rut gon phan thuc va phuong phap giai

Phương pháp giải Muốn rút gọn phân thức ta có thể: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử nếu cần để tìm nhân tử chung; Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung... Nhận thấy mẫu thức có thể phâ

Trang 1

RÚT GỌN PHÂN THỨC

I Phương pháp giải

Muốn rút gọn phân thức ta có thể:

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ( nếu cần) để tìm nhân tử chung;

Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

Chú ý: Có khi cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu (lưu ý tới

tính chấtA   A ).

II Một số ví dụ

Ví dụ 1 Rút gọn phân thức sau:

a)

2

2 8

; 12

 



 

A

;

4 4

 



  

B

c)

3 2

4 4

.

  



C

Giải

a) Ta có:

         

2 2

2

2 1 9

.

  

A

2

  

B

  

            

2



 

B

a a

2 2

  

C

.

C

Ví dụ 2 Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãnabbc ca  1. Rút gọn biểu thức sau:

   

a b b c c a

A



Trang 2

Giải Tìm cách giải Nhận thấy mẫu thức có thể phân tích thành nhân tử bằng cách sử dụng giả

thiết Do vậy nên thay1 ab bc ca    vào mẫu và phân tích đa thức thành nhân tử Những bài toán rút gọn có điều kiện, chúng ta nên vận dụng và biến đổi khéo léo điều kiện

Trình bày lời giải

Thay 1 ab bc ca    , ta được 2 2

1 a a ab bc ca 

2

1 a  a b ac

Tương tự: 2   

1 b  bc ca

2

1 c  ca c b

1.

a b b c c a A

a b a c b a b c c a c b

Ví dụ 3 Cho biểu thức

P

  



a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên

Giải Tìm cách giải Khi rút gọn biểu thức, chúng ta cần phân tích tử thức và mẫu thức thành

nhân tử

Để tìm giá trị nguyên của a, chúng ta cần tách phần nguyên và cho phân thức có giá trị nguyên Chẳng hạn 1

2

a P a





 thì ta viết

3 1 2

P

a

 

 , vì 1 là số nguyên nên để P là số nguyên thì 3

2

a có giá trị nguyên Do vậya2 phải là ước số của 3

a) Ta có:

   

             

2

2 2

P

  

  

b) Ta có: 1 3 ( 2)

2

a



2

a

          



Trang 3

Ví dụ 4 Cho phân thức

2 2

F x

   



Xác định x để phân thứcF x( ) có giá trị nhỏ nhất

Giải Tìm cách giải Trong phân thứcF x( ) thì bậc của tử thức và mẫu thức là 4, khá lớn Do đó việc tìm giá trị nhỏ nhất gặp nhiều khó khăn, vậy cần rút gọn biểu thứcF x( ) KhiF x( ) viết được dưới dạng phân thức mà tử thức và mẫu thức là bậc hai, ta tìm cực trị bằng cách lấy biểu thứcF x( ) m, sao cho kết qủa tử thức viết được dưới dạng hằng đẳng thức 2

(a b )

( )

F x

         

2

1

2 1

x x

 



 

2

1

x

F x



Suy ra ( ) 3.

4

F x  Dấu bằng xảy ra khi x 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của ( ) 3

4

F x  khix 1

Ví dụ 5 Cho biểu thức

4 3

1

B

  



    Chứng minh rằng biểu thức B không âm với mọi giá trị của x

Giải Tìm cách giải Chứng minh biểu thức không âm với mọi giá trị của x, ta cần phải rút gọn

biểu thức Sau đó chứng tỏ tử thức không âm và mẫu thức dương

            

3

2

B

x



 2

2

1

0.

2

x

B

x





Vây B không âm với mọi giá trị của x

Trang 4

Ví dụ 6 Tính  2  2 

1986 1992 1986 3972 3 1987

1983.1985.1988.1989



(Thi Học sinh giỏi NewYork (Mỹ) – năm học

1986-1987 )

Giải Tìm cách giải Bài toán này chứa số khá lớn Nhiều số gần với 1986, do đó rất tự nhiên đặt

1986 x, rồi biểu diễn các số gần với 1986 theo x, ta được biểu thức P biến x Sau đó rút gọn biểu thức P

Đặt 1986 x

Ta có:

P



1

P x hay P 1996 1 1997  

Nhận xét Phương pháp giải bài trên là đại số hóa bằng cách đặtx 1986, sau đó rút gọn phân thức đại số Nhiều biểu thức số ta có thể giải bằng đại số như trên

III Bài tập vận dụng

1.1 Rút gọn biểu thức:

a)

N



Hướng dẫn giải – đáp số

a)



         

2

N

       

Trang 5

  

2

.

