn

a T¼m chi ph½ mua 40 l½t, 50 l½t, 60 l½t

b P khæng li¶n töc t¤i ¥u?

Ch֓ng 4

„O H€M V€ VI PH…N

4.1 ¤o h m cõa h m sè y = f(x)

4.1.1 T½nh ¤o h m t¤i c¡c iºm ÷ñc ch¿ ra

1 f(x) = x.2x−x2, x0= −1

2 f(x) = (x − 2) |x| , x0= 1, x0= 0

4.1.2 Þ ngh¾a thüc t¸ cõa ¤o h m

1 Mët thòng h¼nh trö chùa 1000 l½t n÷îc Thòng bà thõng ð ¡y v  n÷îc tho¡t ra ngo i Thº t½ch n÷îc

cán l¤i sau t gi¥y ÷ñc cho bði ph÷ìng tr¼nh :

V (t) = 1000



1 − t 60

 , 0 ≤ t ≤ 60

a T¼m tèc ë n÷îc tho¡t ra ngo i theo thíi gian t

b T¤i c¡c thíi iºm 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, x¡c ành vªn tèc dáng n÷îc tho¡t v  l÷ñng n÷îc cán l¤i

2 Mët nh  s£n xu§t cho bi¸t têng chi ph½ (t½nh b¬ng ng n USD) º s£n xu§t x ìn và s£n ph©m A l 

C(x) = 6x2+ 2x + 10

T¼m chi ph½ cªn bi¶n khi s£n xu§t 10 ìn và s£n ph©m A

4.1.3 Þ ngh¾a h¼nh håc cõa ¤o h m

1 T¼m h» sè gâc ti¸p tuy¸n cõa ç thà h m sè f(x) = x2+1

x t¤i x0= −1

2 T¼m t§t c£ c¡c iºm tr¶n ÷íng cong y = f(x) = 2x3− x2− 7x − 1m  t¤i â ti¸p tuy¸n song song vîi

÷íng th¯ng y = 3x − 2

4.1.4 C¡c ph²p to¡n ¤o h m

A Bèn ph²p to¡n

1 Vîi 1 mol kh½ lþ t÷ðng, ph÷ìng tr¼nh tr¤ng th¡i cho bði P V = 8.31T , trong â P (KP ascal), V (Lit), T (Kenvin) T¤i thíi iºm nhi»t ë ¤t ÷ñc 300K v  thº t½ch kh½ ¤t 100L , vªn tèc t«ng nhi»t l  0.1K/s v  vªn

tèc t«ng thº t½ch l  0.2L/s , t½nh tèc ë thay êi cõa ¡p su§t P

„O H€M V€ VI PH…N 4.2 ¤o h m c§p cao cõa h m sè y = f(x)

B ¤o h m h m hñp

1 Cho f(x) v  g(x) câ ¤o h m t¤i måi iºm v  f0(0) = 2, g0(−2) = 1 °t h(x) = x.f(x2− 1), k(x) = f (x) + g(3x − 2), t½nh h0(1)v  k0(0)

2 Mët gi¸ng d¦u bà rá r¿ ngo i khìi, l m tr£i mët m ng d¦u h¼nh trán tr¶n m°t n÷îc T¤i thíi iºm

t (t½nh b¬ng phót) sau khi b­t ¦u rá r¿, b¡n k½nh cõa v¸t d¦u trán (t½nh b¬ng m²t) ÷ñc cho bði R(t) = 4t T¼m tèc ë thay êi di»n t½ch cõa v¸t d¦u loang theo thíi gian

C ¤o h m h m ng÷ñc

1 Cho f : R → R, f(x) = sinh(x) T¼m f−1
0

(0)

2 Trong mët ñt dàch b»nh lan truy·n m¤nh, sè ca m­c mîi ð ng y thù t (t½nh tø ng y thèng k¶ ¦u ti¶n) l  h m sè S(t) H¢y n¶u þ ngh¾a cõa S−1
0

(20) = 1

9

4.2 ¤o h m c§p cao cõa h m sè y = f(x)

4.2.1 T½nh gi¡ trà ¤o h m c§p cao t¤i iºm cö thº

1 T½nh f00 1

2

 vîi f(x) = arcsin(√1 − x2)

