Tiểu luận:Dạng modunlar và hàm số pot

LỜI MỞ ĐẦUSố học là bộ môn toán học ra đời từ rất sớm nhưng nó luôn được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu, bởi lẽ không vì sự bí ẩn của các con số mà nó còn ứng dụng quan trong cho c

TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN

*********

HÀ DUY NGHĨA

DẠNG MODUNLAR

VÀ HÀM SỐ HỌC

TIỂU LUẬN HÌNH HỌC SỐ HỌC

Quy Nhìn, Th¡ng 5 n«m 2010

BË GIO DÖC V€ €O T„O

TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN

*********

HÀ DUY NGHĨA

DẠNG MODUNLAR

VÀ HÀM SỐ HỌC

CAO HỌC TOÁN KHÓA 11 Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

TIỂU LUẬN HÌNH HỌC SỐ HỌC

Người hướng dẫn khoa học

GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI

Quy Nhìn, Th¡ng 5 n«m 2010

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Mục lục ii

Lời mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức cơ sở 2 1.1 Đặc trưng của nhóm hữu hạn 2

1.2 Quan hệ trực giao của đặc trưng 4

Chương 2 các hàm số học 7 2.1 Zeta hàm và L hàm 7

2.1.1 Zeta hàm 7

2.1.2 Zêta hàm Rieman 8

2.2 L-Hàm 9

2.2.1 Đặc trưng Modunlar 9

2.2.2 Định nghĩa và tính chất của L-Hàm 9

2.2.3 Tích các L hàm ứng với mọi χ ∈ G(m) c 10 Chương 3 Dạng modular 11 3.1 Nhóm modular 11

3.2 Miền cơ bản của nhóm modular 12

3.3 Hàm modular 12

3.4 Không gian các dạng Modular 13

Tài liệu tham khảo 17

LỜI MỞ ĐẦU

Số học là bộ môn toán học ra đời từ rất sớm nhưng nó luôn được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu, bởi lẽ không vì sự bí ẩn của các con số mà

nó còn ứng dụng quan trong cho cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật hiện nay như lý thuyết mật mã,kỹ thuật số,

chuyên đề hình học số học là chuyên đề nghiên cứu số học dưới công cụ hình học, thiết lập mật mã bởi đường cong Eliptic là thế mạnh của phân môn này Để làm đề tài tiểu luận kết thúc bộ môn tôi chọn đề tài " Dạng modular

và hàm số học" , tiểu luận gồm 3 chương cùng với phần mở đầu và kết luận Trong mỗi chương cụ thể như sau;

Chương 1: Gồm các kiến thức cơ sở liên quan đến hai chương sau

Chương 2: Giới thiệu hai hàm số học quan trọng đó là Zeta hàm và L hàm cùng với các tính chất của nó

Chương 3: Nói về các dạng Modular, không gian các dạng Modular Mặc dù bản thân đã rất cố gắng trong học tập, nghiên cứu và được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để tiểu luận được hoàn thiện hơn

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Hà Huy Khoái người đã tận tình giúp đỡ, cùng tập thể lớp cao học toán khoá 11 tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tiểu luận này

Quy Nhơn, tháng 5 năm 2010

Hà Duy nghĩa

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Đặc trưng của nhóm hữu hạn

Định nghĩa 1.1.1 Một đặc trưng của nhóm G là một đồng cấu từ G vào

nhóm nhân các số phức khác không Nói cách khác, đặc trưng của G là một hàm χ : G → C∗ sao cho χ(a.b) = χ(a)χ(b), ∀a, b ∈ G Một đặc trưng χ gọi

là tầm thường nếu χ(g) = 1, ∀g ∈ G được ký hiệu là χ T

Gọi χ, χ0 là hai đặc trưng của nhóm G, tích 2 đặc trưng là một hàm

χ.χ0 : G → C∗ xác định bởi χχ0(g) = χ(g)χ0(g).

