Chuong 3 LTM Compatibility Mode 8132019 1 Chöông 3 Hiện tượng quá độ trong các mạch RLC 3 1 Luật đóng ngắt 3 2 Biến đổi Laplace 3 3 Công thức Heaviside 3 4 Các thông số của mạch điện trong miền La.quá độ trong các mạch RLCquá độ trong các mạch RLCquá độ trong các mạch RLCquá độ trong các mạch RLC
Trang 1Chương 3: Hiện tượng quá độ trong các mạch
RLC
3.1 Luật đĩng ngắt
3.2 Biến đổi Laplace
3.3 Cơng thức Heaviside
3.4 Các thơng số của mạch điện trong
miền Laplace
3.5 Ứng dụng biến đổi Laplace để giải
các bài tốn mạch quá độ
3.6 Bài tập
1
a.Luật đóng ngắt đối với thông số điện cảm:
Dòng điện qua thông số điện cảm phải biến thiên liên tục
ngay cả tại thời điểm xảy ra đột biến trong các tham số
của mạch điện
) 0 ( ) 0 (
; ) ( )
dt
t di L t U
b.Luật đóng ngắt đối với thông số điện dung
-Điện áp trên thông số điện dung phải biến thiên liên tục
ngay cả thời điểm xảy ra đột biến trong các tham số của
mạch điện
dt
t du
C c( )
) 0 ( )
0 ( − = c +
U
ic(t) =
3.1 LUẬT ĐĨNG NGẮT
2
Trang 2E C L
S1
L=100mH, C=10F Trước t < 0 thì S1 đóng Đến t = 0 thì ngắt S1 tìm dòng điện i(t) đi qua mạch
E
iL(0) Uc(t)
A R
R
E i
i i
C X
L X
o L
L L c L
05 , 0 200
10 )
0 ( ) 0 ( ) 0 (
1
) 0 ( 0
=
= +
=
=
=
∞
=
=
=
=
=
+
−
ω
ω ω
V E
R R
R U
U
U
o c
c
200
150
) 0 ( ) 0 ( )
0
+
=
=
Thiết lập điều kiện đầu
3.1 LUẬT ĐĨNG NGẮT
3
• Luật đĩng ngắt tổng quát
– Tổng từ thơng mĩc vịng trong
một vịng kín phải biến thiên
liên tục ngay cả tại thời điểm
xảy ra đột biến trên các thơng
số của mạch điện
– Tổng điện tích trên các thơng
số điện dung trên các nhánh
nối vào một nút phải biến thiên
liên tục ngay cả tại thời điểm
xảy ra đột biến trên các thơng
số của mạch điện
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
+
−
+
−
+
−
+
−
=
=
=
Φ
= Φ
k C k h
C h
k C h
C
k L k h
L h
k L h
L
k h
k h
k h
k h
u C u
C
q q
i L i
L
) 0 ( )
0 (
) 0 ( )
0 (
) 0 ( )
0 (
) 0 ( )
0 (
CÁC ĐIỀU KIỆN ĐẦU ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG
TRÌNH MẠCH ĐIỆN
4
Trang 33.2 Phép biến đổi Laplace thuận, Laplace ngược )
∫
∫
∞ +
∞
−
+∞
∞
−
=
−
=
j C
j C
ds st s
F j t
f
dt st t
f s
F
) exp(
) ( 2
1 ) (
) exp(
) ( )
(
π
1.
dt
t
+ ∫
∞
−
0
) ( )
(
1
dt t f s F s
2.
)
(t
tf
−
ds
s
dF ( )
3.
5
5 ( )
a
t
6 1(t)(hàm hằng) 1/s
n
!
