Hình cầu, khối cầu Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu và các điểm nằm trong mặt cầu được gọi là hình cầu, hoặc khối cầu Kinh tuyến, vĩ tuyến Xem mặt cầu như 1 mặt tròn xoay tạo nên
Trang 1I MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN
Mặt cầu
Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng không
đổi bằng r r ( 0) gọi là một mặt cầu tâm O bán kính r
Kí hiệu và gọi tên
S O r hoặc ( ; ) ( ) S = M OM| =r
Nếu C D, ( )S đoạn CD là dây cung của mặt cầu
Dây cung AB đi qua tâm O gọi là đường kính, có độ dài 2 r
Điểm nằm trong và điểm nằm ngoài
Cho (O r và 1 điểm ; ) A bất kì trong không gian
OA r thì A nằm ngoài mặt cầu
OA r= thì A nằm trên mặt cầu
OA r thì A nằm trong mặt cầu
Hình cầu, khối cầu
Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu và các điểm nằm trong mặt cầu được gọi
là hình cầu, hoặc khối cầu
Kinh tuyến, vĩ tuyến
Xem mặt cầu như 1 mặt tròn xoay tạo nên bởi nửa đường tròn quay quanh
trục chứa đường kính Khi đó
Kinh tuyến: là giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có
bờ là trục của mặt cầu
Vĩ tuyến: là giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng
vuông góc với trục
Cực: Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực
II GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt cầu S O r và mặt phẳng ( ; ) ( )P Đặt h=d O( ;( )P )
Trường hợp h r → giao tuyến là đường tròn tâm H,
bán kính r = r2−h2
Đặt biệt, khi h= →0 ( )P là đường tròn lớn
Trường hợp h r= →( )P tiếp xúc với ( )S tại H
H là tiếp điểm
( )P là tiếp diện
Trường hợp h r →( )P và ( )S không có điểm
chung
Trang 2_
III GIAO CỦA MẶT CẦU VỚI ĐƯỜNG THẲNG – TIẾP TUYẾN
Cho mặt cầu S O r và đường thẳng ( ; ) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên Đặt d =OH
Trường hợp d r Trường hợp d = r Trường hợp d r
Không có điểm chung H là tiếp điểm
là tiếp tuyến
Có 2 điểm chung
Khi d =0, chứa đường kính
IV TÍNH CHẤT TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU
Cho mặt cầu S O r và điểm ( ; ) A nằm ngoài mặt cầu
Có thể kẻ được vô số tiếp tuyến qua A tới mặt cầu
Các tiếp tuyến đó tạo thành mặt nón đỉnh ,A trục AO
Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp tuyến đều bằng nhau
V MẶT CẦU NỘI TIẾP – NGOẠI TIẾP
Mặt cầu nội tiếp đa diện: Nếu mặt cầu đó tiếp xúc
với tất cả các mặt của hình đa diện
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện: Nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện nằm trên mặt cầu
III CÔNG THỨC DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH
Diện tích mặt cầu: 2
4
S = r Thể tích khối cầu: 4 3
3
V = r
1 Cho hai điểm A B, cố định Chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho MA MB = 0 là mặt cầu đường kính AB
Đáp số: _
Lời giải
2 Cắt một mặt cầu ( )S bởi một mặt phẳng qua tâm, ta được thiết diện là một hình tròn có đường kính bằng 4cm Tính thể tích khối cầu? Đáp số: _ Lời giải
Trang 3
3 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho
2
MA +MB +MC +MD = a
Đáp số: _
Lời giải
4 Trong không gian cho ba đoạn thẳng AB BC CD, , sao cho AB⊥BC BC, ⊥CD CD, ⊥AB Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua bốn điểm , , ,A B C D Tính bán kính mặt cầu đó nếu AB=a BC, =b CD, = c Đáp số: _ Lời giải
5 Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt ,A B cho trước Đáp số: _ Lời giải
6 Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua ba điểm phân biệt , ,A B C cho trước Đáp số: _ Lời giải
7 Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước Đáp số: _ Lời giải
8 Có hay không một mặt cầu đi qua một đường tròn và một điểm nằm ngoài mặt phẳng của đường tròn?
Trang 4_
Đáp số: _
Lời giải
9 Cho điểm M nằm trong mặt cầu ( )S Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? a) Mọi mặt phẳng đi qua M đều cắt ( )S theo một đường tròn b) Mọi đường thẳng đi qua M đều cắt ( )S tại hai điểm phân biệt Đáp số: _ Lời giải
10 Cho đường thẳng d và điểm A không nằm trên d Xét các mặt cầu đi qua A và có tâm nằm trên d Chứng minh rằng các mặt cầu đó luôn đi qua một đường tròn cố định Đáp số: _ Lời giải
11 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ? a) Nếu hình đa diện nội tiếp mặt cầu thì mọi mặt của nó là đa giác nội tiếp đường tròn b) Nếu các mặt của đa diện nội tiếp đường tròn thì đa diện đó nội tiếp mặt cầu Đáp số: _ Lời giải
12 Tìm tập hợp tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước
Đáp số: _
Trang 5Lời giải
13 Chứng minh rằng nếu có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của hình tứ diện ABCD thì AB CD+ =AC+BD=AD BC+ Đáp số: _ Lời giải
14 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh cùng bằng a Gọi A B C D , , , lần lượt là trung điểm của các cạnh SA SB SC SD, , , Chứng minh rằng các điểm A B C D A B C D , , , , , , , cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích của khối cầu đó Đáp số: _ Lời giải
15 Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC biết rằng SA=a SB, =b SC, =c và ba cạnh , , SA SB SC đôi một vuông góc Chứng minh rằng các điểm S G I, , thẳng hàng, trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC và I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Đáp số: _ Lời giải
Trang 6
_
16 Trên đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD cạnh bằng a, ta lấy điểm S Gọi H là hình chiếu của A lên SB và O là điểm đối xứng với tâm của hình vuông ABCD qua AB Khi S di động trên đường thẳng d thì O H luôn tiếp xúc với 1 mặt cầu cố định có bán kính bằng Đáp số: _
Lời giải
17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA⊥(ABCD) Đường thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu có đường kính là Đáp số: _ Lời giải
18 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Điểm M thay đổi trong không gian sao cho AMB=AMD= 90 Biết rằng luôn tồn tại một đường tròn cố định đi qua điểm M Bán kính của đường tròn đó bằng Đáp số: _ Lời giải