2 T½nh f(5)(1)vîi f(x) = x + 1√

x

4.2.2 Þ ngh¾a cõa ¤o h m c§p 2

1 C¡c ç thà d÷îi ¥y mæ t£ qu¢ng ÷íng, vªn tèc v  gia tèc cõa mët chuyºn ëng H¢y ph¥n bi»t ç thà cõa 3 ¤i l÷ñng n y

2 Gi£ sû f(t) l  nhi»t ë trung b¼nh cõa th nh phè A v o th¡ng thù t cõa n«m V o thíi iºm t0∈ (2, 3),

f0(t0) = 2, f00(t0) < 0, i·u n y câ þ ngh¾a g¼?

„O H€M V€ VI PH…N 4.4 Khai triºn Taylor

4.3.2 X§p x¿ tuy¸n t½nh

1 Dòng x§p x¿ tuy¸n t½nh º t½nh g¦n óng ln(1.02)

2 Ph¥n bân câ thº l m thay êi s£n l÷ñng c¥y trçng Mët nghi¶n cùu ð Kenya tr¶n ngæ cho bi¸t s£n l÷ñng cõa ngæ (t¤i 1 àa ph÷ìng cö thº) theo sè kg ph¥n bân (x) ÷ñc biºu di¹n d¤ng y = f(x), trong

â f t½nh theo shilling Gi£ sû f câ ¤o h m t¤i måi x > 0

a N¶u þ ngh¾a f(5) = 11500 v  f0(5) = 350

b ×îc t½nh s£n l÷ñng ngæ theo c¡c gi¡ trà ¢ cho ð c¥u tr¶n n¸u sû döng 5.2kg ph¥n bân

4.4 Khai triºn Taylor

4.4.1 T¼m khai triºn Taylor/Maclaurin

1 T¼m khai triºn Maclaurin c§p 3 cõa f(x) = ln(2 + x)

2 T¼m khai triºn Taylor c§p 3 cõa f(x) = x ln(x) trong l¥n cªn x = 1

4.5 Kh£o s¡t h m sè y = f(x)

4.5.1 B i to¡n v· chi·u bi¸n thi¶n v  cüc trà

1 T¼m c¡c kho£ng t«ng/gi£m cõa h m sè f(x) = x (1 +√x)

2 T¼m cüc trà cõa c¡c h m sè sau f(x) =p(x − 1)(x + 2)3 2

3 Gi£ sû f(x) li¶n töc v  câ ç thà cõa f0(x)nh÷ h¼nh b¶n d÷îi, h¢y ch¿ ra c¡c iºm cüc trà cõa f(x)

4.5.2 B i to¡n v· t½nh lçi lãm v  iºm uèn

1 T¼m t§t c£ c¡c iºm uèn cõa ÷íng cong y = x2ln(x)

2 Cho h m sè f(x) câ ç thà nh÷ h¼nh v³ H¢y cho bi¸t

a f00(xA)d÷ìng hay ¥m?

b T¼m c¡c kho£ng t«ng/gi£m cõa f0(x)

c f0(x)câ bao nhi¶u iºm cüc ¤i, bao nhi¶u iºm cüc tiºu,

trong c¡c kho£ng n o?

4.5.3 V³ ç thà h m sè y = f(x)

„O H€M V€ VI PH…N 4.6 H m sè cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè

1 f(x) =√x + 1

x3− 2x2+ 1

4.5.4 B i to¡n t¼m min-max

1 T¼m gi¡ trà lîn nh§t gi¡ trà nhä nh§t cõa c¡c h m sè sau

a f(x) = xe− x2

1 + x

 , x ∈ [0, 1]

2

Ng÷íi ta muèn treo ph½a tr¶n v  ch½nh giúa mët bçn cä h¼nh trán

câ b¡n k½nh√2m Bi¸t r¬ng c÷íng ë ¡nh s¡ng i ¸n m²p bçn

cho bði C = csin α

l2 (c l  h¬ng sè phö thuëc nguçn s¡ng, α v  l nh÷ h¼nh v³) T¼m l º C ¤t gi¡ trà lîn nh§t

4.6 H m sè cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè

4.6.1 Þ ngh¾a cõa ÷íng cong tham sè

1 X¡c ành chi·u ÷íng i tr¶n quÿ ¤o n¸u chuyºn ëng cõa vªt cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè vîi t l  thíi gian







x(t) = sin(t)

y(t) = sin2(t) cos(t)

t ∈ [0, π]