+
n
s
n
7.
at
e−
a
s+
1
8.
t ω
sin
2
2 ω
ω
+
s
9.
t ω
s
10
6
Trang 43.3 Công thức HEAVISIDE
) (
) (
) (
) ( )
(
1
1
1
1 2
1
k N
k
l M
l N
k
k k
M
l
l l
s s
s s K
s b
s a s
H
s H s F
−
−
=
=
=
Π
Π
∑
∑
=
=
=
=
Sk : là nghiệm của H2(s)
Sl : là nghiệm của H1(s)
7
Khi H 2 (s ) chỉ có các nghiệm đơn thực :
∑
= − = − + − + + −
=
N k
k
s s
A s
s
A s
s
A s
s
A s
H
s H
s
F
2
1
1
2
1
) (
) (
)
(
) (
) )(
( lim )
)(
( lim
2
1
s H
s s s H A
s s s
S S K k
S
−
=
=
−
→
→
) exp(
) (
) ( )
(
) (
) ( )
(
) ( )
)(
( lim
1
' 2 1
' 2
1
2 '
1 1
'
t s s
H
s H t
f
s H
s H s
H
s H s
s s H A
k N
k
k
k k
S S K
K
∑
=
→
=
⇒
= +
−
=
) ) (
)(
( )
8
Trang 5Khi H 2 (s ) chỉ có các nghiệm đơn thực :
s s
s
s s
F
3 4
6 3
)
+ +
+
=
0 , 2
1 2
3 2 )
t e e
t
9
Khi H 2 (s ) chỉ có các nghiệm đơn thực :
) 16 4
)(
9 3 )(
4 2
(
1 )
(
2
+ +
+
+
=
s s
s s
s s
U
t t
t
e e
e t
192
17 36
5 96
5 576
1
)
t t
e e
t i
H
H A H
H A
s s
s H
s
s nghiem co
s H
s s
s s
I
10 6
' 2
1 2 '
2
1 1
' 2
2
1 2
4
15 4
7 ) (
4
15 ) 10 (
) 10 (
; 4
7 ) 6 (
) 6 (
) 6 ( ) 10 ( ) (
10
6 2
) (
) 10 )(
6 (
5 2 )
(
−
− +
−
=
=
−
−
=
−
=
−
−
=
+ + +
=
−
=
−
=
+ +
+
=
10
Trang 6Trường hợp H2(s) có nghiệm bội bậc r :
) exp(
)!
1 ( ) exp(
)
(
) )(
( lim
!
1
) )(
( lim
2
1
) )(
(
lim
) )(
(
lim
) ( ) (
) (
) ( ) ( )
(
) ( )
(
)
(
)
(
1 0
1
1
)
2
)
2
(
2 1
1
0
1 0 1
2
1
2
1
0
1 2
1 0
t s i
r
t A t
s A
t
f
s s s F ds
d
i
A
s s s F ds
d
A
s s s F
ds
d
A
s s
s
F
A
s s
A s
s
A s
s
A s
s
A s
s
A s
s
A
s s
A s
s
A s
H
s
H
s
F
l r
i
i r l r
M
k
k k
r l i
i
s
s
l
r l s
s
l
r l s
s
l
r l s
s
l
l l l
l i
r l
l r
l
l r
l l r
i
i
r
l
li
r
i
i r l li r
M
k
i
l
i
l
l
l
r r
i
∑
∑
∑
∑
∑
−
=
−
−
=
→
→
→
→
−
−
−
−
−
=
−
− +
=
=
−
=
=
−
=
−
+
− + +
− + +
−
+
−
=
−
−
+
−
=
=
−
−
11
2
1
)
(
s
s
12
Trang 7[ ]
) 5 exp(
8 ) 5 exp(
8 ) 5 exp(
2 7 ) 4 exp(
8
)
(
) exp(
)!
