Phan loai tuyen10 nam2022 NC

Chứngminh rằng trong chín số đã cho luôn tồn tại hai số mà tích của hai số này là một số chính phương.. Người ta viết các số nguyên 1,2, 3,4, 5,6, 7,8 lên các đỉnh của một bát giác lồi s

1 Bất đẳng thức

Cho 3 số a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh:

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 12 Chứng minh rằng

Cho a; b; c là ba số thực dương thay đổi thỏa mãn … ab

Cho a, b, c là 3 số durơng thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Cho x, y > 0 và thỏa mãn x + y + 2xy = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2+ y2

Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn x + 2y = 4

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng

Cho ba số a, b, c thỏa mãn −1 ≤ a ≤ 1; −1 ≤ b ≤ 1; −1 ≤ c ≤ 1 và a + b + c = 0 Chứng minhrằng a2+ b7+ c2022 ≤ 2

Bài 1.9 (Lê Hồng Phong - Nam Định 2022 ) Hướng dẫn ở trang 17

Cho các số thực a, b, c bất kì thỏa mãn a2+ b2 + c2 = 2022 Chứng minh rằng

(2a + 2b − c)2+ (2b + 2c − a)2+ (2c + 2a − b)2 = 18198

a) Cho a, b, c là ba số khác 0 sao cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng

a) Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức P = p3 7 + 5√

2 +p3 7 − 5√

2

b) Cho đa thức P (x) = ax2 + bx + c Chứng minh rằng nếu P (x) nhận giá trị nguyên vớimỗi số nguyên x thì ba số 2a, a + b, c đều là những số nguyên Sau đó, chứng tỏ rằng nếu2a, a + b, c là những số nguyên thì P (x) c¯ung nhận giá trị nguyên với mỗi số nguyên x

Bài 1.12 (Khoa Hoc -2022-2023-Toan2022 ) Hướng dẫn ở trang 17

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng

abc a2+ b2+ c2
≤ 3

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 16x + 7y + 13z = 15 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = 2xy

2x + y +

3yz2y + z +

7zx2z + x·

Bài 1.15 (Thừa Thiên Huế, năm 2022-2023 ) Hướng dẫn ở trang 17a) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x3− x2(y + 1) + x(7 + y) − 4 − y = 0

b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 3 Chứng minh:

Bài 1.16 (Quảng Bình 2022 ) Hướng dẫn ở trang 18

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a2+ b2+ c2+ ab + bc + ca ≤ 3 Chứng minh rằng

a) a + b + c ≤ 3

√2

x2022+ 2 · Tìm giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất

Cho hai số a, b thỏa mãn a+b ≥ 1 và a > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 20a

2+ b4a +4b

2

Với các số thực không âm x và y thỏa mãn x2 + y2 = 4, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x + 2y

Cho a, b là các số thực thỏa mãn a ≥ 1, b ≥ 1 và a + b + 3 = ab Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Cho x, y là 2 số thực thỏa mãn đẳng thức x2+ 6y2+ 2y + 6x + 6y + 8 = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y − 1

Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = (x + y − z)(y + z − x)(z + x − y) − xyz

Bài 2.24 (Thái Bình - 2022 ) Hướng dẫn ở trang 18

Cho các số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2022

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =√

2a2+ ab + 2b2+√

2b2+ bc + 2c2+√

2c2+ ca + 2a2

Cho ba số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 3xyz Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức

Với các số thực x, y, z thỏa mãn x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1 và x2+ 2y2+ 3z2 = 15 Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa P = x + y + z

Bài 2.27 (Phan Bội Châu, Nghệ An 2022 ) Hướng dẫn ở trang 18

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 1 ≤ x, y, z ≤ 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 − x + x2 + 1 − y

1 − y + y2 + 1 − z

1 − z + z2 + 2022

a) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x3+ y3+ z3 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức

P = x

3

3y + 1 +

y33z + 1 +

z33x + 1·

b) Có 10 bạn học sinh tham gia thi đấu bóng bàn Hai bạn bất kì đều phải đấu với nhau mộttrận, bạn nào cũng phải gặp 9 đối thủ của mình và không có trận đấu hòa Chứng minhrằng có thể xếp 10 bạn này thành một hàng dọc sao cho bạn đứng trước thắng bạn đứng

kề sau

a) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 2 Chứng minh rằng a

Cho các só dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = 1

a2+ b2+ c2 + 2024

ab + bc + ca·

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Xét các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn đồng thời các điều kiện c ≤ b < a ≤ 3,

b2 + 2a ≤ 10, b2 + 2a + 2c ≤ 14 và a2 + 1
b2 + 1
+ 4ab ≤ 2 a3 + b3 + a + b
Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức

P = 4a2+ b4+ 2b2+ 4c2

a) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức

P = a2a + b + c +

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc Chứng minh rằng

Với các số thực dương x, y, z thỏa mãn 2(x2+ y2+ z2) = 3y(x + z) Tìm giá trị lớn nhất của biểuthức P = p2(x + y + z) − (x2+ z2)

Xét hai số thực x, y thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

P = 4»2 x4+ y4
+ 8

x + y + 1.

