046 đề HSG toán 8 tam dương 2013 2014

lần lượt là giao điểm ba đường trung trực, ba đường cao, ba đường trung tuyến thẳng CD sao cho đường thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích bằng nhau... Gọi N là giao điểm của

PHÒNG GD & ĐT TAM DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1

Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãn f  1 5; f  2 11;f  3 21

Tính f 1  f  5

Bài 2

a) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho: n4 2n32n2  là số chính phương.n 7 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 xy y 2 x y2 2

Bài 3 Chứng minh rằng : x 1  x 3 x 4 x 6 10 0 với mọi x

Bài 4

a) Cho tam giác ABC , gọi M, N lần lượt là trung diểm của BC AC Gọi O, G, H , lần lượt là giao điểm ba đường trung trực, ba đường cao, ba đường trung tuyến

thẳng CD sao cho đường thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích bằng nhau

Bài 5

Cho x0,y0,z và 0 x y z   Chứng minh rằng 1.

7 2

27

xy yz zx   xyz

ĐÁP ÁN Câu 1.

Nhận xét: g x( ) 2 x2  thỏa mãn 3 g 1 5;g 2 11;g 3 21

Q x f x  g x là đa thức bậc 4 có 3 nghiệm x1;x2;x3 Vậy Q x( )x 1 x 1 x 3 x a ta có:

 

2 2

Câu 2.

a)

Giả sử n4 2n32n2   n 7 y2 (y )

Ta có: y2 n2 n2n2 n 7

2

2

2

2

1 1



Thay y2 n2 n2 n2  n 7

n

   

Thử trực tiếp n2;n thỏa mãn3

Vậy số nguyên n cần tìm là n2; 3 

b)

Thêm xy vào hai vế của phương trình ta có:

   

2

2

1

x y xy xy

Ta thấy xy&xy  là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương nên tồn tại 1

một số bằng 0

TH1: xy 0 x2 y2  x y 0

TH2: xy   ta có1 0 xy  nên 1 x y ;   1; 1 ; 1;1    

Thử lại ba cặp số 0;0 ; 1;1 ; 1; 1     đều là nghiệm của phương trình đã cho

Câu 3.

Ta có: x 1 x 3 x 4 x 610x 1 x 6 x 3 x 410

Vì x2  7x92 0

với mọi x

Do đó : x2  7x92   với mọi x (bài toán được chứng minh).1 0

Câu 4.

a)

O G

N

M H

A

Ta có: OM / /AH (vì cùng vuông góc với BC)

/ /

ON BH (vì cùng vuông góc với AC)

/ /

NM AB (đường trung bình của tam giác)

Có: BAH NMO(góc có cạnh tương ứng song song)

ABH MNO (góc có cạnh tương ứng song song)

2

GAH GMO (so le trong) (1)

1

2

GM

1

2

OM

cmt

AH 

Từ      1 ; 2 ; 3  AHGMOG c g c  AGH MGO (4)

Mặt khác : , ,A G M thẳng hàng (5)

GO OM 

b)

a

x H

K N

M

Gọi h là đường cao của hình thang ABCD

Giả sử đã dựng được điểm M thuộc CD sao cho đường thẳng AM cắt hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau

Gọi N là giao điểm của AM và BC

Đặt S1 S ADCN;S2 S ANB;S S ABCD.

Ta có:

2

: 2 (1)

s s s

s s









2

ah

s a a h 

2

1

.2

2

s  a x ax

Thay vào (1) :

Áp dụng định lý Talet

1 3

NB NC

suy ra cách dựng:

Chia đoạn BC làm 4 phần bằng nhau, lấy điểm N trên BC sao cho

1 4

NC BC

Đường thẳng AN cắt đường thẳng CD tại điểm M cần dựng

Câu 5 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

3

1

x y z xyz     

Mặt khác:

1

27

7

27

xyz x y z y z x z x y

xyz xy yz zx xyz

xy yz zx xyz

xy yz zx xyz dfcm