Định lý 1.1.2 Đặc trưng của nhóm tùy ý G là nhóm Abel với phép toán

nhân được định nghĩa như trên.

Chứng minh i)G đóng đối với phép toán nhân, tức là χ.χ0 là đặc trưng của

G, thật vậy χ.χ0(a.b) = χ(a.b).χ0(a.b) = χ(a)χ(b)χ0(a)χ0(b) = χ.χ0(a)χ.χ0(b) ii)Phần tử đơn vị là đặc trưng tầm thường χ T

iii)Phần tử nghịch đảo của χ là χ−1 với χ−1 : G → C∗, được xác định

χ−1(g) = χ(g−1) khi đó χ−1 là đặc trưng của G và χ.χ−1 = χ T

Tập hợp các đặc trưng của G lập thành nhóm, ký hiệu là G gọi là nhómc

đặc trưng hay nhóm đối ngẫu của G

Giả sử rằngh : G1 → G2 là một đồng cấu nhóm và χ là đặc trưng của

G2 Cái nối của χ bởi hký hiệu là h ? χ được xác định bởi h ? = χ ◦ χ, từ định nghĩa ta suy ra h ? χ là một đồng cấu.

Định lý 1.1.3 Giả sử rằng G1, G2 là những nhóm Khi đó χ là đặc trưng của G1 × G2 nếu và chỉ nếu χ = χ1 ⊗ χ2, ∀χ1 ∈ Gc1, χ2 ∈ Gc2

Hệ quả 1.1.4 Nếu G1, G2 là những nhóm thì G\1 × G2 = Gc1⊗Gc2

Giả χ là đặc trưng của G và g là phần tử của G có cấp hữu hạnk Từ

χ(g) k = χ(g k ) = χ(1) = 1.Điều này kéo theo khẳng định rằng, những đặc

trưng chuyển những phần tử có cấp hữu hạn vào căn của đơn vị Cụ thể là :

Nếu G là một nhóm và n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho g n = 1, ∀g ∈ G khi các đặc trưngcủa G sẽ cho tương ứng mỗi phần tử của G là căn bậc n

của đơn vị

Từ đó suy ra nếu χ ∈ G thì |χ(g)| = 1∀g ∈ G, do đóc

χ(g) = χ(g) = 1

χ(g) = χ(g

−1) = χ−1(g) môđun [Proposition 1.1 [2] ] Với mọi đặc trưng không tầm thường χ của G

thì P

a∈G χ(a) = 0

Chứng minh Lấy b ∈ G sao cho χ(b) 6= 1, gọi S = P

a∈G

χ(a), khi đó

χ(b).S = X

a∈G

χ(b)χ(a) X

ab∈G

χ(ba) = S

do đó S(χ(b) − 1) = 0 ⇒ S = 0

Từ mệnh đề trên, nếu thay G bằng G ta có kết quả sau:c

X

x∈ b G

χ(x) = 0, χ ∈ cG

Suy ra

X

χ∈ b G

χ(x) = 0, x ∈ G ∼= c

G

môđun [proposition 1.3 , [2] ] Gọi ω là căn bậc n của đơn vị, khi đó ánh

xạ χ j : Zn → C∗ xác định bởi χ j (a) = ω ja là đặc trưngcủa Zn ∀j ∈ Z, ngoài

ra:

(a)χ j = χ k nếu và chỉ nếu j ≡ kmodn;

(b)χ j = χ k1;

(c) Z = {χb 0, , χ n−1};

(d)Zbn ∼= Zn

Chứng minh Trước hết chứng minh χ j là đặc trưng của Zn.

Ta có χ j (a + b) = ω j(a+b) = ω ja ω jb = χ j (a)χ j (b), Vậy χ j là đặc trưng của Zn

(a)χ j = χ k nếu và chỉ nếu j ≡ k mod n;

(⇒) Ta có χ j = χ k nên χ j (1) = χ k (1) ⇒ ω j = ω k ⇒ j ≡ k mod n.

