Vậy với m=n thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành câp sô cộng.. Độ dài các cạnh của một tam giác ABC lập thành một cấp số nhân... Giá sử a,b,c,d lập thành một cấp số nhân...
Trang 1Nguyễn Đình Sỹ Tài liệu nội bộ
HƯỚNG DÁN GIẢI BÀI TẬP BÓ SUNG
ÔN TẬP CHƯƠNG III
Bài 1 : Giả sử x,,x,, x, cÑ, vx,.x, x„ =1 Chứng minh x, +x, + +x„ >ø
Giải
Chứng minh băng quy nap
- Với n=l : x, =1 Mệnh đê đúng
- Giả sử mệnh đề đúng với n=k ( k>I )
©xi†+x;†+x,+ +tx,>k vxx;x.x,=l (*)
Nếu với mọi x, =1 thi hién nhién : x+x,+ +x,+xX,,>k+T
Nếu trong k+1 SỐ có ít nhất một số lớn hơn 1, thì at phải có số nhỏ hơn 1
Không giảm tính tông quát, giả sử x, >Ivà x,,, <1, khi do taco:
(I—>,,¡)(x¿—l1)>0«©©x,+x,¡>I+x,x,„¡ (1)
Do đó :
Xi +; + ty ty > MHA He + My FHA +1 (2) Theo gia thiét quy nap , ta suy ra từ k số ở về phải :
x+tx;+ +x,j+(xx,j)S& (3)
>k+I
Tur (2) va (3) suy ra: x, +x, + 4+%,+%,,,
a+b
a+b, 5 với : a>0,b>0,neN
Bài 2 Chứng minh : 5 >(
HUONG DAN
- Voi n=! Mệnh đê đúng
` k k k
- Giả sử mệnh đề đúng với n=k ( Với k>1): o 2 - >(*) (1)
k+l k+l K+]
- Ta phải chứng minh : oo > cw
That vay , ta nhan hai về của (1) với a’, taco:
a+b a+b (“°) a+b (“2
<> = =
2 2 2 2 2
re +ah+ab +b |“) (2)
4 2 Nhung voi a>0,b>0 thi : (a' -b')(a—b)>0< a‘ +b" > a‘h+ ab!
a** +a*b+ ab" + p#" < a’! + pk!
4 2
So sánh (2) và (3) ta được điều phải chứng minh
Bài 3.Xét tính bị chặn và tính đơn điệu của các dãy sô sau ?
2
n
n
n
Chúc các em học tot
Trang 2
a u, = nl =n+i Ta thay : u, = nl > 2ml =2 Cho nên đây là một dãy số tăng ,
bị chặn dưới bởi m=2 ( Nhưng không bị chặn )
b u, =(-1)"" sin+
n
- Xét higu : w,,,-u, =(-1)" sin ts sin + Vì biểu thức trong dâu móc luôn đương
với mọi thuộc Xˆ.cho nên z„ —z„ >0, khi n chẵn , còn ø„.—z„ <0 khi n là lẻ Vì vậy dãy số đã cho không tăng và cũng không giảm ( Không đơn điệu )
Mặt khác : -I<sin_<I1= -I(-!)”” <u, <1(-UJ” ©(-Đ <»„„<-U
n
, ~ ` M =] ~ A ° ~
Có nghĩa là : ø„ e[];1] =| ` Dãy sô bị chặn
m=
Bai 4 Cho mot day số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22.43 Hiệu của hai sỐ hạng liên tiêp của dãy sô đó lập thành một câp sô cộng : 7,14,21 , 7n sô 35351 là sô hạng thứ mây của câp sô đã cho ?