Bài 2.38 (Lê Hồng Phong - Nam Định 2022 ) Hướng dẫn ở trang 19

Xét các số thực không âm x, y, z thoả mãn x + y + z ≥ 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 3.42 (Khoa học, năm 2022-2023 ) Hướng dẫn ở trang 19

(2, 0 điểm) Giải phương trình x2 + 3x − 1 + 2»3

x − 1)(√

x + 1) −

√

x + 2(√

x + 1)2

ò: 2(

√

x − 1)(1 − x)2 ,với x ≥ 0 và x 6= 1

b) Giải phương trình x2− 3x + 2 − (x − 1)√2x − 5 = 0

c) Giải hệ phương trình

(

x2+ 4xy + x − 2 = 04y2+ x + 4y − 1 = 0

Bài 3.47 (Lê Hồng Phong - Nam Định 2022 ) Hướng dẫn ở trang 20

Bài 3.51 (Thừa thiên Huế, năm 2022-2023 ) Hướng dẫn ở trang 20a) Tìm m để phương trình 3x2 + 4(m − 1)x − m2 − 4m − 5 = 0 (x là ẩn số) có hai nghiệm

x1, x2 sao cho biểu thức P = x

3 1

x3 2

+x

3 2

x3 1

x2+ 2y + 2px2+ 2y + 2 − 1 = 0 .

Giải hệ phương trình

(2x2 + 3xy + y2 = 63x + 2y + 1 = 2p2x + y + 6

Giải hệ phương trình

(2y3 + xy2− 6y − 3x = 2

x để chiếc hộp thu được có thể tích lớn nhất

Giải hệ phương trình

(2x + y + 2»y(2x − 1) = 10

y −√

y +√2x − 1 = 6

Bài 3.58 (LHP-NamDinh-2022 ) Hướng dẫn ở trang 20

a) Giải phương trình x2− 3x + 2 + 2(2 − x)√x − 1 = 0

b) Giải hệ phương trình

(2x2 + 2y2+ 8x + 4y = −1

Tìm m để phương trình x2− (m + 1)x + m + 3 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 là độ dàihai cạnh AB, AC của tam giác ABC vuông tại A và có BC = 5

Bài 3.64 (Phan Bội Châu, Nghệ An năm 2022 ) Hướng dẫn ở trang 21a) Giải phương trình √

x + 1 + x2− x =√x2+ 1

b) Giải hệ phương trình

®(2xy − 1)2+ 4x2 = 5y22x x − y2
= y2− y .

Bài 3.65 (Tuyển sinh năm 2022-2023 ) Hướng dẫn ở trang 21

3) Giải hệ phương trình 2x

2+ xy + 1 = 4x

x3+ x2y + y = 3x

Bài 3.66 (Lê Hồng Phong - Nam Định 2022 ) Hướng dẫn ở trang 21

Cho f (x) = 2x2− 2x − 7 có 2 nghiệm phân biệt là x1, x2 Đặt g(x) = x2− 1 Tính giá trị củabiểu thức T = g x1
.g x2

Bài 3.67 (Lê Hồng Phong, Năm 2022-2023 ) Hướng dẫn ở trang 21a) Chứng minh rằng P (n) = n4 − 14n3 + 71n2 − 154n + 120 chia hết cho 24 với mọi số tựnhiên n

b) Cho p là số nguyên tố có dạng 4k + 3, (k ∈ N) Chứng minh rằng nếu a, b ∈ Z thoả mãn

a2 + b2 chia hết cho p thì a .p và b .p Từ đó suy ra phương trình x2+ 4x + 9y2 = 58 không

có nghiệm nguyên

Bài 3.68 (Khoa Học, năm 2022-2023 ) Hướng dẫn ở trang 21

Cho phương trình x2+ m2+ 5
x − 1 = 0 với m là tham số thực

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m ∈ R.Tính giá trị của biểu thức F = x31+ x32 theo m

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để F chia hết cho 3

Tìm ba số nguyên x; y; z thỏa mãn x4+ 9y2+ 25z2 = x2+ 6xy + 2022

a) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn ac

b + d ≥ 2 Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm(x2+ ax + b)(x2 + cx + d) = 0

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn (x + y)(2x + 3y)2+ 2x + y + 2 = 0

a) Cho phương trình bậc hai: x2 − 2(3m + 1)x + 3(m2 + 2) = 0 (*) với m là tham số Tìm m

để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và x2

1+ x2

2− 2x1x2 = 4

b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình: 2x2+ y2− 3xy − x − y − 13 = 0