2 H¼nh b¶n d÷îi l  ç thà cõa 4 h m sè cho bði c¡c ph÷ìng tr¼nh tham sè







x = x(t)

y = y(t)

, t ∈ [a, b], a < b

„O H€M V€ VI PH…N 4.6 H m sè cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè

4.6.2 ¤o h m cõa h m sè y = y(x) x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh tham sè

1 T½nh y0(x)n¸u y(x) x¡c ành bði c¡c ph÷ìng tr¼nh tham sè







x(t) = t2+ t

y(t) = 0.3t − ln(t)

t¤ix = 1

2 T¼m h» sè gâc ti¸p tuy¸n cõa ÷íng cong tham sè sau t¤i x = 0







x(t) = tet

y(t) = te−t

3 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n vîi ÷íng cong tham sè khi t = π







x(t) = t − 3 sin(t)

y(t) = 4 − 3 cos(t)

4.6.3 T¼m cüc trà cõa c¡c h m sè y = y(x) cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè

1







x(t) = 3t − t3

y(t) = 4t − t4

t ∈ [0, 1]

4.6.4 T¼m ti»m cªn cõa c¡c ÷íng cong tham sè







x(t) = t −2

t y(t) = t2+1

t + 1 4.6.5 V³ ÷íng cong tham sè







x(t) = t − 3 sin(t)

y(t) = 4 − 3 cos(t)

t ∈ [−π, π]

Ch֓ng 5

TCH PH…N

5.1 T½ch ph¥n b§t ành

5.1.1 T½nh t½ch ph¥n

1 Dòng c¡c ph÷ìng ph¡p êi bi¸n sè v  t½ch ph¥n tøng ph¦n º t½nh c¡c t½ch ph¥n sau

a Z x2e−x 3

2 T½nh t½ch ph¥n c¡c h m húu t sau

a Z 3x − 2

x2+ 2x + 1

3 T½nh t½ch ph¥n c¡c h m væ t sau

a Z dx

x +√

x√

x2− 2 5.1.2 Þ ngh¾a nguy¶n h m

1 N¸u gåi C(t) l  mùc CO2b¼nh qu¥n trong khæng kh½ t½nh theo t l» ph¦n tri»u (%) v  t l  thíi gian t½nh theo n«m th¼ mæ h¼nh kh½ th£i n y tø n«m 1950 (t¤i mët khu vüc n o â) cho bði cæng thùc:

C0(t) = 0.5 + 0.03t, t = 0t÷ìng ùng n«m 1950

N¸u C v o n«m 1950 l  311%, t¼m C(t)

2 T¼m mët h m sè f bi¸t r¬ng h» sè gâc ti¸p tuy¸n t¤i iºm (x, f(x)) b§t ký cõa ç thà l  x2− x + 2v 

ç thà i qua iºm (−1, 1)

5.2 T½ch ph¥n x¡c ành

TCH PH…N 5.2 T½ch ph¥n x¡c ành

5.2.2 T½nh g¦n óng nhí têng t½ch ph¥n

1 ×îc t½nh gi¡ trà cõa c¡c t½ch ph¥n sau b¬ng têng Riemnn vîi ph¥n ho¤ch ·u 10 o¤n chia v  dòng 3 c¡ch: têng tr¡i, têng ph£i, têng trung t¥m

1

Z

0

x2dx

2 ×îc t½nh mùc ti¶u thö d¦u thæ tr¶n th¸ giîi trong 25 n«m tø 1985 ¸n 2010 düa v o b£ng thèng k¶ sau, sû döng têng Riemann tr¡i

Mùc ti¶u thö (t thòng/n«m) 20.9 23.3 25.6 28.0 30.7 31.7

5.2.3 T½ch ph¥n x¡c ành v  di»n t½ch mi·n ph¯ng

1 H m sè f câ ç thà f0 nh÷ h¼nh v³, bi¸t f(0) = 2, i·n c¡c gi¡ trà v o b£ng sau

f (x)