HUONG DAN
Theo đâu bài ta có :
u„—u, ¡ = 7(n—])
Cộng các về của các phương trình của hệ ta dược :
n(n—]) 7———- ¬ (1
©u,—, =7+14+21+ +7(n—1)=
Đặt : ¡; =35351 =3 (1) 2935351127) es 9 9 10100=0-> n=101
Do đó : 35351 là số hạng thứ 101 của dãy sô
Bài 5 Cho phương trình : xf + 3x” -(24+m)x— 26—n=0
Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt x,,x,,x, lập thành một cấp số
cong ?
Vì 3 nghiệm phân biỆt : x,,x,,x, lập thành cap sô cộng, nên ta có thê đặt :
xX, =X) —d,xX, =Xy,x; =x, +d(d #0) Theo gia thiết ta có :
x`+3x?~(24+m)x—26—n=(x—x,)(x—x;)(x—x;)=(x—xạ +đ)(x—x¿)(x— xạ — đ)
=x`-3x¿xŸ + (3x; -d’)x=x, +x d° (Vx)
Đồng nhất hệ số ở hai về của phương trình ta có hệ :
2 12 2 xX) =-Ì
© 43x -đ” =-(24+m) ©43—-d —-24- me |
=x, +x)d° =-26-n l-d* =-26-n
Trang 2
Trang 3
Vậy với m=n thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành câp sô cộng
Bài 6.Tìm m để phương trình : xf -(3m+5)x?+(m+1}° =0 có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng ?
HUONG DAN
Giả sử bôn nghiệm phân biệt cua phuong trinh : x,,x,,x,,x,
Đặt x” = „>0, ta được phương trình :
©y?~(3m+5)y+(m+1)`=0 (1)
Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm dương phân biệt : 0< y, < y,, Khi đó thì (1)
có bốn nghiệm là : x, =—\/y,,x, =—,/y,,x,=Jy,,.x, = Jy, (RO rang : x,<x; <x; <x, ) Theo đầu bài thì bốn nghiệm lập thành cấp số cộng , nên :
=> x, +x, =2x, vx, +x, =2Xy ©xWị —Ayy =2», >3, =Ayy ©9y, = y; (*)
Ap dung vi ét cho phương trình (1) ta có hệ :
A=(3m+5) —4(m+l1) >0 m=5
S)S=y,+y,=10y,=3m+5 & 25
P= yy; =9y? =(m+1) 19
Bài 7 Độ dài các cạnh của một tam giác ABC lập thành một cấp số nhân Chứng minh răng tam giác ABC có hai góc không quá 60”?
HUONG DAN
Gia su ba canh cua tam giac ABC thw ty la a,b,c Khong giảm tính tong quat , ta gia sit 0<a< b<c, néu ching tao thanh cap s6 nhan thì , theo tính chất của cấp số nhân ta
CÓ : b” =dđc
Theo định lý hàm số cô sin, ta có :
2 2
a+c 1
bh? =a’ +c’ —2accos B => ac =a’ +c’ —2ac.cosB & cosB=
ac 2
Mặt khác : a” +” >2ae > cosB> In => Vay góc B<60°
Nhung : a<b=> 4<60”, cho nên tam giác ABC có hai góc không quá 60”
Bài 8.Tìm bốn số hạng đầu của một cấp số nhân , biết tong ba so hang dau bang 16
đồng thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số
cộng
Goi: u,,u,,u,,u, la 4 sd hang dau tién cua cap sô nhan , voi cong bdi q Goi (v,) la cấp số cộng tương ứng với công sai là d Theo giả thiết ta có :
My =v„ =vị +3d mạ” =u + 7d (3)
1, =Vy = vị + 7d
Khử d từ (2) và (3) ta được : „(34 °—74+4)=0 (4)
Trang 3
Trang 4
4=l
Do (1) nén: u,#0>(4)<] — 4 Theo dinh nghia thi ¢ #1, do vay 1-5
13
64 „ _ 256
16
Thay vào (1), ta được : u, =4,u, =u.g =—.u, =—.u, =
y ( ) š 1 2 i 3 3 9 4 27
Bài 9 Một cấp số nhân có 5 số hạng , công bội q =1/4 số hạng thứ nhất , tong cua hai
so hang dau bang 24 Tim cap so nhan do ?
