40 HSG h 20 LUONG THE VINH

Mỗi lần ta xóa đi hai số nào đó và thay bằng tổng hoặc hiệu của chúng.. Sau một số lần như vậy thì trên bảng chỉ còn lại một số.

TRƯỜNG THCS & THPT LƯƠNG THẾ

VINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC: 2019 - 2020

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút

Bài 1 (4,0 điểm)Cho biểu thức

:

A

           

với x0;x1

Tính giá trị biểu thức khi

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình 2 5x2 10x 4x 4x2  6x 3

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x y 3xy9

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Cho x y, 0 Tìm GTNN của

( )

x xy y P

xy x y

 





b) Tìm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà trong đó không có số

nguyên tố nào?

Bài 4 (6,0 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A, B trên CD

a) Khi OAC là tam giác đều, hãy giải tam giác ABC

b) Chứng minh HC = KD

c) Chứng minh S AHKB S ABCS ABD

Bài 5 (2,0 điểm) Viết 150 số tự nhiên 1, 2, 3,…, 150 lên bảng Mỗi

lần ta xóa đi hai số nào đó và thay bằng tổng hoặc hiệu của chúng Sau một số lần như vậy thì trên bảng chỉ còn lại một số Hỏi có khi nào số đó là 100 không?

-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên học sinh:……… Trường THCS:

………

ĐÁP ÁN

Bài 1 (4,0 điểm)

Ta có:

:

2

A

           

Có:

3

2 2

5

4

4 0

4( ) 4x 96 0 2 92 0( )

x x

x

x x

x tm





 



          

Thay x 4( tmđk) vào A, ta được:

3 4 1 9

A    

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình 2 5x2 10x 4x 4x2  6x 3

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x y 3xy9

Giải a) ĐK: 0  x 1

Đặt:

2

2 2 2

5x 10x 0

4a 5 60x 4x 4x 0

a

b b



   

20a 10 4a 5 30 4a 20a 25 5 10 5 0

5

1

a b

b

 



 



Với

5

2

1

a

b

 





 

 , ta có:

2

2 2

2

2

9

2x 1 5x 10x 5x 10x

4

4x 4x 1 2x 1 0

1 4x 4x

3

( ) 4

2x 1 0

2

x

x

x tm x



    

Vậy nghiệm của phương trình là

1 2

x

b) Ta có:

3 9 3x 3 9x 27 3 1 3x 1 3x 26 1 3x 3 1 26

x y  xy   y y  y       y 

+) TH 1:

2

3 1 1

3

1 3x 26

1 3x 26

y  y 

¢

( loại ) +) TH 2:

x

    

+) TH 3:

1 3x 26 x 9

y   y

     

+) TH 4:

3 1 26

3 1 26

2

1 3x 1 x

3

y

y      

      

+) TH 5:

1 3x 13 x 4

y  y

     

+) TH 6:

3 1 13

3 1 13

1

1 3x 2 x

3

y

y    

      

+) TH 7:

1 3x 2 x 1

y   y 

     

+) TH 8:

1

3 1 2

3

1 3x 13

1 3x 13

y   y  

    

¢

( loại ) Vậy x y;       0;9 ; 9;0 ; 4;1 ; 1; 4      

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Cho x y, 0 Tìm GTNN của

( )

x xy y P

xy x y

 





b) Tìm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà trong đó không có số nguyên

tố nào?

Giải a) Ta có:

P

x y

xy x y xy x y xy

 



Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương x, y, ta được:

2

2

x y

x y  xy xy  

Dấu " "  xảy ra khi xy Khi đó:

2 2

x y xy

P

x y xy



 Dấu " "  xảy ra khi x y

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

1

2khix y b) Xét số tự nhiên A 2.3.4.5 2019.2020 Khi đó:

A chia hết cho các số: 2; 3; 4; 5; …; 2019; 2020

Xét dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp: A2;A3;A4;A5; ; A 2019; A 2020 

Do AM 2 nênA M 2 2 mà A   2 2 A 2là hợp số

Tương tự: Do AM 3 nênA M 3 3mà A   3 3 A 3là hợp số

Do AM 4 nênA M 4 4mà A   4 4 A 4là hợp số

…

Do AM2019 nênA 2019 2019 M mà A 2019 2019   A 2019là hợp số

Do AM2020 nênA 2020 2020 M mà A 2020 2020   A 2020là hợp số Vậy dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp: A2;A3;A4;A5; ; A 2019; A 2020  , trong đó không có số nguyên tố nào

Bài 4

a) Khi AOC đều thì

1 2

AC OA OC   R AB

BC AB2AC2  4R2R2 R 3

1

AC R

AB R

b) Kẻ OI CD  là trung điểm của CD và / / I OI AH / /BK

Lại có O là trung điểm của AB  là trung điểm của HK I

;

IH IK CI ID CH DK

c) Kẻ EF đi qua I và song song với AB E AH F BK(  ,  )

(ch gn) AHKB AEFB .

Lại có:

1

2

ACB ADB

S S  AB CN DP AB IM

AHKB ACB ADB

Bài 5:

Gọi tổng của 150 số ban đầu là

1

(1 150).150

1 2 3 150 11325

2

S           S a b

Giả sử xóa đi hai số bất kì a, b và thay bằng a b hoặc a b thì ta có tổng mới là:

1

S  a b hoặc S1  a b

Ta có: (S1   a b) (S a b   ) 2S 2a 2b và (S1   a b) (S a b   ) 2S 2a đều chẵn nên tổng lúc đầu và tổng lúc sau luôn cùng tính chẵn lẻ mà tổng ban đầu là số lẻ nên tổng lúc sau không thể bằng 100