Sau hơn hai ngày vất vả làm ngồi làm đống bài tập giải tích I của K58 này thì có một sự buồn nhẹ là người mình đã mệt lừ :(. Trong quá trình đánh máy không tránh khỏi sai sót và có thể lời giải còn chẳng đúng nữa =)) mong được các bạn góp ý để mình sửa cho đúng :D ( nói thể thôi chứ sai thì mặc xác chứ lấy đâu time mà sửa với chả sủa nữa :v). Trong này còn một số bài mình chưa làm được :( vì học lâu rồi nên cũng chẳng nhớ nữa :D. Hy vọng nó sẽ giúp cho các bạn K58 và những ai học cải thiện, họ c lại môn này có được điểm F =))
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
-LỜI GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - K58
( TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ )
Hà Nội, 9/2013
Trang 2LỜI NÓI ĐẦU
Sau hơn hai ngày vất vả làm ngồi làm đống bài tập giải tích I của K58 nàythì có một sự buồn nhẹ là người mình đã mệt lừ :-( Trong quá trình đánhmáy không tránh khỏi sai sót và có thể lời giải còn chẳng đúng nữa =))mong được các bạn góp ý để mình sửa cho đúng :D ( nói thể thôi chứ saithì mặc xác chứ lấy đâu time mà sửa với chả sủa nữa :v) Trong này cònmột số bài mình chưa làm được :-( vì học lâu rồi nên cũng chẳng nhớ nữa:D Hy vọng nó sẽ giúp cho các bạn K58 và những ai học cải thiện, học lạimôn này có được điểm "F " =))
Chúc các bạn học tốt !
Trang 3Chương 1HÀM MỘT BIẾN SỐ1.1-1.5 Dãy số, hàm số, giới hạn và liên tục
b y = arcsin log x
10
Trang 4
−π
2,
π2
x2(1 − x)2
Trang 5Chứng minh Giả sử
Trang 6trong đó g(x) là hàm chẵn và h(x) là hàm lẻ Khi đó
f (−x) = g(−x) + h(−x) = g(x) − h(x) (2)(1) + (2) ta được
⇔ A cos λ (x + T ) + B sin λ (x + T ) = A cos λx + B sin λx
⇔ A cos λx cos λT − A sin λx sin λT + B sin λx cos λT + B sin λT cos λx
sin x tuần hoàn chu kỳ 2π
sin 2x tuần hoàn chu kỳ π
sin 3x tuần hoàn chu kỳ 2π3
Suy ra f(x) tuần hoàn chu kỳ là BCNN của 2π, π,2π
3 là 2π
Trang 7b lim
x →a
(x n −a n )−na n−1 (x−a)
(x−a)2 , n ∈ Nlim
x →a
(x n −a n )−na n−1 (x−a)
(x−a)2L
√ x+1lim
x →+∞
q
x+√
x+ √ x
√ x+1 = lim
x →+∞
√ x
x 3 +x 2 −1+x 2
= lim
x →+∞
x23x 2 = 13
= mα + βn
Trang 8
< √ 1x+1+ √
x < 2√1
x → 0Suy ra lim
= lim
x →0
√
cos x−1 sin2x − lim
x →0
3
√ cos x−1 sin2x
= lim
x →0
cos x−1 sin 2 x( √cos x+1) − limx
→0
cos x−1 sin2x(√cos 2 x+ √
x →∞
x −1 x+1 = 1 ⇒ limx→∞xx22−1+1
x−1 x+1
= 1
Trang 9= ex→0+lim
−x/2 x
1.8 Hàm số liên tục
Trang 10x →0 +g(x) = lim
x →0 − ax2 + bx + 1 = 1Hàm g(x) liên tục tại x = 0 khi
• x → 0+ ⇒ cot x → +∞ ⇒ 2cot x → +∞ ⇒ lim
x →0 −
8 1−2 cot x = 0Vậy x = 0 là điểm gián đoạn loại I
Suy ra sin xn = sin xn = sin −2nπ − π2 = −1 ⇒ lim
x →0 −
sin 1 x
e x1+1 = −1Suy ra không tồn tại lim
x →0 −
sin1x
e x1+1Vậy x = 0 là điểm gián đoạn loại II
c y = e ax −e bx
x , (a 6= b)