HUONG DAN
Theo giả thiết ta có :u, +u, =M +2 (0)=24 = + HỆ =24 = 09 M =-l2vu,=8
Vậy có hai cấp số nhân tương ứng là : 8,16,32,128 hoặc : -12,36,-108,-972
Bài 10 Xen vào giữa hai sô : 4 và 40 bôn sô đê dược một câp sô cộng ? Tìm bôn sô
đó 2
Hướng dân :
Nêu xen 4 sô vào giữa hai sô đê được một câp sô cộng thì câp sô đó có 6 sô hạng Theo đâu bài ta có :
= 4,u, = 40 = 40= 445d eo d= =7,2
Vậy 4 số thêm vào là : 4+7,2=11,2, 18,4.,25,6,32,8
HUONG DAN
Bai 11 Tinh tong :
s=|z+;] 1+2) toot 2 +]
2 4 2”
Ta co:
s=[4+2+2 ]x[I6+2+¡e bot (242455 ]>(4+16++2)+2m+[ 2 + 1e +«+ |
q "—I
Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân Si =u, ;
qd _—
1
l
4
Bài 12 Với giá trị nào của a, ta có thê tìm được các giá trị của x đê các sô :
5+ 25 +25" lập thành một cấp số cộng ?
HUONG DAN
Dé 3 so hang do lập thành câp sô cộng, ta có :
(5”'+5'*)+(25'+25")= 2|5] a= |s +x} [s + =
Theo bất đăng thức cô si, ta co : 5+ 2 Wi =2,5" 45,2259 a>52+2 =12,
Vậy với : a>12, thì ba số đó lập thành cấp số cộng
Bài 13 Chứng minh răng dãy số : a, =2.3” lập thành một cấp số nhân và tính tổng của 8 số hạng đầu tiên của nó ?
Trang 4
Trang 5
HUONG DAN
Xét ; Gor = 23"
n =3>1 Ching to a, la mot cấp số nhân , có công bội q=3 ,a =2.3=6
a
n
8
Do vay : S, = eo) = 3.(3°-1)=17.680
Bài 14 Giá sử a,b,c,d lập thành một cấp số nhân Hãy tinh gia tri biêu thức :
(a-e} +(b-c) +(b-d) ~(a-d)
HUONG DAN
Taco:
A=(a-c) +(b-c) +(b-d) —(a-d) =(a-aq’) +(aq—aq") +(aq—aq°) -(a=a`} =0
Bài 15 Giả sử các số : 5x-y,2x+†3y, và x+2y lập thành một cấp số cộng , còn các số :
HUONG DAN
Theo giả thiệt ta có hệ :
_ lo
2x=S5y 3
x=-—,y=-—
Bai 16 Cho một câp sô cộng : u,,u,,u,,u, Chứng minh rắng nêu : |u,v,—u,u,|<6 thi
biểu thức A= \(x—1#.)(x—w;)(x—w,)(x—,)+9 có nghĩa với mọi x ?
