bài giảng Lý thuyết tấm và vở mỏng

bài giảng, Lý thuyết tấm và vở mỏng

PHẦN I

LÝ THUYẾT TẤM MỎNG

1.Tổng quan

1.1 Định nghĩa: Tấm là vật thể phẳng có chiều cao

(thường gọi là bề dày) nhỏ hơn nhiều so với kích

thước theo hai phương còn lại.

• Mặt phẳng chia đều bề dày tấm gọi là mặt trung bình hoặc mặt

trung gian của tấm Giao tuyến của mặt trung bình với các mặt

bên gọi là chu tuyến của tấm

• Sự biến dạng của tấm được biểu thị bằng sự biến dạng của mặt

đó mặt này còn được gọi là mặt đàn hồi của tấm

1.Tổng quan

1.Tổng quan

Tấm có lỗ khoét

Tấm đặc

1.2 Phân loại tấm

1.Tổng quan

Đối xứng tâm

1.Tổng quan

Bất đối xứng

• Phân loại tấm theo tỉ số h/Lmin

- Tấm mỏng chia làm 2 loại:

• Tấm có độ võng bé (tấm cứng): w/h < 0,2 – biến dạng mặt

trung bình và nội lực màng có thể bỏ qua

• Tấm có độ võng lớn (tấm uốn): w/h > 0,3 – mặt trung bình bị

2 Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)

• Xét tấm mỏng, chiều dày h, mặt trung bình tấm là mặt phẳng xy,

trục z theo phương chiều dày tấm và chiều dương hướng xuống

dưới

• Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff – tấm chịu uốn, vật liệu đàn hồi,

tuyến tính, độ võng bé) dựa trên các giả thiết sau:

2.1 Các giả thiết

1 Vật liệu đồng nhất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính

2 Hình dạng hình học ban đầu của tấm là phẳng.

3 Độ võng của tấm w(x,y) là bé so với chiều dày tấm.

Như vậy góc xoay của mặt đàn hồi là bé nên bình phương góc xoay << 1.

4 Đoạn thẳng pháp tuyến trước biến dạng là thẳng và

vuông góc với mặt trung bình trước, sau biến dạng

vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung bình và có độ

dài không đổi,

5 Bỏ qua ứng suất pháp sz theo phương chiều dày tấm.

6 Mặt trung bình của tấm không bị giãn khi chịu uốn

(remain unstrained)

2 Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)

Giả thiết Kirchhoff

2.2 Quan hệ biến dạng – độ cong (pt động học)

• Hình vẽ là mặt cắt của tấm

//Oxz, y=const trước và sau

biến dạng Đoạn pháp tuyến

AB sau biến dạng là A1B1

- là góc xoay mặt trungbình quanh trục y

2 0 2

x

w x

   

 - Độ cong uốn của mặt đàn hồi dọc theo trục x

2 0 2

y

w y

   

 - Độ cong uốn của mặt đàn hồi dọc theo trục y

2 0

xy

w

x y

   

  - Độ cong xoắn của mặt đàn hồi đối với trục x và y

Như vậy có thể viết:

x z x y z y xy z xy

2 Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)

2.3 Ứng suất – Các thành phần ứng lực

• Chấp nhận giả thiết Kirchhoff, bài toán tấm ba chiều được đưa

về bài toán phẳng Pt vật lý có dạng sau:

(2.4)

2 Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)

Thay các tp biến dạng từ (2.3) vào (2.4):

(2.5)

Các tp ứng lực được xác định từ

các tp ứng suất theo định nghĩa:

Thứ nguyên: [lực/chiều dài]

(2.6)

2 Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)

Thay (2.5) vào (2.6), ta nhận được:

(2.7)

- Độ cứng trụ

- Độ cứng trụ D của tấm đóng vai trò như độ cứng uốn EI của dầm Ta

thấy D>EI, nên tấm bao giờ cũng cứng hơn dầm có cùng chiều dài nhịp

và cùng độ dày

- Giải (2.7) với ẩn là đạo hàm bậc 2 của độ võng, thay vào (2.5),

nhận được:

2 Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)

• Chú ý rằng lý thuyết tấm cổ điển bỏ qua ảnh hưởng của biến

dạng cắt trong tấm chịu uốn, nhưng lực cắt thì không bỏ qua, chúng

được xác định từ phương trình cân bằng của phần tử tấm

• Từ phương trình cân bằng trong LTĐHH, ta nhận được các ứng

suất tiếp:

(2.9)

2 Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)

• Phân bố của các tp ứng suất theo chiều dày:

2 Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)

2.4 Phương trình độ võng của tấm trong hệ tọa độ vuông gócXét cân bằng phân tố tấm

Thay giá trị của các tp mô men nội lực từ (2.7) vào (**):

=> Phương trình vi phân độ võng của tấm (pt Sophie – Germain)

(2.10)

(2.10) có thể viết dưới dạng:

với:

• Độ võng w(x,y) được xác định từ (2.10), từ đó xác định các thành phần

ứng suất theo (2.5), (2.9) Khi tích phân (2.10), các hằng số tích phân sẽ

xác định từ điều kiện biên

2 Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)

Thay giá trị các tp mô men từ (2.7) vào (2.10b,c), nhận được giá trị

2.5 Điều kiện biên

• Xét tấm chữ nhật có hai cạnh song

song với hai trục Ox, Oy Trên mỗi cạnh

phải thỏa mãn 2 điều kiện biên

1 Liên kết ngàm – cạnh y = 0

2 Liên kết gối di động – cạnh x = a

hoặc

• Khi tích phân pt (2.10), cần phải tính đến các

điều kiện biên Điều kiện biên có thể là động

học (liên quan đến chuyển vị và góc xoay), có

thể là tĩnh học (liên quan đến lực và mô men)

hoặc là hỗn hợp

2 Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff)

3 Biên tự do – cạnh y = b

Theo Poisson:

Ba điều kiện biên trên mỗi cạnh là không cần thiết nên Kirchhoff đề

xuất kết hợp chúng còn hai điều kiện biên sau:

Có thể biểu diễn lực cắt hiệu dụng này theo chuyển vị:

4 Biên tựa dầm – cạnh x = 0

Chỉ số b – dầm; không chỉ số: tấm

Như vậy điều kiện biên (*) biểu diễn theo chuyển vị có dạng:

Hoặc:

5 Biên chéo:

Tùy thuộc vào liên kết của biên chéo,

ta có những điều kiện biên tương ứng

2.6 Năng lượng biến dạng của tấm

Thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong vật thể đàn hồi thể tích V

3 Tấm chữ nhật

- Xét dải chữ nhật dài vô hạn theo

phương y, chịu tác dụng bởi tải ngang

phân bố là hàm chỉ một biến x: p = p(x)

- Tất cả các dải chữ nhật song song

với trục x, chiều rộng bằng đơn vị đều

chịu uốn như nhau

- Pt (2.10) trở thành:

Tích phân (3.1) với p=p0 x/a, ta nhận được

w – nghiệm pt không vế phải, w – nghiệm riêng

3.1 Các trường hợp cơ bản của tấm uốn

(3.1)

3.1.1 Dải chữ nhật chịu uốn trụ

- Điều kiện biên:

3 Tấm chữ nhật

3.1.2 Tấm chữ nhật chịu uốn thuần túy

- Điều kiện biên: 4 cạnh tự do

- Mô men phân bố đều trên các cạnh:

Thay C1, C2 vào (*), ta có:

Vì trên mọi mặt cắt song song với trục x, và y đều có:

=> Tấm chịu uốn thuần túy

- Trường hợp riêng: m1=m; m2=0

Mặt đàn hồi của tấm có dạng như

hình vẽ

3 Tấm chữ nhật

3.2 Uốn tấm chữ nhật

Bài toán uốn tấm dẫn đến tìm nghiệm của pt Sophie-Germain

(2.10) thỏa mãn các điều kiện biên

3.2.1 Phương pháp Navier (chuỗi lượng giác kép)

Tấm chữ nhật cạnh a, b, bốn biên tựa khớp chịu tác dụng của tải

ngang phân bố đều p(x,y)

Điều kiện biên:

Giả thiết hàm độ võng , và tải trọng phân bố biểu thị qua chuỗi

Fourier thỏa mãn điều kiện biên (*)

(*)

3 Tấm chữ nhật

Các hệ số wmn và pmn cần được xác định

(3.2) (3.3)

- Để tính pmn, nhân 2 vế pt (3.3) với , tích phân 2 lần từ

0-a và 0-b, ta nhận được:

3 Tấm chữ nhật

3.2.2 Phương pháp Levy (chuỗi lượng giác đơn)

• Xét tấm chữ nhật cạnh a, b, hai biên

đối nhau x=0 và x=a tựa khớp, hai biên

khác điều kiện biên tùy ý chịu tác dụng

của tải ngang phân bố đều p(x,y)

• Điều kiện biên tựa khớp:

Điều kiện biên thứ hai thu gọn về dạng:

(3.8)

• Levy đã đề xuất tìm nghiệm của pt (2.10) dưới dạng

thỏa mãn điều kiện biên tựa khớp tại hai cạnh x=0, và x=a

3 Tấm chữ nhật

fm(y) được xác định để thỏa mãn điều kiện biên trên hai cạnh y=±b/2,

và pt (2.10)

3 Tấm chữ nhật

Nghiệm của (2.10) là tổng của nghiệm tổng quát pt không vế phải

wh và nghiệm riêng của pt có vế phải wp

Nghiệm tổng quát của pt (2.10) không vế phải chọn dưới dạng:

- Các hằng số tích phân Am, Bm, Cm, Dm xác định từ điều

kiện biên trên các cạnh y=±b/2

• Nghiệm riêng của (2.10) xác định bẳng cách giả thiết hàm độ

Giải pt (3.14), ta nhận được hệ số gm(y), từ đó xác định được

nghiệm riêng wp

Cuối cùng nhận được hàm độ võng:

• Phương pháp Levy sẽ đơn giản hơn nếu sử dụng tính đối xứng

của độ võng Nếu điều kiện biên đối xứng qua trục x, thì hàm độ

võng chỉ là hàm của biến y, và ta có:

do vậy các hệ số Cm, Dm trong (3.12) bằng không, nghiệm độ võng

trở thành:

3 Tấm chữ nhật

3.3 Tấm trên nền đàn hồi

• Bài toán thực tế: móng nhà trên nền đất, mặt đường bê tông cốt

thép của đường cao tốc, đường băng sân bay trên nền đất,

• Khó khăn chính: mô tả toán học một cách chính xác mô hình nền

đàn hồi Có nhiều mô hình được đề xuất, đơn giản nhất là mô hình

nền Winkler – dựa trên giả thiết: phản lực nền q(x,y) biểu diễn bởi:

k là hệ số nền với thứ nguyên [lực/chiều dài2]

• Khi tấm đặt trên nền đàn hồi, ngoại lực theo phương thẳng đứng

bào gồm tải trọng phân bố trên bề mặt tấm p(x,y) và phản lực

q(x,y)

Phương trình vi phân độ võng của tấm trở thành:

Hoặc dưới dạng:

3 Tấm chữ nhật

4 Tấm tròn

4 Tấm tròn

4.1 Các quan hệ tronghệ toạ độ cực

 cos

x r

x

r

x

sin cos

y r

y

r

y

cos sin

r r r r

x

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

2

11

cossin

21

1sin

r r r r

y

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

2

11

cossin

21

1cos

2

11

sincos

11

cossin

2 2

y x

• Phương trình vi phân độ võng tấm trong hệ tọa độ cực:

(4.1)

(4.6)

4 Tấm tròn

• Các ứng lực

(4.2) (4.3) (4.4) (4.5) (4.6) (4.7)

4 Tấm tròn

• Thế năng biến dạng đàn hồi

(4.12)

4 Tấm tròn

4.2 Tấm tròn chịu uốn đối xứng tâm

• Khi tải trọng và liên kết của tấm tròn không phụ thuộc vào góc j,

thì độ võng, ứng suất và nội lực chỉ là hàm của r => đối xứng tâm

• Phương trình vi phân độ võng

(4.13) (4.14)

(4.15a) (4.15b)

4 Tấm tròn

Vì rằng:

Nên (4.15) trở thành:

(4.16)

