Project 02 The Second Derivative Test Kiểm tra đạo hàm cấp 2

PowerPoint Presentation ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Project 02 The Second Derivative Test Kiểm tra đạo hàm cấp 2 Lớp DT01 – N02 GVHD TS Nguyễn Đình Dương NATIONAL U.

Project 02: The Second Derivative Test

Kiểm tra đạo hàm cấp 2

Lớp: DT01 – N02 GVHD: TS Nguyễn Đình Dương

PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ

MSSV Họ và tên Nhiệm vụ Mức độ hoàn thành

2012629 Trần Sơn Ánh Thực hiện Task 1,3,5,7 + Tổng hợp, chỉnh sửa 100%

2011367 Nguyễn Phúc Khang Thực hiện Task 2,4,6,8 + Ví dụ mở rộng 100%

1812846 Dương Hoàng Long Soạn thảo PowerPoint + BÁO CÁO 100%

1813209 Phan Thị Kim Ngân Chuẩn bị lý thuyết liên quan đến đề tài + Soạn thảo Word 100%

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

4 NHẬN XÉT

2 THỰC HÀNH

3 MỞ RỘNG

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Mục tiêu: Một trong những hạn chế chính của phép thử Đạo hàm thứ hai cho các hàm của một biến thực là nếu (vì vậy là giá trị tới hạn của ) và thì

phép thử đạo hàm thứ hai không cung cấp thông tin về việc liệu có phải là cực đại hoặc cực tiểu hay không Trong dự án này, nhóm minh họa cách có thể nhận được thêm thông tin bằng cách sử dụng các khái niệm liên quan

Phân tích dựa trên chuỗi Maclaurin và thực tế là nếu:

1 , là số nguyên thì là số dương với mọi giá trị của , do đó là cực

tiểu của hàm số

2 , là số nguyên thì là số âm với mọi giá trị của , do đó là cực đại

của hàm số

3 , một số nguyên, thì đồ thị của là dương với một số giá trị của

gần và âm với một số giá trị khác của gần , do đó không phải là cực tiểu cũng không phải là cực đại của hàm số

 Khai triển chuỗi Maclaurin cho một hàm có giá trị thực là:

Nếu là điểm tới hạn của , thì:

Nếu ta biết , thì:

Trong đó là số nguyên dương đầu tiên mà Khi đó và những số theo sau nó sẽ gần bằng 0 khi tiến dần về 0:

Do đó ta có thể phân loại tính chất của khi bằng cách phân loại tính chất của khi

2 THỰC HÀNH

Ta có:

 Khi thì

gần bằng

Mà đạt cực đại tại

Hàm số đạt cực đại

tại

Ta có:

 Khi thì gần

bằng

Mà không có cực đại và cực tiểu tại

Ta có:

 Khai triển Maclaurin của là:

 Khi thì gần bằng

Mà đạt cực tiểu tại

Hàm số đạt cực tiểu tại

Ta có:

 Khai triển Maclaurin của là:

Þ Khai triển Maclaurin của là:

 Nên khai triển Maclaurin của là:

 Khi thì gần bằng

Mà không có cực đại và cực tiểu

tại

Þ Hàm số không có cực đại và

cực tiểu tại

3 VÍ DỤ MỞ RỘNG

Khai triển Maclaurin của hàm số ( ) ln(cos ); ;

2 2

f x  x x      

  đến số hạng x

6

ln(cos ) ln 1 sin ln 1 sin

2

Khi x = 0 thì sin2x = 0 nên ta áp dụng công thức ln(1+x)

Khi đó: ln(1 ) 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6

u u u u u

u u

      

Do đó ta có:

1 ln 1 sin sin sin sin 0 sin

x x x

(do bậc thấp nhất của sinx là x nên u 4 = sin 8 x có bậc vượt quá 6), mà:

 

2

x x

4

x  x    x  x  x   x  x   x

Sin 6 x = x 6 + 0(x 6 )

Nên ta có:

4 NHẬN XÉT

Việc xác định điểm cực trị dễ dàng hơn khi sử dụng khai triển Maclaurin trong trường hợp x = 0 khiến đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm số f đều bằng 0 Điều này cũng áp dụng đối với trường hợp x ≠ 0 dẫn đến đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm số f đều bằng 0 Ta chỉ cần thay đổi khai

triển Maclaurin thành khai triển Taylor tại x và chú ý đến những giá trị của x xung quanh điểm

đó

Nếu ta biết đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm số f tại x = 0 đều bằng 0 nhưng không biết cách

khai triển Maclaurin thì ta có thể bỏ qua bước này và tiếp tục tìm các đạo hàm bậc cao hơn của hàm số f Cho đến khi ta thu được 1 đạo hàm cấp N của hàm số f khác 0, tùy thuộc vào N chẵn hay lẻ và nếu N là chẵn thì ta có thể dựa vào hàm số đó để đưa ra kết luận về điểm cực đại hay

THANK YOU!