Theo tính chât của câp sô cộng, ta CÓ : u,+u, =u, +u,
Do đó : © (x—u,)(x-u,)(x-u,)(x-u,)=[ 2° —(u, +u,)x+uyu, || x° —(u, +M,)X + Mạ, | (*) Đắt: ¿=z? —(u,+u,)x=x° —(u, +u,)x, khi do :
(*\o f(D =(t4+uu,)(t+ usu, )+9 =F + (uu, +uzu, t+ ujuunu, +9
Voi: A, = (uu, +; y —4u,u,u,u, —36 = (uu, uu) —36
Rõ ràng : |uw,—u,u,|<6=> A, <0 f()>0Vt< Aco nghĩa với mọi x
Bài 17 Chứng minh rằng : Nếu 0< y z1 thì điều kiện ắt có và đủ để ba số đương
a,b,c tạo thành một câp sô nhân ( theo thứ tự đó ) là :
log, N _ log, N —log, N (a,b,c #1) log N log, N—log N
HUONG DAN - _
Theo gia thiét , néu ba s6 a,b,c lap thanh cap so nhan thi: ac=b’ (1)
Lay logarit co s6 N hai về của (1) ta có :
= logy (ac) =logy b° = logy at+log, C=2log,b (2)
Sử dụng công thức đổi cơ số :
Trang 5
Trang 6I l 2 l l l l
log, N log.N log,N log,N log,N log,N log N
= log, N-log, N _ log N—log, N c log,-log,VM _ log, N log, N-log,N _ log, N log, N.log,N log, N.log, N log N-log,N log N log,N-log.N log N
Bài 18 Chứng minh rằng , néu log, a,log„b,log, c tạo thành một cấp số cộng ( theo thứ tự đó ) thì : log, y= 708% 8.2 (9 <x, y,2,a,,c% 1)
log, x+log z
HUONG DAN
Theo gia thiét :
= log at+log,.c=2log, b= + = => log, y=—= (dpcm)
log,x log.z log, y log, x+log, z
Bài 19 Cho ba số : x,3,y lập thành một cấp số nhân và x' = yA3 Tìm x,y và công bội
q của cấp số đó ?
HƯỚNG DẪN
9
=— 9 -— @l.l¬§
> 2 >
Theo gia thiét :
Bai 20.Cho ba số tạo thành một cấp sỐ nhân mà tổng của chúng bằng 93 Ta có thể sắp đặt chúng ( theo thứ tự của câp SỐ nhân kế trên ) như là số hạng thứ nhất , thứ hai
và thứ bầy của một cấp số cộng Tim ba sé do ?
HUONG DAN
Gọi ba sô da cho la: u,,u,,u, theo thir tu 1a ba s6 cua mot câp sô cộng
Con cap s6 nhan (v,) Theo giả thiết ta có hệ :
vy, tv, +v, = 93(*) v,(1+q+q°)=93(*) u,(l+q+q là 93(*)
u, +d =vq (2) 6d =u, —u, =U, (q° -1)(2v3)(5 ~ mạ ĐỀ, gle _9 HS)
Từ (2) và (2) cho ta phuong trinh (4) Con ttr (2) va (3) cho phương trình (5) Mat khác từ (4) và (5) cho phương trình (6)
Do : 0/4196) €1= (4+1) ©@4=5
Theo (*) : v, +5v, +25v, =93 <u, =3 Vậy ba số cần tìm là : 3,15,75
Bài 21.a Tính tổng của n số hạng : 3+33+333+
b Tim x dé ba sô : In2,In(2'—1),In(2' +3) lập thành một cấp số cộng ?
a Tinh tong cua n so hang : S=3+33+333+
Ta co : S=3(1+114+111+ +11 1 (n chi so 1))
_ K_ 10? —I 10” —]
=3|——+———+ +
Trang 6
Trang 7
= 49, = + (10"" -10-9n)
3\ 10-1 27
b Tim x để ba số : In2,In(2' =1),In(2' +3) lập thành một cấp số cộng ?
Điều kiện : 2*-1>0 2" >1=2°>x>0(*)
Khi đó ta có phương trình : 2In(2' =1)=In2+In(2"+3) © (2' -1) =2(2'+3)
x
2
2 P'-42'-s-068|2 ; |= x= log, 5>0
x _ >
Bai 22 Tim bon so biét rang ba so hang dau lap thành một câp sô nhân, ba sô hạng sau lap thanh mot cap so cong Tong cua hai so hang dau va cuôi băng 14, còn tông của hai sô ở giữa là 12 2
HƯỚNG DẪN
Gọi 4 sô phải tìm là z,,z,,az,.a„ Theo đâu bài ta có hệ :
a, =a,4, 2aq° =aq+a,+d(1) (*)
2a,=a,+a, |4,+a,+2d=14 (2) Œœ =!a-4
g*q
Á te CIẾ la,ta,+d=12 (4) [2 =12—24
rw GA 25 15 9 3
Dap so : (2,4,8,12),)] —,—,—,=
Bài 23 Tổng của số hạng thứ hai và thứ tư của một cấp số nhân tăng nghiêm ngặt là
30, và tích của chúng băng 144 Tìm tông mười sô hạng đâu tiên của dãy sô đó ?