Trang 11f′(x) = nxn−1sinx1 − xxn2 cosx1 = xn−2 n sin 1x − cosx1
f (x) có đạo hàm tại x = 0 khi
Trang 12⇒ f+ ′(a) = ϕ(a), f−′(a) = −ϕ(a)
Do ϕ(a) 6= 0 ⇒ f+ ′(a) 6= f−′(a) Suy ra hàm f (x) không có đạo hàm tại
x = a nên không khả vi tại x = a
dy = 2a1 ln x −a
x+a
Trang 13
20 Tính gần đúng giá trị của biểu thức
Trang 15eaxsin (bx + c + (k + 1) ϕ)Đạo hàm 2 vế của (∗) ta được
y(k+1) = y(k)′ = a2 + b2k2
eax(a sin X + b cos X)trong đó X := bx + c + kϕ
Mặt khác
a sin X+b cos X =pa2 + b2sin (X + ϕ) = a2 + b212
sin (bx + c + (k + 1) ϕ)Suy ra
y(k+1) = a2 + b2
k+1
2 eaxsin (bx + c + (k + 1) ϕ)
Trang 161.10 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng
23 Chứng minh rằng phương trình xn + px + q = 0 với n nguyên dươngkhông thể có quá 2 nghiệm thực nếu n chẵn, không có quá 3 nghiệm thựcnếu n lẻ
Chứng minh Gọi Pn(x) := xn+ px + q
⇒ Pn′(x) = nxn −1+ p Đa thức Pn(x) có n nghiệm thực hoặc phức phânbiệt hoặc trùng nhau và đa thức P′
n(x) có n − 1 nghiệm thực hoặc phứcphân biệt hoặc trùng nhau.Nghiệm của đa thức đạo hàm là nghiệm củaphương trình xn −1 = −np Phương trình này chỉ có 1 nghiệm thực khi nchẵn và không có quá 2 nghiệm thực khi n lẻ Do đó, nếu n chẵn và Pn(x)
có 3 nghiệm thực phân biệt x1, x2, x3 thì áp dụng định lý Rolle vào [x1, x2]
và [x2, x3] sẽ suy ra được đa thức Pn′(x) có ít nhất 2 nghiệm thực (vô lývới lập luận trên) Tương tự với trường hợp n lẻ
24 Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng f (b)−f(a)
g (b)−g(a) = fg′′(c)(c) không ápdụng được đối với các hàm số
f (x) = x2 g(x) = x3, −1 ≤ x ≤ 1
Giả thiết công thức Cauchy cần có g′(x) 6= 0 Ở đây g′(x) = 0 tại x = 0
Vì vậy không thể áp dụng công thức Cauchy với hàm các hàm số này được.25.Chứng minh bất đẳng thức
Trang 17vì |cos c| ≤ 1 nên |sin x − sin y| ≤ |x − y| (đpcm)
b a −b
a < lnab < a−bb , 0 < b < a
Xét hàm số f(x) = ln x, x ∈ [b, a], b > 0 Theo công thức Lagrange ta có
f (a) − f(b) = (a − b)f′(c), b < c < atức là
x+√x+ √x+√
x
= lim
x →+∞
q 1+√1
x
r 1+q1
x +√ 1 x2 +1
x2)−1+ 1
2 1
x2 −o 3( 1
x2)1−1−2x21 +o 2( 1
x2)
⇒ limx
→∞
e1x −cos1x1−√1−1 = lim
x →∞
1 x 1
Trang 18= lim
x →1
−1 2−x π
f (x) − f(a) − f(b)−f(a)b−a (x − a) = (x−a)(x−b)2 f′′(c)
Trang 19Theo giả thiết f(x) có đạo hàm cấp 2 nên ϕ(x) cũng có đạo hàm cấp
2 và ϕ′(x1) ϕ′(c2) = 0 nên theo định lý Rolle tồn tại c ∈ (c1, c2) sao cho
Trang 20TÍCH PHÂN2.1 Tích phân bất định
1 Tính các tích phân
a R 1 − 1
x 2 px√
xdxR
Trang 21R √
1 − sin 2xdx = R
q(sin x − cos x)2dx = R |sin x − cos x| dx
=
sin x − cos x, sin x ≥ cos x
− sin x + cos x, sin x < cos x
...
q 1+ √1< /sub>
x
r 1+ q1< /small>
x +√ 1 x2 +1< /small>
x2)? ?1+ 1< /small>...
e1< /sup>x −cos1< /sup>x1? ??√1? ??1< /sup> = lim
x →∞
1 x 1< /small>