(⇐) Nếu j ≡ k mod n ⇒ j = k + tn ⇒ ω J = ω k+tn = ω k ⇒ χ j = χ k

(b) Hiển nhiên theo đinh nghĩa

(c) Theo trên ta đã chứng minh Zbn là nhóm, nên để chứng minh mệnh đề ta cần chứng minh Zbn là nhóm xyclic cấp n.Thật vậy, ∀χ j ∈ Zbn ta có χ n j (a) =

χ j (na) = χ j (0) = 1 = χ0(a), a ∈ Z n.( Có thể giải thích theo định nghĩa của

χ j (a) = ω ja ), khi đó ta suy ra được (c), (d).

Hệ quả 1.1.5 G ∼= Gc

Chứng minh Vì G, G là những nhóm hữu hạn nên G ∼c = Zn1 ⊕ ⊕ Z n k, và

c

G ∼= Zbn1 ⊕ ⊕Zbn k , do đó theo Mệnh đề 1.1 tacó Z n1 ∼= Zcn1, , Z n k ∼= Zcn k

.Suy ra điều phải chứng minh

1.2 Quan hệ trực giao của đặc trưng

Gọi G là nhóm Abelian hữu hạn và H là nhóm con của G, ký hiệu ˆ G H là

tập các đặc trưng của G có hạt nhân chứa H, tức là ∀h ∈ H, χ(h) = 1 Khi

đó ta có các kết quả sau:

Định lý 1.2.1 Nếu H là nhóm con của G và χ ∈ G thìc

X

h∈H

χ(h) =







|H| Nếu χ ∈ GcH

0 Nếu χ /∈ GcH

Chứng minh Gọi A = P

h∈H

χ(h), khi đó nếu χ ∈ GcH thì χ(h) = 1, ∀h ∈ H suy ra A = |H|, ngoài ra nếu χ /∈ GcH thì tồn tại h0 ∈ H sao cho χ(h0) 6= 1,

khi đó A = P

h∈H

χ(h.h0) = χ(h0) P

h∈H

χ(h) ⇒ A = 0

Định lý 1.2.2 (Quan hệ trực giao thứ 1) Gọi χ, ψ là hai đặc trưng của G

khi đó

X

a∈G

χ(a)ψ(a) =







n Nếu χ = ψ

0 Nếu χ 6= ψ

Chứng minh Trường hợp , nếu χ = ψ khi đó χ(a).χ(a) = χ(a)−1χ(a) = 1

nên P

a∈G χ(a)ψ(a) = n.

Trường hợp, nếu χ 6= ψ thì χψ là đặc trưng không tầm thường, nên theo

Mệnh đề 1.1 ta có điều phải chứng minh

Gọi CG là không gian các hàm tuyến tính f : G → C Không gian này là không gian các hàm tuyến tính n chiều trên C Với tích vô hướng được định

nghĩa

(f, g) = 1

n

X

a∈G

f (a)g(a) (f, g ∈ C G)

Định lý 1.2.3. G là cơ sở trực giao trong Cc G

Chứng minh Tacó : ∀χ, ψ ∈ G, (χ, ψ) =c n1 P

a∈G

χ(a)ψ(a) = 0 ( Theo Định lý

1.2.2)