1 ( ) exp(
)
8 1
8 ) 4 ( 2 8 lim 2
1 ) )(
( lim
2
1
8 1
8 ) 4 (
8 lim ) )(
( lim
7 1
7 4
12 lim ) )(
( lim
) 4 ( ) 5 ( 3 ) 5 ( ) ( 8 1
8 ) 4 ( ) 4 (
) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( 4 ) ( ) ( )
(
) 5 ( 4 ) ( ) ( )
(
3 5
4
) 5 )(
4 (
12 )
(
2
1
0
1
1
3 5 2
) 2 ( 2
2 5 2
5 2
2 3
' 2 '
2
1 1
2 3
1 2
1
2
0 1 2
1 2
1
3
2 2
2 1
2 0
2 1
0
t t
t t t
t t
u
t s i
r t A t
s A t
f
s s
s s U ds
d A
s s
s s U ds
d A
s
s s
s s U A
s s s
s H H
H
A
s
A s
A s
A s
A s H s H s
U
s
A s
A s H s H s
U
boi s
s
s s
s s U du
Thi
l r
i
i r l r
M
k
k k
s r l s
s
s r l s
s
s r l s
s
l l
l i
i r li
i
−
−
−
−
−
−
−
=
−
− +
=
−
=
−
=
+
=
−
=
−
=
−
=
+
−
=
=
−
=
−
=
+
+
=
−
=
+ + + +
=
=
=
−
−
=
+ + + + + + +
=
=
+ + +
=
=
−
=
−
=
+ +
+
=
∑
∑
∑
−
=
−
−
=
−
→
→
−
→
→
−
→
→
= −
13
) 15 exp(
1728
1 ) 15 exp(
144
1 ) 15 exp(
2 12
25 ) 3
exp(
.
1728
1
)
) exp(
)!
1 ( ) exp(
)
1728
1 ) 3 (
2 lim 2
1 ) )(
(
lim
2
1
144
1 ) 3 (
1 lim )
3 (
) 5 2 ( ) 3 ( 2 lim ) )(
(
lim
12
25 3 5 2 lim ) )(
(
lim
) 3 ( ) 15 ( 3 ) 15 ( ) 1728
1
)
3
(
)
3
(
) 15 ( ) 15 ( ) 15 ( 3
)
(
)
(
)
(
) 15 ( 3
)
(
)
(
)
(
3
15
3
) 15 )(
3 (
5 2 )
2
1
0 1
1
3 15 2
)
2
(
2
2 15 2
15 2
15 2
2 3
' 2 '
2
1
1
2 3
1
2
1
2
0 1
2
1
2
1
3
2
2
2
1
2
0
2 1
0
t t
t t t
t
t
u
t s i
r t A t
s
A
t
f
s s
s s U
ds
d
A
s s
s s s
s
s
U
ds
d
A
s
s s
s
s
U
A
s s s
s H H
H
A
s
A s
A s
A s
A
s
H
s
H
s
U
s
A s
A
s
H
s
H
s
U
boi
s
s
s s
s s
U
du
Thi
l r
i
i r l r
M
k
k
k
s r l s
s
s s
r l s
s
s r l s
s
l l
l i
i r li
i
− +
− +
− +
−
−
=
−
− +
=
=
+
−
=
=
=
+
=
+ +
− +
=
=
=
+
+
=
−
=
+ + + +
=
−
=
−
−
=
+ + + + + + +
=
=
+ + +
=
=
−
−
=
+ +
+
=
∑
∑
∑
−
=
−
−
=
−
→
→
−
→
−
→
→
−
→
→
= −
14
Trang 8) 3 )(
1 (
)
(
+ +
=
s s
s s
I
t t
t
e te
e t
4
1 2
3 4
1 )
15
Thí duï:
3
) 5 )(
2 (
10 )
(
+ +
+
=
s s
s s
F
) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( 2 )
2
1 3
1
+
+ +
+ +
+ +
=
s
A s
A s
A s
A s
2 3
'
2( s ) = ( s + 5 ) + 3 ( s + 2 )( s + 5 )
H
27
8 ) 2 (
) 2 (
'
2
1
−
−
=
H
H
A
9
8 )
2
10 (
5 1
−
= +
+
=
−
→ s
s A
S l
27
8 )
2
10 ( lim 2
5 2
−
= +