N



       

1.2 Rút gọn biểu thức:

;

A

 



2

;

2 8

M



 

 

1

N



A

    

2

4

2

M

 2  2 

4

x

 



 

  

N

 

1 1

abc a b c ab bc ca P

      



  

1

abc bc a ab b ac c

P

   

      

   

.

1.4 Tính giá trị của biểu thức sau:  2   

2003 2013 21.2004 1 2003.2008 4

2004.2005.2006.2007.2008



( Tuyển sinh 10, Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2003 –

2004 )

Trang 6

Đặt x 2003 Ta có:

2

P

         



Phân tích tử thức thành nhân tử, ta được:

1

P

1.5 Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãnab bc ca   1 Rút gọn biểu thức sau:

B

a b b c c a



Thay 1 ab bc ca  , ta được:

Vậy

a b a c b a b c c a c b a b b c c a

B

1.6 Cho

4 3

1

A

  



    a) Rút gọn biểu thức A

b) Chứng minh rằng, A không âm với mọi giá trị của x

1

A

  

   

    

2

1

x



Trang 7

b)  2

2

1

0 1

x

A

x



 Vậy biểu thức A không âmx

1.7 Cho phân thức

2

.

x M





a) Rút gọn biểu thức M

b) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức M

a)

M

2

2 6

x



 

b) 2

2

2 6 5

  Dấu bằng xảy ra   x 1

Vậy giá trị lớn nhất của phân thức 3

5

M  là khix  1

1.8 Rút gọn phân thức:

2

A

x x



 

Q

   



   

A

 2 3  1 1  2   

1

x



Ta có:

Q

   



2

1

x

   



1.9 Chox y z.

a  b c Rút gọn biểu thức:

2

(ax+by+cz)

Đặt x y z k

a   b c suy ra:xak y; bk z; ck.

Trang 8

Từ đó ta có

2 2 2 2 2 2

P

 

Suy raP 2 12 2



 

1.10 Choa b c  abc.Chứng minh rằng:

 2 2  2 2  2 2

3

abc

ab bc ca



Xét tử thức ta có:

3 3

b

ab ac a b bc a c b c

ab a abc ac a c abc bc bc abc abc

ab a b c ac a b c bc a b c abc

a b c ab ac bc abc

abc ab ac bc

Vậy suy ra:  2 2  2 2  2 2

3

abc

ab bc ca



Điều phải chứng minh

1.11 Chứng minh rằng giá trị biểu thức    

   

P



    không phụ thuộc vào giá trị của x

Ta có:    

   

1

P

x ax a a a x

     

           

2

1

a a

 

Vậy giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của x

1.12 Tính giá trị biểu thức

3

1

x x P





   , vớix 499;y999.

Trang 9

Ta có  

2

1

x x P

xy x y xy x y





     

P

Điều kiệnx  1;y  1.

Vớix  499,y 999 thay vào ta được

999 1 999 1499  1000.998499 20001

1.13 Tính giá trị biểu thức:      

A



    với x y 2020.

A

2 2

6 6

2 2

6 6

Điều kiệnx y x;   y 6.

Vớix y 2020 thì giá trị biểu thức 2019

2020

A

1.14 Choax by cz   0 Chứng minh rằng:

1

ax by cz

a b c

bc y z ca z x ab x y

 

Xét  2  2  2

bc yz ca zx ab xy

bcy bcyz bcz caz cazx cax abx abxy aby

a x aby acz abx b y bcz acx bcy c z

a x b y c z  abxy bcyz cazx

a b c ax by cz

     (vì ax by cz   0)

Trang 10

Từ đó suy ra, vế trái

1

a b c

a b c ax by cz

bc y z ca z x ab x y

 

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	421,3 KB