Ngoài ra,theo Hệ quả1.1.5 ta suy ra |G| = n = dimCc G

Gọi χ0, , χ n−1 là những đặc trưng của G = {a0, a1, , a n−1 Khi đó ma

trận vuông C = (χ i (a j )) là bảng đặc trưng của G

Hệ quả 1.2.4 Ma trận A = √1

n C là ma trân đơn vị, hơn nữa A.A∗ = A∗.A =

I trong đó I là ma trận đơn vị và A∗là ma trân liên hợp của A

Hệ quả 1.2.5 (Quan hệ trực giao thứ 2 ) Gọi a, b ∈ G khi đó

X

χ∈ b G

χ(a)χ(b) =







n Nếua = b

0 Nếu a 6= b

Chứng minh Thật vậy, nếu a = b ta có

X

χ∈ b G

χ(a)χ(b) = X

χ∈ b G

χ(a)χ(a) = X

χ∈ b G

|χ(a)|2 = n

nếu a 6= b ta có

X

χ∈ b G

χ(a)χ(b) = X

χ∈ b G

χ(a−1)χ(b) = X

χ∈ b G

χ(a−1b) = 0

(Suy ra từ Mệnh đề 1.1)

Chương 2

CÁC HÀM SỐ HỌC

2.1.1 Zeta hàm

Định nghĩa 2.1.1 Cho f : N → C là hàm số học,f được gọi là :

Nhân tính nếu :∀m, n(m, n) = 1, f (m, n) = f (m).f (n)

Nhân tính mạnh nếu :∀m, nf (m, n) = f (m).f (n)

Bổ đề 2.1.2 Chuỗi ∞P

n=1

f (n)

n s hội tụ tuyệt đối khi Res > 1 và biểu diễn thành tích vô hạn Q

p∈P(1 + f (p)p −s + f (p2).p −2s + +) trong đó f (n) là hàm nhân

tính giới nội.

Chứng minh Vì f (n) là hàm nhân tính giới nội nên|f (n)| < M ⇒

f (n)

n s

<

M

n X , X = Res > 1 chuỗi hội tụ tuyệt đối khi Res > 1.

Lấy một tập hữu hạn S ⊂ { Tập hợp các số nguyên tố }, gọi N(S) ⊂ N

là tập các số mà các ước nguyên tố thuộc S, giả sử S = p1, , p r,khi đó

N (S) = {n = p α1

1 p α k

k , α i ≥ 0} Khi đó ta có :

X

n∈N(s)

f (n)

n s = Xf (p α1

1 p α k

k )

(p α1

1 p α k

k )s

Do f là hàm nhân tính nên f (p α1

1 P alpha k

k )=f (p α1

1 ) f (p α k

k ) do đó :

X

n∈N(s)

f (n)

n s = X

α1 α k

f (p α1

1 ) f (p α k

k )

(p α1

1 p α k

k )s =

k

Y

i=1





∞ X

α i=0

f (p α1

1 )

(p α i

i )s



, S → P

Từ đó suy ra: ∞P

n=1

f (n)

n s = Q

p∈P(1 + f (p)p −s + f (p2).p−2s + +)

Giả sử f (n) là hàm nhân tính mạnh giới nội, khi đó theo bổ đề trên ta cũng

có

P

n=1

f (n)

n s = Q

p∈P(1 + f (p)p −s + f (p2).p−2s + +)

= Q

p∈P

1

1−f (p).p −s = Q

p∈P

(1 − f (p)p −s)−1

Và công thức này gọi là công thức Ơle

2.1.2 Zêta hàm Rieman

Từ bổ đề trên ta thấy khi f (n) = 1 ta luôn có: ζ(s) = P∞

n=1

1

n s , ζ(s) =

Q

p∈P (1 − p −s)−1

ζ là hàm Rieiman hội tụ tuyệt đối trên miền Re s > 1

Định lý 2.1.3 ζ Hàm Rieman là hàm chỉnh hình trên miền Re s > 0 Thác

triển được thành hàm phân hình trên miền Res > 0 có cực điểm đơn tại s = 1 tức là ζ(s) = s−11 + Φ(s) trong đó Φ(s) chỉnh hình trong miền Re s > 0.

Chứng minh Ta có : s−11 = ∞R

1

t −s dt = P∞

n=1

n+1

R

n t −s dt nên suy ra:

ζ(s) − s−11 = ∞P

n=1

1

n s − ∞P

n=1

n+1

R

n t −s dt

= P∞

n=1 n −s− n+1R

n t −s dt

!

