Hàm số: - Định nghĩa hàm số, miền xác định, miền giá trị, hàm đơn điệu, hàm bị chặn, hàm tuần hoàn, hàm chẵn, hàm lẻ, hàm ngược.. - Sự liên tục của hàm số, các tính chất của hàm liên tụ
Trang 1Đề thi Olympic Toán sinh viên quốc tế năm 2011
Bài 1 Cho là một hàm số liên tục Một điểm được gọi là điểm đen nếu tồn tại với sao cho Cho là các số thực sao cho
• Tất cả các điểm thuộc khoảng là điểm đen
• không phải là điểm đen
Chứng minh rằng
Problem 1 Let be a continuous function A point is called a
shadow point if there is a point with such that
Let be real numbers and suppose that
• all points in are shadow points;
• are not shadow points
Prove that
Bài 2 Tồn tại hay không một ma trận thực cấp sao cho
Problem 2 Does there exist a real matrix such that
Bài 3 Cho là một số nguyên tố Ta gọi số nguyên là tốt
• a) Chứng minh rằng số là tốt
• b) Tìm sao cho là số tốt nhỏ nhất
Problem 3 Let be a prime number Call a positive integer interesting if
for some polynomials
• a) Prove that the number is interesting
• b) For which is the minimal interesting number?
Bài 4 Cho là những tập hợp hữu hạn khác rỗng Ta xác định
Chứng minh rằng là không giảm trên
Problem 4 Let be finite, nonempty sets Define the function
Prove that is nondecreasing on
Bài 5 Cho là số nguyên dương và là một không gian vectơ -chiều trên trường chỉ có hai phần tử Chứng minh rằng với mọi
Trang 2cho
Problem 5 Let be a positive integer and let be a -dimensional vector space over the field with two elements Prove that for arbitrary vectors , there exists a sequence
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 2012
1 Dãy số :
- Dãy hội tụ, dãy đơn điệu, dãy bị chặn Giới hạn vô cùng
- Các tính chất và các phép toán về dãy hội tụ
- Tìm giới hạn của các dãy số
- Phương trình và bất phương trình sai phân
2 Hàm số:
- Định nghĩa hàm số, miền xác định, miền giá trị, hàm đơn điệu, hàm bị chặn, hàm tuần hoàn, hàm chẵn, hàm lẻ, hàm ngược
- Giới hạn hàm số
- Sự liên tục của hàm số, các tính chất của hàm liên tục
- Phương trình hàm, bất phương trình hàm
3 Phép tính vi phân hàm một biến:
- Định nghĩa đạo hàm, hàm khả vi và các phép toán về đạo hàm
- Các định lý: Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, L’Hospital
- Công thức Taylor, Maclaurin của hàm số
- Cực trị, GTLN, GTNN của hàm số
- Phương trình hàm trên lớp hàm khả vi
4 Phép tính tích phân hàm một biến
- Nguyên hàm và tích phân bất định
- Các phương pháp tính tích phân bất định
- Tích phân các hàm hữu tỷ, vô tỷ, hàm lượng giác
- Hàm khả tính và tích phân xác định
- Các phương pháp tính tích phân xác định
- Tích phân có cận thay đổi
- Định lý về giá trị trung bình của tích phân
- Bất đẳng thức tích phân