2 H m sè f câ ç thà f0 nh÷ h¼nh v³, bi¸t f(0) = 10 ph¡c håa ç thà cõa f çng thíi ch¿ rã c¡c kho£ng t«ng gi£m v  c¡c iºm cüc trà cõa f

5.2.4 Gi¡ trà trung b¼nh

1 T½nh gi¡ trà trung b¼nh cõa f(x) = x2+ x + 1, x ∈ [0, 2], t¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà x0∈ [0, 1]m  t¤i â

f ¤t gi¡ trà trung b¼nh

5.2.5 ành lþ cì b£n cõa vi t½ch ph¥n

1 T½nh ¤o h m cõa f(x) =

x

Z

0

t2e−3t+1dt t¤i x0= 1

5.2.6 C¡c ùng döng h¼nh håc cõa t½ch ph¥n x¡c ành

1 T½nh di»n t½ch c¡c mi·n ph¯ng D cho bði c¡c i·u ki»n giîi h¤n nh÷ b¶n d÷îi

a y = 2x, y = 3x, 0 ≤ x ≤ 1(f1, f2, [a, b])

b x + y = 2, x =√y, y = 0(f1, f2, f3)

c y = 4 − 2x2, y = 2x(f1, f2)

d x2+ y2≤ 2, y ≥ x2, x ≤ 0(≤, ≥)

2 T½nh thº t½ch trán xoay khi mi·n ph¯ng sau quay quanh tröc Ox, Oy: x + y = 2, x =√y, y = 0

TCH PH…N 5.3 T½ch ph¥n suy rëng

3 Cho ֒ng cong (C): y =

√ x

6 (12 − x), 0 ≤ x ≤ 1 T½nh ë d i cung v  di»n t½ch m°t trán xoay ÷ñc t¤o ra khi (C) quay quanh c¡c tröc Ox, Oy

5.3 T½ch ph¥n suy rëng

5.3.1 T½nh t½ch ph¥n suy rëng

1

+∞

Z

1

dx

+∞

Z

0

xe−x 2 dx

3 T½nh di»n t½ch mi·n ph¯ng giîi h¤n bði ÷íng cong y = 1

x3e− 1 x2 v  tröc Ox tr¶n mi·n x ≥ 1

5.3.2 Kh£o s¡t sü hëi tö

1

+∞

Z

1

x + 1

x3+ 3x2+ 1dx 2

+∞

Z

1

x



1 − cos1 x



1

Z

0

dx

√

x − x2

Ch֓ng 6

PH×ÌNG TRœNH VI PH…N

6.1 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p 1

6.1.1 T¼m nghi»m têng qu¡t

1 Ph÷ìng tr¼nh t¡ch bi¸n: 3y2y0= 2x + 1

2 Ph÷ìng tr¼nh ÷a v· t¡ch bi¸n: y0= (2x − 3y + 1)2

3 Ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t (¯ng c§p): y0= x − y

x + y

4 Ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh: y0+ 2xy = xe−x 2

5 Ph÷ìng tr¼nh Bernoulli: y0− y

2x = −

1 2y

6.1.2 T¼m nghi»m b i to¡n Cauchy

(1 + y2) − xyy0 = 0; y(1) = 0

6.1.3 B i to¡n thüc t¸

1 D¤ng tü th nh lªp b i to¡n

a B i to¡n h¼nh håc

i B i to¡n li¶n quan ¸n ti¸p tuy¸n, ph¡p tuy¸n(ìn gi£n)

T¼m mët ÷íng cong y = f(x) i qua iºm (3,2) Bi¸t r¬ng o¤n ch­n cõa ti¸p tuy¸n (vîi ÷íng cong t¤i 1 iºm b§t ký) tr¶n hai tröc tåa ë luæn bà chia æi bði ti¸p iºm

ii B i to¡n v· quÿ ¤o trüc giao (mîi)

T¼m quÿ ¤o trüc giao cõa hå ÷íng cong (P) câ ph÷ìng tr¼nh y = kx2

b B i to¡n d¥n sè

i Mæ h¼nh t«ng tr÷ðng tü nhi¶n P0(t) = kP (t) (D¤ng n y sinh vi¶n câ thº lªp tø h m mô m  khæng c¦n qua ptvp.)