= P∞

n=1

n+1

R

n (n −s − t −s ) dt.

Đặt Φn (s) = n+1R

n (n −s − t −s ) dt, Φ(s) = ∞P

n=1 Φ(n), các hàm Φ n (s) chỉnh hình theo s trong miền Re s > 0 Để chúng minh Φ(s) chỉnh hình trong Re s > 0

ta chứng minh chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều.Thật vậy, ta có:

|Φn (s)| =

n+1

Z

n

(n s − t −s )dt

≤ max

n≤t≤n+1

n s − t −s

nên suy ra:|Φn (s)| ≤ n X+1 |s| , X = Re s Từ đó suy ra Φ(s) chỉnh hình tronh

miền Re s > 0, ngoài ra khi s → 1, Φ(s) giới nội.

2.2 L-Hàm

2.2.1 Đặc trưng Modunlar

Giả sử m ∈ Z, m ≥ 1, G(m) = Z/mZ∗ nhóm các lớp đồng dư khả nghịch

theo modulo m, G(m)có m phần tử , gọi χ là đặc trung của nhóm G(m)gọi

là đặc trưng Modunlar χG(m) :−→ C∗ thác triển lên Z, khi đó:

•χ(n) = 0 nếu (n, m) 6= 1

•χ(n) = χ(n mod m) nếu (n, m) = 1

2.2.2 Định nghĩa và tính chất của L-Hàm

Định nghĩa 2.2.1 Cho m ≥ 1, χ đặc trưng modular m,ta định nghĩa L hàm

ứng với đặc trưng χ được xác định bởi công thức

L(s, χ) =

∞ X

n=1

χ(n).n −s

Mệnh đề 2.2.2 Nếu χ = 1 thì L(s, 1) = F (s).ζ(s) trong đó F (s) =

P

p|m

(1 − p −s ), ζ(s) là Zeta hàm Riemam.

Từ mệnh đề trên ta thấy rằng L(s, 1) chỉ khác ζ(s) khi (n; m) 6= 1 và

L(s, 1) có thể thác triển thành hàm phân hình trên miền Re s > 0 và có cực

điểm đơn tại s = 1.

Mệnh đề 2.2.3 Với χ 6= chuỗi L(s, χ) hội tụ tuyệt đối trong Re s > 0(Re s >

1) đồng thời có tích Euler

L(s, χ) = Y

p∈P(1 − χ(p).p

−s)−1, , Re s > 0

Chứng minh ∀u, v ∈ N, u < v ta đặt A u,v = Pv

u χ(n), theo tính chất trực giao

ta có

u+m

X

u

χ(n) = 0

Do đó

|A u,v | ≤ Φ(m)

và không phụ thuộc vào u, v, nên theo tiêu chuẩn Abel chuỗi hoiị tụ tuyệt

đối

ngoài ra χ(n)là hàm nhân tính mạnh nên L(s, χ) có tính Euler

2.2.3 Tích các L hàm ứng với mọi χ ∈ G(m)c

Cho p - m, p là ảnh của m trong nhóm G(m) = Z/mZ∗f (p) là cấp của ptrong nhóm G(m), f = f (r) là số nhỏ nhất sao cho p f ≡ 1 mod m suy ra

f (p)|Φ(m), G(p) = Φ(m)/f(p) là cấp của nhóm sinh bởi (p)

Mệnh đề 2.2.4.

