Đây là bài tập lớn về lý thuyết tấm vỏ hoc trong cao học xây dựng. Tùy mỗi bạn sẽ có các sơ đồ khác nhau được giao về làm tại nhà nộp lại cho giáo viên. Tài liệu ở dạng word nên rất tiện cho bạn nào có sơ đồ giống vậy để chỉnh sửa hoặc tham khảo.
Trang 1BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG
Bài 1: Tấm chữ nhật cạnh 2a x 3a đặt trên nền đàn hồi có hệ số nền K = D/a4 chịu tải trọng phân bố đều q0 vuông góc mặt trung bình của tấm Bằng phương pháp sai phân hữu hạn
với bước chia đều , hãy tính gần đúng độ võng và mô men uốn tại điểm K1,2 theo sơ đồ G như sau: ( = a) Hệ số nền = 16.
Giải
Các bước tiến hành :
Bước 1 : Chọn phương pháp giải : giải bắng phương pháp sai phân hữu hạn
- Lập lưới sai phân với bước chia đều nhau theo cả 2 phương là
- Đánh số thứ tự các nút của lưới sai phân
Bước 2 :
- Biến đổi phương trinh vi phân độ võng trên nền đàn hồi từ phương trình ban đầu
- Viết phương trình vi phân cho điểm cần tìm K1 và K2
- Thay thế điều kiện biên vào phương trình vi phân của điểm K1 và K2
- Viết tiếp phương trình vi phân cho các điểm còn thiếu của phương trình K1 và K2 (nếu thiếu ẩn)
Bước 3 :
- Giải hệ phương trình tìm được ( là hệ phương trình có số ẩn bằng số phương trình) : sử dụng phần mềm Mathematica để giải tìm nghiệm của điểm K1 và K2
Bước 4 : Từ nghiệm độ võng của điểm K1 và K2 tìm được ơ bước 3 , viết biểu thức tính nội lực tại các điểm cần tính ( ở đây là các điểm K1 và K2)
x
y
Trang 2Bước 1 :
- Ta tiến hành lập lưới sai phân và đánh số thứ tự như hình vẽ:
Bước 2 :
- Phương trình vi phân độ võng tấm trên nền đàn hồi như sau:
4w +
D
k
w =
D
q0
- Với K = 4
a
D
thay vào phương trình trên ta được:
4w + 4
a
α
w =
D
q0
- Điều kiện biên:
+Tại biên ngàm:
Độ võng = 0 : W13 W9 W14 0
Góc xoay = 0 :
1 15
1 15 '
8 21 _1
'
14 14
19 9
0 0
0
sai phan cap
W
+Tại các biên khớp:
Độ võng = 0 : W13 W5 W2 W6 W3 W7 0
Trang 3Momen = 0 :
'
16 5 1 10 2 0
10 11 0
'
3 3
'
4 20
7 7
0 0
0
Vậy , từ điều kiện biên ta có :
8 21
0
- Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 0 ( K1) là:
4
D a
- Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 1 (K2) là:
4
D a
- Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 4 là:
4
D a
- Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 8 là:
4
- Thay các điều kiện biên và =16 ta được hệ pt :
4 0
4 0
4 0
4 0
a q
D
a q
D
a q
D
a q
D
- Thêm phương trình từ điều kiện biên tự do:
y
td y
Trang 4+ Phương trình Momen và lực cắt tại điểm 4 :
y
td
y
M
Q
+ Phương trình Momen và lực cắt tại điểm 8 :
y
td
y
M
Q
- Rút gọn ta thu được 4 ptrình sau :
- Giải hệ ptrình (1’ ,2’…,7’,8’) 8 ẩn số : W0, W1, W4, W8, W12, W17, W22, W23 ta thu được kết quả :
4
0
4
0
4
50941 24363 7260 1537 225
1080510 522931 161753 35419 4699
43830 21273 7002 1411 217
1080510 522931 161753 35419 4699
59284 21479 7057 1026 225
1080
q a W
D
q a W
D W
4 0
4
0
4
0
510 522931 161753 35419 4699
27430 16922 5799 830 225
1080510 522931 161753 35419 4699
118568 2761 15787 997 135
1080510 522931 161753 35419 4699
q a D
q a W
D
q a W
4
0
4
0
23
11030 44425 39 1507 37
1080510 522931 161753 35419 4699
471362 7862 131444 20585 996
1080510 522931 161753 35419 4699
142218 297069 69112 14765 30
D
q a W
D
q a W
D W
4 4
0
86
1080510 522931 161753 35419 4699
q a D
- Vậy : độ võng tại điểm K1 và K2 là:
Trang 50
4
0
K
K
q a
D
q a
D
- Mômen tại điểm K1 và K2 là : Đặt : x 1
y
a a
1
1
2
2
2
K
x
x K
y
y K
x
x K
y
y
a
a
a D
\
- Thay W0 , W1 , W4 , W8 ta thu được kết quá sau :
0
0
2
K x
K y
K x
M
2
2 0
0
K y
q a
Trang 6Bài 2:
Vỏ cầu thoải có mặt bằng hình chữ nhật kích thước 5a x 9a liên kết khớp tựa chịu tải trọng pháp tuyến với mặt trung bình trong trường hợp lực tập trung hoán vị đặt tại điểm 6.
Yêu cầu: 1 Chọn hàm độ võng thỏa mãn điều kiện biên theo chuỗi lượng giác kép
2 Tính chuyển vị Wmax
1 Chọn hàm độ võng thỏa mãn điều kiện biên theo chuỗi lượng giác kép:
- Phương trình hàm độ võng đối với vỏ cầu thoải bán kính R có dạng như sau:
4w + 44w =
D
q
(1)
Trong đó
2 4
2 2
4
4
2
h R
w
- Nghiệm của (1) được chọn dưới dạng chuỗi như sau:
a
y n a
x m A
y x W
mn
5
sin 9 sin )
, (
1 1
Trong đó Amn là hệ số của chuỗi (m, n = 1, 2, 3, )
- Thế (2) vào (1), sau khi rút gọn ta được:
a a
X
Y
32
Trang 7
y n a
x m a
n a
m
A
n mn
2 2 2
1
1 1
4
5
sin 9 sin 4
n
mn
y n a
x m
D q
y n a
x m a
n a
m DA
n
mn
4 2 2 2
1
= q (3)
- Phân tích hàm q(x,y) dưới dạng chuỗi kép Fourier trong miền 0 x 9a; 0 y 5a
a
y n a
x m C
y x q
m n
mn
5
sin 9 sin )
, (
1 1
a
y n a
x m y
x q a a C
a a
5
0
9
0 ( , )sin 9 sin 5 5
9
- Do tải trọng tập trung q đặt tại điểm 6 nên x0 = 6a, y0 = a Vậy:
a
a n a
a m dy
dx
q a
a C
a a
5
0 0 0
9
6 sin 5
9
5
sin 9
6 sin 5 9
a a
q
C mn
- Thay Cmn vừa tìm được ở trên vào (4) ta được:
a
y n a
x m n
m a
a
q y
x q
6 sin 5 9
4 )
, (
1 1