Nghiệm của (4.16) là tổng của nghiệm tổng quát pt không vế phải

wh và nghiệm riêng của pt có vế phải wp

4 Tấm tròn

Các hằng số tích phân C1, C2, C3 xác định từ điều kiện biên

• Chẳng hạn tấm chịu tải p0 vuông góc phân bố đều trên bề mặt,

biên tựa đơn

4 Tấm tròn

5 Tấm trực hướng và tấm gia cường

• Trong tất cả các ví dụ đã xét, các vật liệu nghiên cứu được xem là

đẳng hướng (tính chất vật liệu tại một điểm theo mọi phương là như

nhau Vật liệu dị hướng có tính chất vật liệu phụ thuộc theo phương

Vật liệu dị hướng tổng quát nhất có ma trận các hằng số đàn hồi đối

xứng, gồm 21 hằng số độc lập Chẳng hạn: gỗ tự nhiên, gỗ dán,

composite cốt sợi, Các vật liệu này gọi là dị hướng tự nhiên Ngoài

ra tính dị hướng còn có thể được tạo ra do cấu tạo: lượn sóng, gia

cường bằng các gân,

• Vật liệu trực hướng có ba mặt phẳng đối xứng đàn hồi vuông góc

với nhau từng đôi một, lúc này các hằng số đàn hồi độ lập chỉ còn 9

5.1 Các hệ thức cơ bản

• Xét tấm chiều dày không đổi, vật liệu trực hướng, các phương

trực hướng trùng với hai phương x, y Quan hệ ứng suất – biến

dạng của vật liệu trực hướng có dạng:

(5.1)

Ex, Ey, nx, ny – mô đun đàn hồi Young và hệ số Poisson theo các phương x, y

G – mô đun đàn hồi trượt:

(5.1) có thể biểu diễn dưới dạng:

Phương trình vi phân độ võng (2.10) trở thành:

(5.6)

Biểu thức thế năng biến dạng đàn hồi:

(5.7)

Biểu thức (5.6) và (5.7) có thể áp dụng cho cả hai trường hợp trực

hướng tự nhiên và trực hướng cấu tạo của vật liệu tấm

5.2 Xác định độ cứng của tấm trực hướng cấu tạo

Để giải pt (5.6), cần phải xác định các độ cứng uốn và xoắn của tấm

trực hướng tự nhiên và trực hướng cấu tạo

đun đàn hồi E hệ số Poisson n n của vật liệu

5 Tấm trực hướng và tấm gia cường

Các độ cứng uốn và xoắn của tấm trực hướng cấu tạo được xác

định một cách gần đúng bằng phương pháp chuyển đổi tương

đương

Các độ cứng (5.5) của tấm trực hướng tương đương được xấp xỉ

bởi các biểu thức tùy thuộc vào cấu tạo của tấm:

a Tấm gia cường bằng các gân hai phía có

khoảng cách như nhau theo một phương

5 Tấm trực hướng và tấm gia cường

b Tấm gia cường bằng các gân một phía có khoảng cách như nhau

theo một phương

trong đó I là mô men quán tính của tiết diện chữ T tương ứng với

một khoảng gân quanh trục đối xứng (phần bôi đen) C là độ cứng

xoắn của một gân

E là mô đun đàn hồi của tấm phẳng, E’ là mô đun đàn hồi của gân

n là hệ số Poisson của tấm phẳng

5 Tấm trực hướng và tấm gia cường

c Tấm gia cường bằng các gân hai phía có khoảng cách như nhau

theo hai phương

c Tấm lượn sóng hình sin

với:

- Độ dài không gấp của một bước sóng

5 Tấm trực hướng và tấm gia cường

6 Lý thuyết tấm dày

• Lý thuyết tấm cổ điển Kirchhof chỉ phù hợp với tấm mỏng, khi

chiều dày tấm tăng lên thì lý thuyết này không còn thích hợp Để

khắc phục những hạn chế của lý thuyết tấm mỏng, cần thiết phải có

những điều chỉnh thích hợp trên cơ sở lý thuyết tấm Kirchhoff

• Thực nghiệm trên tấm dày cho thấy rằng tính toán theo lý thuyết

tấm mỏng cho kết quả về độ võng thấp hơn , tần số dao động riêng

và lực tới hạn ổn định cao hơn Sự khác nhau này là do ảnh hưởng

của lực cắt

Hiện nay có nhiều lý thuyết tấm đã được phát triển dùng để tính

toán các tấm dày (h/L=1/10-1/5): Levy, Reisssner, Mindlin, Reddy,

6.1 Lý thuyết Reissner

Reissner giả thiết: chuyển vị thay đổi bậc nhất tgheo chiều dày

tấm; pháp tuyến của tấm ban đầu là thẳng vuông góc với mặt

trung bình, sau biến dạng vẫn thẳng, nhưng không còn vuông góc

với mặt trung bình

6 Lý thuyết tấm dày

Góc xoay của pháp tuyến với mặt trung bình biểu thị bởi:

6 Lý thuyết tấm dày

6.2 Lý thuyết Mindlin

Mindlin giả thiết trường chuyển vị có dạng:

(6.6)

với yx(x,y), yy(x,y) là góc xoay của pháp tuyến quanh trục y, x

Các phương trình cân bằng theo chuyển vị:

(6.7)

k – hệ số hiệu chỉnh cắt

6 Lý thuyết tấm dày

6.2 Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

(6.8)

với yx(x,y), yy(x,y) là góc xoay của pháp tuyến quanh trục y, x

với fx(x,y), fy(x,y) là góc vặn xoắn của pháp tuyến quanh trục y, x

(6.9)

(6.10)

6 Lý thuyết tấm dày

7 Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn

7.1 Phương pháp sai phân hữu hạn

Là phương pháp số gần đúng để giải các phương trình vi phân

Bằng cách thay các đạo hàm trong pt vi phân bằng tỉ số các lượng

hữu hạn, nên việc giải pt vi phân được thay thế bằng việc giải các

pt đại số Như vậy ta đã thay việc tìm các ẩn số dưới dạng hàm giải

tích bằng việc tìm giá trị của chúng tại một số hữu hạn các điểm

Bản chất pp sai phân hữu hạn dựa trên:

• Chia mặt trung bình thành các lưới hình chữ nhật, hình tam

giác, hoặc hình khác tùy theo dạng hình học của tấm – gọi là lưới

sai phân hữu hạn và các điểm nút

• Phương trình vi phân trong miền xác định tấm thay thế bằng các

pt sai phân hữu hạn tại các mắt lưới bằng các biểu thức sai phân

• Điều kiện biên thể hiện qua các biểu thức sai phân tại các nút

lưới nằm trên biên

7 Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn

Đạo hàm của hàm f(x) tại điểm xi định nghĩa bởi:

Biểu thức (7.2) và (7.3) gọi là toán tử sai phân của đạo hàm bậc

nhất, tương tự với các đạo hàm bậc cao:

7 Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn

(7.5)

(7.6)

Các hệ số của toán tử sai phân đối với

hàm một biến f(x) thể hiện trên hình vẽ (b)

7 Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn

Sử dụng xấp xỉ bậc hai, đạo hàm tại điểm

bất kỳ trên biên cong có thể nội suy qua các

điểm trước và sau của lưới sai phân:

Giả sử có hàm hai biến F(x,y), trong trường hợp này lưới được

chia thành các bước sai phân Dx, Dy theo hai phương x, y

Chia lưới với:

Các đạo hàm của F(x,y) được xấp xỉ bởi các toán tử sai phân (7.3) – (7.5)

(7.7)

7 Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn

Chẳng hạn đối với nút trung tâm “k”, ta có:

(7.8)

Từ (6.8), ta tính được toán tử Laplace của hàm F:

(7.9)

Do vậy toán tử Laplace kép của hàm F:

7 Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn

BẢNG CÁC HỆ SỐ DÙNG CHO TOÁN TỬ SPHH LƯỚI VUÔNG

7 Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn

Áp dụng cho phương trình vi phân độ võng tấm (pt Sophie-Germain)

Viết các pt tương tự cho tất cả n nút lưới nằm bên trong tấm ta

nhận được n pt đại số tuyến tính chứa n ẩn số độ võng w tại các

nút, và cả một số giá trị của w tại các nút nằm trên biên của tấm, tại

những nút nằm ngoài tấm cách biên một bước sai phân

Những trị số w trên và ngoài biên xác định từ điều kiện biên

7 Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn

a Điều kiện biên khớp

Ta có:

b Điều kiện biên ngàm

7 Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn

c Biên tự do

7 Pp gần đúng và pp số giải bài toán tấm uốn

7.2 Phương pháp Ritz-Timoshenko

Là phương pháp trực tiếp để giải các bài toán biến phân - là

phương pháp gần đúng để tìm nghiệm trên cơ sở các nguyên lý

công và năng lượng

Biểu thức năng lượng biến dạng tính theo độ võng (2.5):