ζ m (s) = Y

p|m



1 − p −f (p)s−g(p)

Chứng minh Ta có : ζ m (s) =Q

χ L(χ, s) = L(s, 1) Q

χ6=1

L(s, χ)

= Q

p|m

(1 − p −s ) ζ(s) Q

χ6=1 L(s, χ)

= Q

p|m

(1 − p −s) Q

p∈P

(1 − p −s)−1 Q

χ6=1

Q

p∈P

(1−χ(p)p −s)−g(p)

= Q

χ

Q

p|m

(1−χ(p)p −s)−1 = Q

p-m



1 − p −f (p)s−g(p)

Định lý 2.2.5 (i) ∀χ 6= 1, L(1, χ) 6= 0 (ii) ζ(s) có cực điểm đơn tại s = 1.

Chứng minh (i) giả sử có χ0 nào đó , χ0 6= 1, L(1, χ0) = 0 khi đó L(1, χ) giới nội ∀χ 6= 1, và L(1, χ0) có cực điểm đơn tại s = 1.

Nếu Li, χ0 = 0 thì khử được cực điểm s = 1 suy ra hàm ζ(s) chỉnh hình trong miền Re s > 0, ta cần chứng minh chuổi hội tụ trong miền Re s > 0,

ta chứng tỏ chuỗiζ(s) phân kỳ tạis = Φ(m)1 , thật vậy;

ζ(m) = Q

p-m



1 − χ(p).p −f (p).s−g(p).1 − p −f (p).s

−g(p)

=

 1

1−p −f (p).s

g(p)

= 1 + p −f (p).s + +p −f (p).sm + g(P )

mà Φ(m) ≥ f (p) nên chuỗi trên được làm già bởi



1 + p −Φ(m).s + +p −Φ(m).s + = 1 + 1

p +

!

mà chuỗi này phân kỳ nên s = Φ(m)1 là phân kỳ

(ii) được suy ra trực tiếp từ (i)

Chương 3

DẠNG MODULAR

Cho H là nửa mặt phẳng trên của C Nhóm mudular kí hiệu là

SL2(R) =













a b

c d





, a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1







Tác động của SL2(R) lên C ∪ {∞} :

g =







a b

c d







∈ SL2(R) gz = az+b cz+d với z là một phần tử trong C ∪ {∞}

Qua tác động của nhóm SL2(R), nửa mặt phẳng trên là ổn định Thật vậy,

giả sử H = {z/ Im z > 0} và z ∈ H Khi đó

Im(gz) = Im  az+b cz+d = 2i1  az+b cz+d − az+b cz+d

= 2i1



(ad−bc)z−(ad−bc)z

|cz+d|2



= 2i1 (ad−bc)(z−z)

|cz+d|2

= z−z

2i|cz+d|2 = Im z

|cz+d|2

Tác động tầm thường trên H :

Xét g =







−1 0

0 − 1





 ta có gz = z, ∀z ∈ C ∪ {∞}.

Xét nhóm SL2(Z) ⊂ SL2(R) Ta có SL2(Z) =













a b

c d





, a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = 1







Kí hiệu P SL2(Z) = SL2(Z)/{±1}

Định nghĩa 3.1.1 Nhóm G = SL2(Z) gọi là nhóm modular

3.2 Miền cơ bản của nhóm modular

Định lý 3.2.1 Miền D = n|z| > 1, |Re z| 6 12o là miền cơ bản của nhóm modular G tức là

(i) Với mọi z ∈ H và với mọi g ∈ G ta có gz ∈ D.

(ii) Giả sử z, z0 ∈ D tồn tại g sao cho z0 = gz Khi đó ta có

hoặc |Re z| = 12, z0 = z ± 1 hoặc| z| = 1, z0 = −1z (iii) Với mọi z ∈ D đặt I(z) = {g ∈ G, gz = z}

(Nhóm con ổn định của z đối với G).