- Từ (3) và (5) tiến hành cân bằng hệ số ta có:
5
sin 9
6 sin 5 9
4 4
5 9
4
2 2 2
a a
q a
n a
m
DA mn
4
2 2 2
4 5
9
5
sin 9
6 sin 5
9 4
a
n a
m D
n m
a a
q
A mn
- Vậy hàm độ võng cần tìm là:
a
y n a
x m a
n a
m D a
n m
q y
x
W
4 5
9 45
5
sin 9
6 sin 4 )
,
(
1 1
4
2 2 2
2
Nhận xét :
1) Từ hàm độ võng giả thiết , ta đi tìm công thức tính tổng quát Amn
Trang 82) Để tìm Amn ta sử dụng tính chất đồng nhất hệ số trong toán bằng cách giả thiết q(x,y) cũng được khai triển dưới dạng chuỗi để tìm mối quan hệ giữa hàm chuyển vị và tải trọng
2 Tính chuyển vị W max :
- Khi đó:
2
1 1
6
W x y
a D
- Sử dụng chương trình Mathematica ta tính được độ võng, ta nhận thấy sự lặp lại của các số hạng trong chuỗi số.Dễ dàng, nhận thấy chuỗi đạt giá trị độ võng lớn nhất khi
9
m x
a
5
m y a
đạt khi x=9a/2, y=5a/2
- Ta có hàm độ võng max như sau:
2
1 1
11
( , )
q
W x y
a D
- Sử dụng phần mềm tính toán Mathematica ta thu được Wmax như sau
2 4
3
2
ax =
106
2025
, trong đó C là một số vô cùng bé
Trang 9Phụ lục tính toán bằng Mathematica:
A=Sin[6*m*Pi/9]*Sin[n*Pi/5];
B=Sin[m*Pi*x/9/a]*Sin[n*Pi*y/5/a];
m^2*Pi^2/81/a^2+n^2*Pi^2/25/a^2+4*L^4
4 L4 m22
81 a2
n22
25 a2
A*B/Out[5]
Sin2 m
3 Sinn
5 Sinm x
9a Sinn y
4 L4 m2 2
81a2
n2 2
25a2
Sum[Out[6],{m,1,1},{n,1,1}]
3
9aSin y
44 L4 106 2
Sum[Out[6],{m,1,2},{n,1,2}]
3
9aSin y
44 L4 106 2
2025a2 3
9a Sin y
44 L4 181 2
3
9aSin2 y
44 L4 349 2
2025a2 3
9a Sin2 y
44 L4 424 2
Sum[Out[6],{m,1,3},{n,1,3}]
3
9aSin y
44 L4 106 2
2025a2 3
9a Sin y
44 L4 181 2
3
9aSin2 y
44 L4 349 2
2025a2 3
9a Sin2 y
44 L4 424 2
3
9aSin3 y
44 L4 754 2
2025a2 3
9a Sin3 y
44 L4 829 2
Sum[Out[6],{m,1,4},{n,1,4}]
Trang 10 3
9aSin y
44 L4 106 2
2025a2 3
9a Sin y
44 L4 181 2
3
9a Sin y
44 L4 481 2
2025a2 3
9aSin2 y
44 L4 349 2
3
9a Sin2 y
44 L4 424 2
2025a2 3
9a Sin2 y
44 L4 724 2
3
9aSin3 y
44 L4 754 2
2025a2 3
9a Sin3 y
44 L4 829 2
3
9a Sin3 y
44 L4 1129 2
2025a2 3
9aSin4 y
44 L4 1321 2
3
9a Sin4 y
44 L4 1396 2
2025a2 3
9a Sin4 y
44 L4 1696 2
Sau khi thay x=9a/2, y=5a/2, ta có
A=Sin[6*m*Pi/9]*Sin[n*Pi/5];
B=Sin[m*Pi/2]*Sin[n*Pi/2];
m^2*Pi^2/81+n^2*Pi^2/25+4*L^4
4 L4 m2 2
81
n2 2
25
A*B/Out[19]
Sinm
2 Sin2 m
3 Sinn
5 Sinn
4 L4 m2 2
81
n2 2
25
Sum[Out[20],{m,1,1},{n,1,1}]
3
44 L4 106 2
Sum[Out[20],{m,1,2},{n,1,2}]
Trang 11 3
44 L4 106 2
Sum[Out[20],{m,1,3},{n,1,3}]
3
44 L4 106 2
2025 3
44 L4 754 2
Sum[Out[20],{m,1,4},{n,1,4}]
3
44 L4 106 2
2025 3
44 L4 754 2
