đề thi và lời giải chi tiết
Trang 1Trường Đại học
Phương pháp tính – Thời gian: 90 phút (Không kể giao đề)
(Dành cho các lớp – Năm học 2007 – 2008)
Đề số 1 Câu 1: (3 điểm)
Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình sau với sai số không quá10 -3:
f(x) x4 2x3 x 1 0
Câu 2: (2 điểm)
Cho hàm số f(x) thoả mãn
Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x) Tính f(5)
Câu 3: (2 điểm)
Cho hàm y f x dưới dạng bảng sau:
y 12,3 11,1 7,2 4,1 6,3 8,8 9,2 10,8 13,1 Tính tích phân:
8
0
)
( dx x f I
theo công thức hình thang và công thức Simson
Câu 4: (3 điểm)
Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel
20 4
08 , 0 04 , 0
9 15 , 0 3 09 , 0
8 08 , 0 24 , 0 4
3 2 1
3 2
1
3 2
1
x x x
x x
x
x x
x
(Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi)
Trang 2Trường Đại học
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - – Năm học 2007 – 2008
Đề số 1
1
2
3
-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm x 0 ; 1
- Chính xác hoá nghiệm: f(0)=-1; f(1)=1
Bảng kết quả:
2
n
n b a f
Vậy x 0 , 867
W(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)
2 4
2 1
3
3 8
4 4 2 1 3
x x
x x x x x x
L
x 4 x2 x 1
f(5) =(5-4)(25-5-1) =1.19 =19
Tính tích phân I theo công thức hình thang:
12 , 3 2 11 , 1 2 7 , 2 2 4 , 1 2 6 , 3 2 8 , 8 2 9 , 2 2 10 , 8 13 , 1
2
1
) ( 8
0
f x dx
I
2
,
70
Tính tích phân I theo công thức công thức Simson
8
0
)
( dx x f
I
8
0
)
( dx x f
I
0,5 0,5 2,0
0,5 1,0
0,5 1,0
1,0
Trang 34
12 , 3 4 11 , 1 2 7 , 2 4 4 , 1 2 6 , 3 4 8 , 8 2 9 , 2 4 10 , 8 13 , 1
3
1
0
,
70
Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra:
5 02 , 0 01 , 0
3 05 , 0 03 , 0
2 02 , 0 06 , 0
2 1
3
3 1
2
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
Ta có: x = Bx + g, với:
0 0,02 01 , 0
0,05 0 03 , 0
0,02 0,06 0
5 3
2
Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
08 , 0 02 , 0 06 , 0 0 3
1
j
j
3
1
j j
03 , 0 0 02 , 0 01 , 0 3
1
j
j
1 08 , 0 } 03 , 0
; 08 , 0
; 08 , 0 3
1
Max b
Max
j
ij i
thoả mãn điều kiện hội tụ
Aùp dụng phương pháp Gauss - Siedel
Chọn x0 0 ; 0 ; 0
ta có bảng kết quả sau:
i
x
1
x
2
x
3
x
1,9094 3,1944 5,0446 4
x
1,90923 3,19495 5,04485 Vậy nghiệm của hệ phương trình:
x1=1,90923; x2=3,19495; x3=5,04485
0,5
0,5
0,5
1,0
Trang 4Trường Đại học THI HẾT MÔN
Phương pháp tính – Thời gian: 90 phút (Không kể giao đề)
(Dành cho các – Năm học 2007 – 2008)
Đề số 2 Câu 1: (3 điểm)
Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình sau với sai số không quá -3
10 :
f(x) x3 x 1 0
Câu 2: (2 điểm)
Cho hàm số f(x) thoả mãn
Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x) Tính f(5)
Câu 3: (2 điểm)
Cho hàm y f x dưới dạng bảng sau:
x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
y 1
1 , 1
1
2 , 1
1 3 , 1
1 4 , 1
1 5 , 1
1 6 , 1
1 7 , 1
1 8 , 1
1 9 , 1
1
2 1
Tính tích phân:
1
0
)
( dx x f
theo công thức hình thang và công thức Simson
Câu 4: (3 điểm)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel
36 10
2 2
25 10
2
15 10
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x
x
x x x
x x x
(Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi)
Trang 5Trường Đại học
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - – Năm học 2007 – 2008
Đề số 2
1
2
3
-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm x 1 ; 2
- Chính xác hoá nghiệm: f(1)=-1<0; f(2)=5>0
Bảng kết quả:
2
n
n b a f
Vậy x 1 , 325
W(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)
2 4
4 1
3
6 8
8 4 2 1 3
x x
x x x x x x
L
2x 4 x2 x 1
f(5) =2(5-4)(25-5-1) =2.1.19 =38
Tính tích phân I theo công thức hình thang:
2
1 9 , 1
1 8 , 1
1 7 , 1
1 6 , 1
1 5 , 1
1 4 , 1
1 3 , 1
1 2 , 1
1 1 , 1
1 2 1 2
1
,
0
) ( 1
0
dx x f
I
694
,
Tính tích phân I theo công thức công thức Simson
1
0
)
( dx x f I
0,5 0,5 2,0
0,5 1,0
0,5 1,0
1,0
Trang 64
9 , 1
1 7 , 1
1 5 , 1
1 3 , 1
1 1 , 1
1 4 8 , 1
1 6 , 1
1 4 , 1
1 2 , 1
1 2 2
1 1 3
1
,
0
693
,
0
Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra:
6 , 3 2 , 0 2 , 0
5 , 2 1 , 0 2 , 0
5 , 1 1 , 0 1 , 0
2 1
3
3 1
2
3 2
1
x x
x
x x x
x x
x
Ta có: x = Bx + g, với:
0 0,2 2 , 0
0,1 0 2 , 0
0,1 0,1 0
6 , 3
5 , 2
5 , 1
Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
2 , 0 1 , 0 1 , 0 0 3
1
j
j
3
1
j j
4 , 0 0 2 , 0 2 , 0 3
1
j
j
1 4 , 0 } , 0
; 3 , 0
; 2 , 0 3
1
Max b
Max
j
ij i
thoả mãn điều kiện hội tụ
Aùp dụng phương pháp Gauss - Siedel
Chọn x0 0 ; 0 ; 0
ta có bảng kết quả sau:
i
x
1
x
2
x
3
x
1,036 2,042 3,054 4
x
0,990 1,987 2,984 5
x
1,003 2,004 3,005 6
x
0,999 1,999 2,999 7
x
1,000 2,000 3,000 8
x
1,000 2,000 3,000 Vậy nghiệm của hệ phương trình:
x1=1,000; x2=2,000; x3=3,000
0,5
0,5
0,5
1,0