Khi đó I(z) = 1 trừ 3 trường hợp:

• z = i : I(i) là nhóm cấp 2 sinh bởi S

• z = ρ = e 2πi3 : G là nhóm cấp 3 sinh bởi S, T

• z = ρ = e πi3 : I(z) là nhóm cấp 3 sinh bởi TS

Định nghĩa 3.3.1 Cho số nguyên k, f(z) cho trong nửa mặt phẳng trên

được gọi là một hàm modular yếu trong số 2k nếu f(z) phân hình trên H

đồng thời với mọi g =







a b

c d





∈ SL2(Z) ta có

f (z) = (cz + d) −2k f ( az + b

cz + d) (3.1)

Định lý 3.3.2 Hàm phân hình f(z) trên nửa mặt phẳng H là dạng modular

trong số 2k khi và chỉ khi f(z) thỏa mãn hai điều kiện sau

(i)f (z − 1) = f (z)

(ii)f−1z = z 2k f (z).

Định nghĩa 3.3.3 Hàm modular yếu f(z) gọi là hàm modular nếu f(z) phân

hình tại ∞ Hàm f(z) được gọi là hàm modular trọng số 2k nếu f(z) là hàm modular trọng số 2k và f(z) làm hàm chỉnh hình trên H kể cả tại ∞

Nhận xét: f(z) là dạng modular trọng số 2k khi

(i) f là hàm chỉnh hình trên H

(ii) f(z) có khai triển f (z) = P∞

n=0 a n e 2πinz

(iii) f −1

z



= z 2k f (z).

3.4 Không gian các dạng Modular

Cho f và g là các dạng modular trọng số 2k Khi đó f + g cũng là một

dạng modular

Đặt M k là tập hợp các dạng modular trọng số 2k Khi đó M k là không gian tuyến tính phức

Định nghĩa 3.4.1 Dạng modular f gọi là dạng cusp nếu như f (∞) = 0.

Kí hiệu M k0 là không gian các dạng cusp trọng số 2k Ta có M k0 ⊂ M k Xét

ϕ : M k −→ C, ϕ (f) = f (∞) Ta có M0

k = Kerϕ Do đó M k = M k0⊕ CG k

Định lý 3.4.2 Giả sử f là hàm modular trọng số 2k khác 0 Khi đó ta có

0∞(f ) + X

p∈D

1

e p0p (f ) = k

6, (e p là cấp của nhóm ổn định tại p ).

Viết lại, 0∞(f ) + 120i (f ) + 130ρ (f ) +P∗0p

p∈H/G

(f ) = k6 (*) trong đó P∗ là

tổng theo mọi modun trong H/G khác i, ρ và các điểm đồng dư với i, ρ.

Nhận xét: P∗0p (f ) chỉ là tổng hữu hạn ( tức là, chỉ có hữu hạn điểm mà

tại đó 0ρ (f ) = 0 ) Nếu f là hàm modular thì f phân hình tại ∞ q = e 2πiz

: lim

q→0 f (q) = ∞, tồn tại lân cận của 0, chẳng hạn |q| < r trong đó chỉ có q

là cực điểm, z = x + iy, |q| = e −2πy < r suy ra 1r < e 2πy = y > 2π1 log 1r Khi

y > 2π1 log 1r hàm f chỉ có cực điểm tại ∞ Miền D ∩ny 6 2π1 log1ro compact

do đó chỉ có hữu hạn cực điểm và không điểm tức là chỉ có hữu hạn p sao cho 0p (H) 6= 0.

Định lý 3.4.3 (i) M k = 0 với k < 0 hoặc k = 1.

(ii) Khi k = 0, 2, 3, 4, 5 thì M k là không gian vecto một chiều và cơ sở của

Định nghĩa 3.3.3 Hàm modular yếu f(z) gọi hàm modular f(z) phân

hình ∞ Hàm f(z) gọi hàm modular trọng số 2k f(z) hàm modular trọng số 2k f(z) làm hàm chỉnh hình H kể ∞

và không phụ thuộc vào u, v, nên theo tiêu chuẩn Abel chuỗi hoiị tụ tuyệt

đối

ngồi χ(n)là hàm nhân tính mạnh nên L(s, χ) có tính Euler