Phương pháp tổng quát xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ĐỊNH LÝ Một hình chóp có thể nội tiếp trong một mặt cầu khi và chỉ khi đáy là một đa giác nội tiếp trong mộ
Trang 1I Phương pháp tổng quát xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
ĐỊNH LÝ
Một hình chóp có thể nội tiếp trong một mặt cầu khi và
chỉ khi đáy là một đa giác nội tiếp trong một đường tròn
HỆ QUẢ
Mọi tứ diện đều có mặt cầu ngoại tiếp
Mọi hình chóp đều đều có mặt cầu ngoại tiếp
PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TÂM BÁN KÍNH
• Bước 1: Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy
• Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực ( )P của cạnh
bên
• Bước 3: Xác định giao điểm I của d và ( )P
Điểm I trên chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp
II Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau
CÔNG THỨC 1
Xét khối chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, ta gọi:
• a là độ dài cạnh bên
• h là chiều cao của khối chóp
• r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Khi đó:
+
= a = r h
R
III Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy
CÔNG THỨC 2
Xét khối chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy, ta gọi
• r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
• h là chiều cao của khối chóp
Khi đó:
2 2
4
Hệ quả 1: Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp trong đường tròn bán kính ,r chiều cao bằng
h thì có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:
2 2
4
h
R= r +
Hệ quả 2: Tứ diện SABC là tứ diện vuông đỉnh S thì 1 2 2 2
2
R= SA +SB +SC
Trang 2IV Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
CÔNG THỨC 3
Xét khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy, ta gọi
• r là bán kính của đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc b
• r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy d
• GT là cạnh chung của mặt bên vuông góc và mặt đáy
Khi đó:
2
2 2
4
= b + d −GT
V Khối chóp tổng quát
CÔNG THỨC 4 (TỔNG QUÁT)
Giả sử khối chóp có đáy là đa giác nội tiếp đường tròn tâm ,O chiều
cao SH Ta gọi:
• r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
• h là chiều cao khối chóp (h=SH)
• d là khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy tới chân đường vuông góc từ đỉnh xuống đáy (
(d =OH)
Khi đó
2
2
2
h hoặc
2
2
2
h
VI Một số định lý cần chú ý
CHÚ Ý 1
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh bằng a là 3
3 a
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật bằng nửa đường chéo
CHÚ Ý 2
Cho tam giác ABC cạnh , AB=c BC; =a CA; = diện tích bằng ,b, S nửa chu vi là p bán kính đường tròn , ngoại tiếp là ,R bán kính đường tròn nội tiếp là r Khi đó
R
4
abc
R
S
=
• S= pr
• Công thức Herong: S= p p a( − )(p b− )(p c− )
CHÚ Ý 3 (Tứ diện gần đều)
Cho tứ diện ABCD có AB=CD=c AC; =BD=b BC; =DA= Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ a diện ABCD là:
8
=
Trang 3BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1 Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S ABC , biết các cạnh đáy có độ dài bằng
,
a cạnh bên SA=a 3
Đáp số: _
Lời giải
2 Tính thể tích tứ diện đều có tất cả các mặt đều tiếp xúc với mặt cầu bán kính bằng a Đáp số: _ Lời giải
3 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp bát diện đều cạnh bằng a? Đáp số: _ Lời giải
4 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , SA⊥(ABC) và AB=2,AC= 4, 5 SA = Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S ABC có bán kính là Đáp số: _ Lời giải
Trang 4
5 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a
Đáp số: _
Lời giải
6 Cho tứ diện ABCD có ABC,ABD là các tam giác đều cạnh bằng 1 và (ABC) (⊥ ABD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Đáp số: _ Lời giải
7 Cho hình chóp S ABCD có đường cao SA=4 ;a ABCD là hình thang với đáy lớn AD biết , AD=4 ,a 2 AB=BC=CD= a Thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng Đáp số: _ Lời giải
8 Cho tứ diện ABCD có AB=AC= AD=BC DB, =4,DC= 11 và mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Đáp số: _ Lời giải
Trang 5
9 Xét khối tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB thay đổi, CD =4 và các cạnh còn lại đều bằng 22 Khi thể tích các khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất, hãy tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
đó
Đáp số: _
Lời giải
10 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có AB=AA=2 ,a AC = a, BAC =120 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A BCC B bằng Đáp số: _ Lời giải
11 Lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2 a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là Đáp số: _ Lời giải
12 Cho tứ diện ABCD có 3 2 a AB = và các cạnh còn lại đều bằng a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng bao nhiêu? Đáp số: _ Lời giải
Trang 6
13 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =3, AD =2, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp
đã cho
Đáp số: _
Lời giải
14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 ,a tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Đáp số: _ Lời giải
15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C với BC=a Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy biết SA=a ASB, =120 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là Đáp số: _ Lời giải
16 Cho hình chóp S ABC có SA⊥(ABC),AB= 3,AC= và 2 BAC =30 Gọi ,M N lần lượt là hình chiếu của A trên SB SC Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp , A BCNM là: Đáp số: _ Lời giải
Trang 7
17 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có BC=2 2 ;a SAC( ) vuông góc với
(ABC);ASC =30 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
Đáp số: _
Lời giải
18 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD=2,AB= Mặt bên 4 SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , , , , AB SB SC Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP theo a Đáp số: _ Lời giải
19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=1,AD= 2 Cạnh bên SA =1 và SA vuông góc với đáy Gọi E là trung điểm của AD Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CDE Đáp số: _ Lời giải
20 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B AB, = 3 ,a AC=2 ,a đường thẳng BC tạo với mặt phẳng (ACC A ) một góc 30 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu? Đáp số: _ Lời giải
Trang 8
21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 ,a SA⊥(ABCD) và SA=a Gọi E là
trung điểm của cạnh AB Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S BCE bằng
Đáp số: _
Lời giải
22 Cho hình chóp có SA⊥(ABC),AB=3,AC=2 và BAC =60 Gọi ,M N lần lượt là hình chiếu của A trên SB SC Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp , ABCNM Đáp số: _ Lời giải
23 Trong mặt phẳng ( )P cho đường tròn ( )C tâm O đường kính , AB =4 Gọi H là điểm đối xứng của O qua A Lấy điểm S sao cho SH ⊥( )P và SH =4 Tính diện tích mặt cầu đi qua đường tròn ( )C và điểm S Đáp số: _ Lời giải
Trang 9
24 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =3 Mặt phẳng ( ) qua ,A vuông góc với SC cắt các cạnh SB SC SD lần lượt , , tại các điểm M N P Thể tích , , V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP bằng bao nhiêu?
Đáp số: _
Lời giải
25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với AD=DC =CB=1,AB= Gọi 2 O là giao điểm của AC và BD hình chiếu của , S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của OA Đường thẳng SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 60 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng Đáp số: _ Lời giải
26 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a Gọi M N lần lượt là trung điểm của , , CD AD Gọi E là giao điểm của AM và BN mặt bên , SCD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SECM Đáp số: _ Lời giải