HUONG DAN
Goi cap so nhan tang nghiém ngat la: a, Theo dau bai ta cé hé:
Nhu vay : a,,a, la hai nghiệm của phương trình :
, 1=6 a,=24 |lagi=24 | =4 q= #2
£“—30/+144=0< ¬ ag =24 S
2
Do cap sé nhan ting nghiém ngat , cho nén q>1 , do vaayk ta chon a, =3,q=2
10
Cho nén: S,, =u, <= 31024 =1) = 3069
Bài 24 Cho tam giác ABC có 4=90” còn a,b, Xe theo thứ tự đó lập thành một cấp
sô nhân Tam giác ABC là tam giác có đặc điêm gì 2
HUONG DAN
A=90° a =bh +c Theo giả thiệt ta có hệ : Jo 2 2 , 3
— ~ ab, — 3 „€ =h =acob ==ac 3 2
Trang 7
Trang 8
Từ đĩ suy ra : a7 = Sac’ © 2a’ =3ac+2c* <= (2a+c)(a—2c)=0>a=2c(2a+c>0)
Mà : cosB=< = > = B=60°,C =30° Vay tam giac ABC la tam giac nira déu
a
Bài 25 Cho tam giác ABC, cĩ ba cạnh a,b,c , theo thứ tự đĩ lập thành một cấp số cộng Hãy chứng minh răng : cot = cot =3
HUONG DAN
Nêu ba cạnh a,b,c lập thành câp sơ cộng thi ta co : atc=2b
© sinA+sinC =2sinB © 2sin A- B B
cos = 4sin—cos— (1)
sin =sin| 90° —-— |=cos—
A+C B 2 2 2
— C B B
= cos{ 90 -2) = sin —
Do do (1) tro thanh :
© sin cos —— = 2sin — cos —— <& cos —— =2sin— < cos —— =2cos
2 2 2 2 2 2 2
A C A.C A C A.C A C 4 C
<S €OS— €OS— +SIn —SIn — = 2€0S— €0oS— — 2sin —sin — & cos — cos — = 3sin — sin —
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
> cot Scot = 3(dpcm)
Bài 26 Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : tagA.tangB=6 va tangA.tangC=3 Hay ching to : tangA,tgB,tgC theo thi tu do lap thành câp sơ cộng 2
HUONG DAN
Từ giả thiệt ta cĩ hệ phương trình :
tanAtanC=3
Mặt khác ta cũng cĩ : -tan 8= tan(4+€)= (anA#tanC _ {anA+tanC =—~(tanA+tanC)
<> 2 tan B = tanA+tanC © 2tanAtanB=2tan’ 4 + tanAtanC < 2.6=2tan?4+3 => tan” 4=9
Theo gia thiết : tanAtanB=6>0,tanAtanC=3>0 cho nén tanA>0,tanB>0,tanC>0
Suy ra : tanA=3 ,tanB=2 và tanC=l Điều đĩ chứng tỏ tanA,tanB,tanC lập thành cấp
số cộng cĩ cơng sai d=l
Bài 26' Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : tàA,tangB,tansC theo thứ tự đĩ lập thành câp sơ cộng Hãy tìm giá trị nhỏ nhât của gĩc B cĩ thê cĩ được ?