+
=
−
→ s
s A
S l
3
5 )
2
10 (
lim
5
0
−
= +
+
=
−
→ s
s
A
S
l
) 5 (
1 27
8 )
5 (
1 9
8 )
5 (
1 3
5 2
1 27
8 )
+
⋅
− + +
⋅
− + +
⋅
_
+
⋅
=
⇒
s s
s s
s
F
16
Trang 9) (
H sk = δ k + j ω k
k k
s∗ = δ − ω
có nghiệm phức và phức liên hợp
∗
∗
∗
∗
+
= +
) (
) ( ) exp(
) (
) ( ) exp(
) (
) ( ) exp(
)
(
)
(
)
2
1 '
2
1 '
2
1 '
2
s H
s H t s s
H
s H t s s
H
s H t s s
H
s
H
t
k
k k
k
k k
k
k k
k
k
=
) (
) ( Re 2 )
2
1
t s s
H
s H t
k k
) exp(
)
(
)
(
'
2
1
k k
k k
s
H
s
H
α
=
= αk = arg Ak = arctgAk
[ exp( ) exp( ) exp( )] 2 exp( ) Re[exp( ( ))]
Re
2
)
⇒
) cos(
) exp(
2 )
⇒
Khi H 2 (s ) chỉ có cặp nghiệm phức liên hợp:
17
Khi H 2 (s ) chỉ có các nghiệm phức liên hợp
∑
∑
∑
∑
− +
+
=
=
+
+
− +
+
=
=
+ +
=
+
=
+ +
+
=
=
=
=
=
=
+
=
+
=
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
2 1 1
' 2 1
) (
) (
' 2 1
* '
2
1 '
2 1
*
* ' 2
* 1 '
2 1
*
*
2 1
*
*
1
) cos(
2 )
exp(
) (
) ( )
(
) cos(
2
)
(
) sin(
) cos(
Re 2 Re
2
)
(
Re
2
Re 2 ) exp(
Re 2
)
(
) exp(
) (
) ( Re 2 ) exp(
) (
) ( ) exp(
) (
) ( )
(
) exp(
) (
) ( ) exp(
) (
) ( )
(
)
(
)
(
p M p
p k
k k t k p
k
k k k
k k t k c
k k k
k t
k t
j t k c
t j t j k t
j j k k
k c
k k
k k
k
k k
k
k c
k k
k k
k
k c
k k k
k c
p M p
p
k k k p
k
t e
A t
s s H
s H t
f
t e
A t
f
t j t
e A e
e A t
f
e e e A e
e A t
s A t
f
t s s H
s H t
s s H
s H t s s H
s H
t
f
t s s H
s H t s s H
s H
t
f
s s
A s s
A s
F
s s
A s s
A s
s
A s
F
k
k k
k k
k k
k
k k k k
k k k
k
k
k
ϕ ω
ϕ ω
ϕ ω ϕ
ω
σ
σ
σ ϕ
ω σ
ω σ ϕ ω
σ ϕ
18
Trang 10Khi H 2 (s ) chỉ có các nghiệm phức r:
4 )
+
=
s
s
s
) 10 (
10
)
9
+
=
s
s
s
F f ( t ) = 105t − 10 ( 1 − e−104t)
19
Khi H 2 (s ) chỉ có các nghiệm phức :
] 6 , 50 5 cos[
5 0 32 0 ) (
)]
55
67 ( 5
cos[
34 5 67 55 34
11 ) (
34 10 67 55 ) 67 55 ( 34 10 1
) 3 5 )(
3 5 (
) 3 5 )(
5 14 ( 10
1 ) 5 3 (
5 2
5 14 ) 5 1 (
) 5 1 ( 34
11 ) 4 ( ) 4 (
) 4 )(
1 ( 2 ) 26 2 ( ) (
5 1
5 1 4
) 26 2 )(
4 (
15 )
(
0 4
2 2 4
) 55 67 ( 2 2
' 2
1 2
' 2
1 1
2 '
2
* 2 3
2 1
2
+
−
=
+ +
−
=
+
−
= +
−
=
+
− + +
−
= +
+
= +
− +
−
=
=
−
−
=
+ + + + +
=
=
−
−
=
+
−
=
−
=
+ + +
+
=