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn

(x + y)(5x + y)3+ xy3 = (5x + y)3+ x2y3+ xy4

Bài 3.73 (Tuyển sinh năm 2022-202022 ) Hướng dẫn ở trang 21

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn y = 2x − 1

x2− x + 1·

4 Tổ hợp

Cho chín số nguyên dương a1; a2; ; a9 đều không có ước số nguyên tố nào khác 3; 5 và 7 Chứngminh rằng trong chín số đã cho luôn tồn tại hai số mà tích của hai số này là một số chính phương

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì 2023n3 − n chia hết cho 6

b) Bạn Thanh mua một số quyển vở và một số cây bút hết tất cả là 263 nghìn đồng Biết giámỗi quyển vở là 13 nghìn đồng, giá mỗi cây bút là 12 nghìn đồng Hỏi bạn Thanh mua đượcbao nhiêu quyển vở và bao nhiêu cây bút?

Người ta viết các số nguyên 1,2, 3,4, 5,6, 7,8 lên các đỉnh của một bát giác lồi sao cho tổng các số

ở mỗi ba đỉnh liên tiếp không nhỏ hơn k, với k nguyên dương Tìm giá trị lớn nhất của k

Hai bạn An và Bình đang so về số lượng những viên bi mà hai bạn hiện có An nói với Bình rằng:

“Nếu bạn cho tôi một số viên bi từ túi của bạn thì tôi sẽ có số viên bi gấp 6 lần số viên bi củabạn Còn nếu tôi cho bạn số viên bi như thế, số viên bi của bạn sẽ bằng 1

3 số viên bi của tôi”.Hỏi số viên bi ít nhất mà bạn An có thể có là bao nhiêu?

a) Bên trong một tam giác đều cạnh bằng 4 cho năm điểm Chứng minh rằng trong năm điểm

đó có hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 2

b) Cho các số tự nhiên a, b, c thỏa 2a2+ 3b3 = 4c4 Chứng minh a, b, c đều chia hết cho 6

c) Một tập hợp S được gọi là có tính chất T nếu S có đúng bốn phần tử và với mọi phần

tử x của S thì it nhất một trong hai phần tử x − 1 hoặc x + 1 thuộc S Cho tập hợp

X = {1; 2; 3; , ; 2022} Tính số tất cả các tập con có tính chất T (nêu trên) của tập X

a) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x3 + y3+ z3 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của

kề sau.

Trên bảng đang có hai số 1 và 2 Thực hiện ghi thêm số lên bảng theo quy tắc sau: Mỗi lần viếtlên bảng một số c = ab + a + b với hai số a và b đã có trên bảng Hỏi với cách viết thêm số nhưtrên sau một số lần hữu hạn có thể viết được số 2022 lên bảng không?

Cho các điểm A1, A2, , A30 theo thứ tự nằm trên một đường thẳng sao cho độ dài các đoạnthẳng AkAk+1 bằng k (đơn vị dài), với k = 1, 2, , 29 Ta tô màu mỗi đoạn thẳng A1A2, A2A3, , A29A30 bởi một trong ba màu cho trước (mỗi đoạn thẳng được tô bởi đúng một màu) Chứngminh rằng với mọi cách tô màu, ta luôn chọn được hai số nguyên dương 1 ≤ j < i ≤ 29 sao cho haiđoạn thẳng AiAi+1, AjAj+1 được tô cùng màu và i − j là bình phương của một số nguyên dương

Cho một dãy gồm 2023 ô vuông bằng nhau, được xếp liên tiếp nhau thành một hàng ngang.Người ta điền vào mỗi ô vuông một số ô vuông không lớn hơn 4, sao tích của ba số được điền ởbất kì ba ô vuông liên tiếp nào cũng bằng 24 Hỏi có tất cả bao nhiêu cách điền số như vậy?

Cho bảng ô vuông 3 × 3 (gồm ba dòng và ba cột) Người ta ghi tất cả các số thuộc tập hợp{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} vào các ô vuông của bảng, mỗi ô vuông ghi một số, sao cho tổng các sốtrong mỗi bảng ô vuông con cỡ 2 × 2 đều bằng nhau

a) Hãy chỉ ra một cách ghi các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu

b) Trong tất cả các cách ghi các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu bài toán, tìm giá trị lớn nhấtcủa tổng các số trong mỗi bảng vuông con cỡ 2 × 2

Ta viết 10 số 0, 1, 2, , 9 vào mười ô tròn trong hình bên, mỗi số

được viết đúng một lần Sau đó ta tính tổng ba số trên mỗi đoạn thẳng

để nhận được 6 tổng Có hay không một cách viết 10 số như thế sao

cho 6 tổng nhận dược là bằng nhau

Bài 4.85 (SP-HN-2022 ) Hướng dẫn ở trang 22a) Trong mặt phẳng cho 5 điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằngtồn tại ít nhất một tam giác tù có các đỉnh được lấy từ 5 điểm đã cho.