Theo giả thiệt : tanA,tanB,tanC lập thành cap sơ cộng thì ta cĩ : tanA+tanC=2tanB
sin(4+C) _ sinB _ 2sinB sinð
cosA.cosC cosA.cosC cosB cosA.cosC
l cosB_ cosA.cosC
<> tanA+tanC=
< 20s A.cosC=cosB © cos( A+C) + cos(A-C) = cosB
© -cosB+cos (A-C) = eosB © cosB= 5 cos(A-C) < > (2)( vi 0<cos(A-C)<1 )
Do 0<B< z = Giá trị nhỏ nhất của B = 5
Trang 8
Trang 9
Bài 27 Tam giác ABC có : coL 7 ,cot 2 eot- theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng Hãy chứng minh rằng ba cạnh a,b,c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số
cộng 2
HƯỚNG DẪN
4A+€Œ B 4+€Œ
Theo dau bai ta co : cot— +cot — =2cot— © =2 =2
2 2 4 C B A+C
sin — sin — sin — cos
2 2 2 2
< sin cos| — |= 2 sin —sin —sin =| €COS——— — €OS 1n
A+C A-C A+C
= COS
<> 2sin cos <= 2sin(A+C) == (sin 4+ sinC)
© sin 4+sin CC =2sin 8 => a+e=2b Chứng tỏ ba cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng
Bài 28 Tam giác ABC có : cot 4,cot 8,cotC theo thứ tự đó lập thành một cấp cộng Hãy chứng minh rằng : a?,øˆ,e? theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng ?
HƯỚNG DẪN
Theo giả thiệt ta có : cotA+cotC=2cotB
sin(A+C) _ 2cos 8
SS —————
sin 4sin C sin 8
© sin B = cos(A-C)cosB-cos(A+C) cosB=-cos(A-C)cos(A+C)+cos*B
=—"— © sin? B = 2sin BsinC cos B = | cos ( (A-C)- cos (A+C ) |cosB
= sin’ B =— 2 (e0s2A+cos2C)+] —sin” 8= -3(1 —2sin? 4+1—2sin° C}+1—sin? 8
=> 2sin° B=sin? A+sin* C & 2b? =a’ +c?
Vay ching to a’,b’,c’ theo thứ tự đó cũng lập thành một câp sô cộng
Bài 29 Cho tam giác ABC cân ( AB=AC ), có cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó 2
HUONG DAN
A Theo gia thiét : AB=AC, BC,AH,AB lập thành câp
sô cộng cho nên ta có hệ :
LBC JHC uc
1 Cho nên từ đó ta có kết quả
1 AH
—=——=sinB
H sau : 2cotC=sinC , hay :2cosC =sin* C =1-cos*C
© cos?C +2c0s C-1=0 <= cosC=-1+V2 (0<C < 90°)
Do C la nhon cho nén sinC = 2(V/2-1)
Cho nên công bội của câp sô nhân là : q= Jt tt 2(V/2 +1)
sinC 2(x2-1) 2
Trang 9
Trang 10
Bài 30 Tam giác ABC có các cạnh a,b,c theo thứ tự
f đó lập thành một cấp số cộng Hãy chứng minh rằng
B C khi đó công sai của cấp số cộng được tính bởi công
thức : d=3r|¡ cy ?)
2 s2 s2
HUONG DAN
Theo giả thiết : a,b,c lập thành cấp số cộng , cho nên công sai d=-—* (1)
, B C B C
Ta co : a=rcot—+rcot— =r| cot—+cot —
2 2 2 2
Tuong tu : c= r{cot 3+ cot
Thay vao (1) taco :
1 A Cc) 1] 1 1 ¡ | tan, an ¬ v
a= | sat =eotŠ Ì> 2 —————x~|=-r| —*“=—~ |(2)Mặt khác theo bài 25 thì
2 2 2) 2| 4 2 C
cot cot C =3 —> tan “tan S=^, Thay vào (2) ta có :
C
tan — — tan —
2
od= a = $r[ tan < — tan “) ( Điều phải chứng minh )
3
Trang 10