−
−
−
−
t e e
t
arctg t e e
t
e j
j j
j j j
j
j j
H
j H
A H
H A
s s s
s s H
s j s
j s
s
s s s
s s
I
t t
t t
jarctg
20
Trang 11Thí Dụ:
) 5 2 )(
1 (
)
+
− +
=
s s
s
s s
u A
Nghiệm của H2( s )là s1 = j ; s2 = -j; s3 = 1+2j; s4 = 1-2j
) 2 2
)(
1 (
) 5 2 (
2 )
'
H
) 565 , 26 exp(
112 , 0 05 , 0 1 , 0 ) 2 4 ( 2
1 )
5 2 1 ( 2 )
(
)
(
1
'
2
1
1
j j
j
j s
H
s
H
−
= +
−
−
=
=
112 ,
0
A α1 = 26 , 565
) 143 exp(
125 , 0 075 , 0 1 , 0 8 16
2 1 ] 2 ) 2 1 ( 2 ][
1 ) 2 1 [(
2 1 )
(
)
(
2 3
'
2
3
1
j
j j
j
j s
H
s
H
−
−
+
=
− + + +
+
=
=
125
,
0
3 =
) cos(
) exp(
2 )
⇒
21
• B1: Xác định điều kiện đầu của bài tốn: là gốc thời
gian, quy về lân cận bên trái của thời điểm khơng
• B 2: Sử dụng các phương pháp phân tích mạch
điện đã biết để viết phương trình hoặc hệ phương
trình trong miền thời gian
• B 3: Chuyển phương trình hoặc hệ phương trình
sang miền Laplace
• B 4: Tìm hàm gốc F(s)
• B 5: Biến đổi Laplace ngược (Heaviside) đề tìm
hàm gốc f(t)
SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ
GiẢI CÁC BÀI TỐN QUÁ ĐỘ
) 0 ( ), 0 ( − L −
U
22
Trang 12Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
23
Hình 5
Hình 7
Hình 8
24
Trang 13Mô hình
Điện trở
Điện cảm
Điện dung
R u(t)
i(t)
R
U(s)
I(s)
= ZR
L
i(t)
u(t)
I(s)
U(s)
ZL= sL Li(0)
I(s) U(s)
Zc =1/sC
uc(0)/sC
C
) ( )
(t R i t
dt
t di L t
u( ) = ( ) U(s) = sL.I(s) – L.i(0)
∫
= i t dt C t
ut( ) 1 ( )
C
i(t) u(t)
s
u s I sC s
U c( 0 )
) ( 1 )
R u(t)
i(t)
R
U(s)
I(s)
= ZR
L
i(t)
u(t)
I(s)
U(s)
ZL= sL Li(0)
I(s) U(s)
Zc =1/sC
uc(0)/sC
C
) ( )
(t R i t
dt
t di L t
u( ) = ( ) U(s) = sL.I(s) – L.i(0)
∫
= i t dt C t
ut( ) 1 ( )
C
i(t) u(t)
s
u s I sC s
U c( 0 )
) ( 1 )
25
BÀI TẬP
C6 50uF E1(t)
R5 100k Ing5(t)
L3 220uH L2
100uH
+
R1 1k
C4 150uF
1 Viết hệ phương trình dòng điện vòng trong miền Laplace
2 Viết hệ phương trình điện áp nút trong miền Laplace
26
Trang 14Hệ phương trình dòng điện vòng trong miền
biến đổi Laplace
+ +
− +
−
−
−
=
+ +
−
−
− +
+
−
−
− +
+
) 0 (
1 ) 0 ( )
(
) 0 (
1 ) 0 ( )
(
) 0 ( )
0 ( )
(
) (
) (
) (
)
1 (
)
1 (
) (
6 3
4 2
3 2
3 5
5
