ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn Toán 6 Năm học 2018 2019 Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh rằng nếu là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được ở câu a là một phâ.
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Môn: Toán 6 Năm học 2018-2019
Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức
A
a) Rút gọn biểu thức
b) Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được ở câu
a là một phân số tố giản
Câu 2 (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abcsao cho abc n 2 1và
cba n
Câu 3 a (1 điểm) Tìm n để n 2 2006là một số chính phương
b (1 điểm) Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3 Hỏi n 2 2006là số nguyên tố hay hợp số
Câu 4 a) Cho , ,a b n Hãy so sánh *
a n
b n
và
a b
b) Cho
;
A B
So sánh A và B
Câu 5 Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: a a1, , ,2 a10.Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc một tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy đều chia hết cho 10
Trang 2Câu 6 (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kỳ 2 đường thẳng nào cũng
cắt nhau Không có 3 đường thẳng nào đồng quy Tính số giao điểm của chúng
ĐÁP ÁN Câu 1.
Ta có:
2
b) Gọi d là UCLN của a2 a 1;a2 a 1
Vì a2 a 1a a 1 1là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác, 2a2 a 1 a2 a 1 d
Nên d tức là 1 a2 và a 1 a2 là nguyên tố cùng nhau.a 1
Vậy biểu thức A là phân số tối giản
Câu 2.
2 2
Từ (1), (2) 99a c 4n 5 44n , mặt khác:5 99
100 n 1 999 4n 5 99 n26
Vậy abc 675
Câu 3.
a) Giả sử n 2 2006là số chính phương khi đó ta đặt
a n a n 2006(*)
Thấy ,a n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái (*) là số lẻ nên không thỏa mãn
(*)
Nếu ,a n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì a n 2,a n nên vế trái chia hết 2 cho 4 và vế phải không chia hết cho 4
Vậy không tồn tại n để n 2 2006là số chính phương
b) n là số nguyên tố nên n và không chia hết cho 3 Vậy 3 2
n chia cho 3 dư 1
do đó n22006 3 m 1 2006 3 m2007 3. m669 3
Vậy n 2 2006là hợp số
Trang 3Câu 4.
a) Ta xét 3 trường hợp
a b
Th2: 1
a
a b a m b n
b , mà
a n
b n
có phần thừa so với 1 là
a b
b n
a
b có phần thừa so với 1 là ,
a b b
vì
a b a b
b n b
a n a
b n b
Th3: 1
a
a b a n b n
b
Khi đó
a n
b n
có phần bù tới 1 là ,
a b b
vì
a b b a
b b n
nên
a n a
b n b
b) Cho
11 12
10 1
10 1
A
rõ ràng A nên theo câu a, 1
12 12
10 1 11 10 10 1
10 10
10 1 11
A
Do đó
10
10 10 1
10 10 10 10 1 10 1
Câu 5 Lập dãy số
Đặt B1a1
B a a
B a a a
Nếu tồn tại B i i 1,2,3 10 nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh
Nếu không tồn tại B inào chia hết cho 10 ta làm như sau:
Ta đem B ichia cho 10 sẽ được 10 số dư (các số dư 1,2,3, ,9 ) Theo nguyên tắc Dirichle, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau Các số B m B nchia hết cho 10
m n (đpcm)
Câu 6.
Trang 4Mỗi đường thẳng cắt 2005đường thẳng còn lại tạo nên 2005giao điểm Mà có
2006 đường thẳng nên có: 2005.2006 giao điểm Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần nên số giao điểm thực tế là:
2005.2006 : 2 2011015 giao điểm