Mët th nh phè câ 226 ng n d¥n v o n«m 1996 Tèc ë gia t«ng d¥n sè tü nhi¶n cõa th nh phè

n y l  0.08%/n«m T¼m ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n mæ t£ d¥n sè cõa th nh phè n y H¢y cho bi¶t sau bao l¥u th¼ d¥n sè ¤t 228 ng n d¥n

PH×ÌNG TRœNH VI PH…N 6.2 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p 2 h» sè h¬ng

ii Ph÷ìng tr¼nh LogisticP0(t) = k



1 −P (t) L

 Trong mët hç n÷îc thi¶n nhi¶n ban ¦u câ 400 con c¡ Sè c¡ tèi a câ thº sinh sèng trong hç l  10.000 con Bi¸t sau 1 n«m sè c¡ t«ng g§p 3 l¦n T¼m sè c¡ sau t n«m Sau bao nhi¶u n«m, cè c¡ trong hç s³ ¤t 5000 con

c B i to¡n háa tan (t¡ch bi¸n/tuy¸n t½nh)

i Trong thòng chùa 100 l½t n÷îc Ng÷íi ta bìm v o thòng n÷îc muèi câ nçng ë 0.4kg/l vîi tèc

ë 5l/phót, hén hñp ÷ñc bìm ra công vîi tèc ë 5l/phót Sü çng ch§t cõa hén hñp ÷ñc

£m b£o b¬ng c¡ch khu§y ·u T¼m l÷ñng muèi trong thòng sau 20 phót

ii Trong thòng chùa 100 l½t n÷îc muèi nçng ë 0.5kg/l Ng÷íi ta bìm n÷îc v o thòng vîi tèc

ë 5l/phót, hén hñp ch£y ra vîi tèc ë 3l/phót Sü çng ch§t cõa hén hñp ÷ñc £m b£o b¬ng c¡ch khu§y ·u T¼m l÷ñng muèi trong thòng sau 20 phót

iii Trong thòng chùa 100 l½t n÷îc Ng÷íi ta bìm v o thòng hén hñp n÷îc muèi câ nçng ë 0.4kg/l vîi tèc ë 5l/phót, hén hñp ÷ñc bìm ra vîi tèc ë 3l/phót Sü çng ch§t cõa hén hñp ÷ñc

£m b£o b¬ng c¡ch khu§y ·u T¼m l÷ñng muèi trong thòng sau 20 phót

Gåi y(t) l  l÷ñng muèi cán l¤i trong thòng sau t phót T¼m l÷ñng muèi cán l¤i trong thòng sau 20 phót

d B i to¡n v· quy luªt gi£m nhi»t (ph¡t biºu l¤i quy luªt)

Vªn tèc nguëi l¤nh cõa mët vªt trong khæng kh½ t l» vîi hi»u giúa nhi»t ë cõa vªt v  nhi»t ë khæng kh½ T¼m quy luªt gi£m nhi»t cõa vªt n¸u nhi»t ë cõa khæng kh½ l  20◦C, nhi»t ë ban ¦u cõa vªt l  100◦C, sau 10 phót nhi»t ë cõa vªt cán 60◦C

2 D¤ng cho s®n ph÷ìng tr¼nh(tòy þ)

a C÷íng ë dáng i»n I trong m¤ch câ cuën c£m vîi tø dung L (Henry), i»n trð R (Ohm), hi»u i»n th¸ V (volt) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh

LdI

dt + RI = U T¼m c÷íng ë dáng i»n sau 10 gi¥y, n¸u U = 4(v), R = 10(Ω), L = 2(H), I(0) = 0

b Mët lo¤i thuèc truy·n qua ÷íng t¾nh m¤ch cho b»nh nh¥n vîi tèc ë v1(t) = 1+sin(t)(mg/ml)/gií Thuèc ÷ñc chuyºn hâa vîi tèc ë v2(t) = y(t)(mg/ml)/gií, vîi y(t) l  nçng ë thuèc trong m¡u sau t gií kº tø lóc thuèc ÷ñc ÷a v o t¾nh m¤ch, t½nh b¬ng mg/ml Tèc ë thay êi nçng ë thuèc trong m¡u sau t gií l  y0(t) = v1(t) − v2(t) X¡c ành nçng ë thuèc trong m¡u sau 2 gií

6.2 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p 2 h» sè h¬ng

6.2.1 T¼m nghi»m ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t