2 5
5
3 2
1
6 5 3 5
3
5 5
4 2 2
3 2
3 2
1
C L
ng
C L
ng
L L
V V V
u s i
L s
I
R
u s i
L s I
R
i L i
L s
E
s I
s I
s I
sC R sL R
sL
R R
sC sL sL
sL sL
sL sL
R
III II I
27
Hệ phương trình dòng điện vòng trong
miền Laplace của mạch có hỗ cảm
− +
−
− +
−
−
−
−
−
=
+ + +
−
−
−
+
− +
+
−
−
−
−
−
−
− +
+
) 0 ( ) 0 ( ) (
) 0 ( 1 ) 0 ( ) 0 ( )
(
) 0 ( ) ( ) 0 ( ) (
)
(
) (
) (
) (
] [
] [
) (
] [
] 1 [
) (
) ( )
( )]
2 (
[
2 3
4 3
2
3 2
3 5
5
2 5
5
3 2
1
6 5 3 5
3
5 5
4 2 2
3 2
3 2
1
L L
ng
C L
L ng
L L
V V V
Mi i
L s I
R
u s Mi i
L s
I
R
i M L i
M L
s
E
s I
s I
s I
R R sL sM
R M
L
s
sM R R
sC sL M
L
s
M L s M
L s M
L
L
s
R
III II I
28
Trang 15Hệ phương trình điện áp nút trong
miền biến đổi Laplace
− +
+ +
−
−
−
=
+ +
−
−
− +
+
−
−
− +
+
) 0 ( )
0 ( )
(
) 0 ( )
0 ( 1 ) (
) 0 ( )
0 ( 1 ) (
) (
) (
) (
)
1 (
) 1
1 ( 1
1 )
1 1
(
6 4
5
6 3
4 2
6 4
6 1
1
4 1
1
6 4 5 6
4
6 6
3 1 1
4 1
4 2 1
C C
ng
C L
C L
D C A
u C u
C s I
u C i
s R
s E
u C i
s R
s E
s U
s U
s U
sC sC R sC
sC
sC sC
sL R R
sC R
sC sL R
29
Hệ phương trình điện áp nút trong
miền Laplace của mạch có hỗ cảm
+
− +
−
−
−
=
+
−
−
−
−
− +
−
− + +
−
−
−
=
+ +
−
−
− +
− +
−
+
−
−
− +
− +
−
+
∫
∫
∞
−
∞
−
∞
) 0 ( ) (
) 0 ( 1 )
) 0 ( ) 0 ( 1 ) (
) 0 ( ) 0 ( ) (
) 1 )
1 )
) 0 ( ) 1 )
0 ( ) 1 )
)
) (
) (
) 1 1
( 1
1 )
1 1 1
( ) 1 1
(
) 1 1
( ) 1
1
(
4 4
3 1 1
4 4 2 1 1
4 4
0 2 3 2 2 0
2 3 2 1
1
4 2
3 2 4 2
3
2
3
1
1
6 4 5 6
4
6 6
2 3 2 2 1 2
3
2
1
4 2
3 2 1 4 2
3
2
3
1
5
L
C L
D A ng
C A
D C
A A
D C A
u C s I
i s R s E
u C i s R s E
u C u C I
dt t u s M L L
L dt t u s M L L
M R
s
E
u C dt t u s M L L
M u
C dt t u s M
L
L
L
R
s
E
s U
s U
s U
R sC R R
sC
R R
s M L L
L R s M
L
L
M
R
sC s
M L L
M R sC s
M
L
L
L
R
ω
30
Trang 16BÀI TẬP
1 Cho mạch điện gồm R và L mắc nối tiếp.Hãy tính
dòng điện i(t) chạy trong mạch nếu đặt điện áp 2 đầu
đoạn mạch e(t) = 300V Biết R = 150 Ω, L = 0,15H,
iL(0) = 0.
2 Cho mạch điện gồm R và L mắc nối tiếp.Hãy
tính dòng điện i(t) chạy trong mạch và điện áp trên
L nếu đặt điện áp 2 đầu đoạn mạch e(t) = 300V
t
e t
) 1
( 2 2
2 )
31