b) Trong mặt phẳng cho 2022 điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Chứng minhrầng tồn tại ít nhất 2018 tam giác tù mà mỗi tam giác tù đó có các đỉnh được lấy từ 2022điểm đã cho

Bài 4.86 (Lê Hồng Phong, Nam Định, năm 2022 ) Hướng dẫn ở trang 22

Từ 2022 số nguyên dương đầu tiên là 1, 2, 3, , 2022, người ta chọn ra n số phân biệt sao cho

cứ hai số bất kì được chọn ra đều có hiệu không là ước của tổng hai số đó Chứng minh rằng

n ≤ 674

Cho tập hợp A gồm 2022 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2022 Tìm một số tự nhiên n nhỏ nhấtsao cho mọi tập hợp con gồm n phần tử của A đều chứa 3 phần tử là các số đôi một nguyên tốcùng nhau

Thầy Hùng viết các số nguyên 1, 2, 3, , 2021, 2022 lên bảng Thầy Hùng xoá đi 1010 số bất kìtrên bảng Chứng minh rằng trong các số còn lại trên bảng luôn tìm được

a) 3 số có tổng các bình phương là hợp số

b) 504 số có tổng các bình phương chia hết cho 4

5 Đa thức

a) Cho f (x) = x2− 6x + 12 Giải phương trình f (f (f (f (x)))) = 65539

b) Cho tam giác ABC vuông tại A với các đường phân giác trong BM và CN Chứng minhbất đẳng thức

Bài 5.91 (Bắc Ninh 2022 ) Hướng dẫn ở trang 23

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(2; −3) và B(7; 7) Tìm điểm M thuộc trục Ox để

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 1

Cho các số nguyên dương x, y, z thoả (x + y)4+ 5z = 63x Tính giá trị biểu thức

Q = x + y + z

6 Số học

a) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho x − 1

a) Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho p2+ 3pq + 4q2 là một số chính phương

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số tự nhiên x, y thoả mãn

x3+ y3− 6xy = p − 8

Cho a, b, c là các số nguyên Chứng minh rằng nếu a2+b2+c2 chia hết cho 6 thì a2022+b2022+c2022

cũng chia hết cho 6

Bài 6.98 (Lê Quí Đôn, Nha Trang năm 2022 ) Hướng dẫn ở trang 23a) Cho phương trình x2 − 5x + 3m + 1 = 0 (m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m đểphương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn |x2

1− x2

2| = 15

b) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng p2− 1 chia hết cho 24

Tìm n ∈ N để n5+ 1 chia hết cho n3+ 1

Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn ab = cd Chứng minh rằng

1) Tìm tất cả nghiệm nguyên (x; y; z) của phương trình x x2+ x + 1
= zy− 1 thỏa mãn x, y

b) Cho p là số nguyên tố có dạng 4k + 3, (k ∈ N) Chứng minh rằng nếu a, b ∈ Z thoả mãn

a2+ b2 chia hết cho p thì a .p và b .p Từ đó suy ra phương trình x2+ 4x + 9y2 = 58 không

Bài 6.105 (Bình Phước 2022 ) Hướng dẫn ở trang 23a) Giải phương trình nghiệm nguyên x2 − 6y2 + xy + 2y − x − 7 = 0.

b) Cho x, y nguyên và thỏa mãn x2− 2021y2+ 2022 chia hết cho xy Chứng minh rằng x, y làhai số lẻ và nguyên tố cùng nhau

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x4 + x2− y2 − y + 4 = 0

b) Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a2+ b2 = c2 Chứng minh rằng abc 60.

a) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + 2y + 3z ≤ 6 Chứng minh rằng

1

x2+ 4y2+ 9z2 + 1

49xy +

349yz +

398zx ≥ 9

49.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương a và các số nguyên tố p sao cho a2 = 7p4+ 9

1 Hướng dẫn phần bất đẳng thức

Hướng dẫn Bài 1.16 Đề bài trang 3

2 Hướng dẫn phần giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn Bài 2.31 Đề bài trang 5

3 Hướng dẫn phần phương trình và hệ phương trình

Đề bài trang 7

Hướng dẫn Bài 3.46 Đề bài trang 7

Hướng dẫn Bài 3.61 Đề bài trang 9

4 Hướng dẫn phần tổ hợp

Đề bài trang 11

Hướng dẫn Bài 4.76 Đề bài trang 11

5 Hướng dẫn phần đa thức

Hướng dẫn Bài 5.91 Đề bài trang 14

6 Hướng dẫn phần số học

Đề bài trang 16

Hướng dẫn Bài 6.106 Đề bài trang 16