đề thi và lời giải chi tiết môn phương pháp tính
Trang 1TRƯỜNG ĐH ĐỀ THI HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2008-2009
Môn thi: Phương pháp tính (Lần: 1) Dùng cho các lớp: Thời gian: 90 phút (Không kể phát đề)
Câu 1: (2 điểm)
Bằng phương pháp dây cung tìm nghiệm dương gần đúng phương trình:
0 4 x 2 x f(x) 4 biết khoảng cách ly nghiệm là: (1; 1,7), với sai số không quá -2
10 Câu 2: (2 điểm)
Cho hàm số f(x) thoả mãn:
Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x); tính f(4)
Câu 3: (2 điểm)
Cho bảng giá trị hàm
Tìm hàm xấp xỉ bằng phương pháp bình phương bé nhất với quan hệ giữa y và
cx bx a f(x)
y
Câu 4: (2 điểm)
Cho hàmyf x dưới dạng bảng sau:
Tính tích phân:
1
0
)
( dx x f
theo công thức hình thang và công thức Simson
Câu 5: (2 điểm)
Giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel
18 x x x
14 x x x
10 x x x 5
3 2 1
3 2 1
3 2 1
Trang 2
(Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi)
TRƯỜNG ĐH ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - Lần 1, .- Năm học 2008 – 2009
1
2
3
-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm dương x 11,7
f(1) = - 5 < 0; f(1,7) = 0,952 > 0
- Chính xác hoá nghiệm:
Bảng kết quả:
i i
i i i i i
a f b f
a f a b a x
1 , 7 f 1 1,588 f
1 f 1 7 , 1 1
1 , 7 f1 , 588 1,639
f
588 , 1 f 588 , 1 7 , 1 588 , 1
1 , 7 f1 , 639 1,642
f
639 , 1 f 639 , 1 7 , 1 639 , 1
1 , 7 f1 , 642 1,643
f
642 , 1 f 642 , 1 7 , 1 642 , 1
Vậy nghiệm cần tìm có độ chính xác 10-2 là: x 1,64
W(x)=x(x-2)(x-3)(x-5)
5 x 30
5 3
x ) 6 (
2 2
x 6
3 30
x
1 5 x 3 x 2 x x x
L3
15
62 x 6
13 x 10
f(4)
15
31 1 4 15
62 4 6
13 4 10
Tính tích phân I theo công thức hình thang:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
0
y y y y y y y y y y 2 y 2
h dx ) x (
1 2 0 , 99 0 , 962 0 , 917 0 , 862 0 , 8 0 , 735 0 , 671 0 , 609 0 , 555 0 , 5
2
1
,
0
785
,
0
Tính tích phân I theo công thức công thức Simson
1
0
)
( dx x f I
y0 y10 2 y2 y4 y6 y8 4 y1 y3 y5 y7 y9
3
h
1 0 , 5 2 0 , 962 0 , 862 0 , 735 0 , 609 4 0 , 99 0 , 917 0 , 8 0 , 671 0 , 555
3
1
,
0
0,5
1,5
0,5 1,0
0,5
1,0
1,0
Trang 34
5
786
,
0
Lập bảng số:
k xk (xk)2 (xk)3 (xk)4 yk xk yk (xk)2 yk
Từ đó ta có hệ phương trình sau:
4 , 6683 87096
840b 7 28a 7
6 , 635 840c 7 b 728 0a 7
7 , 62 28c 7 0b 7 a 7
Giải hệ phương trình trên ta thu được:
a = 2,12; b = 1,10 c = - 0,04
Vậy hàm bậc hai cần tìm có dạng:
f x 2,121,10x0,04x2
Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra:
6 , 3 x
2 , 0 x , 0 x
8 , 2 x 2 , 0 x
2 , 0 x
0 , 2 x , 0 x , 0 x
2 1
3
3 1
2
3 2
1
Ta có: x = Bx + g, với:
0 0,2 2 , 0
0,2 0 2 , 0
0,2 0,2 0
6 , 3
8 , 2
0 , 2
Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
4 , 0 2 , 0 2 , 0 0 b
3
1
j
j
; b 0,2 0 0,2 0,4
3
1 j j
; 4
, 0 0 2 , 0 2 , 0 b
3
1
j
j
;Max b Max 0,4; 0,4; 0, } 0,4 1
3
1 j ij
(thoả mãn điều kiện hội tu)ï Aùp dụng phương pháp Gauss - Siedel
Chọn x0 0;0;0
ta có bảng kết quả sau:
i
x
1
x
2
x
3
x
1,136 2,128 3,120
4
x
0,950 1,949 2,947
1,0
1,0
0,5
0,5
1,0
Trang 4Vậy nghiệm của hệ phương trình:
x1 = 0,950; x2 =1,949; x3 = 2,947
TRƯỜNG ĐH ĐỀ THI HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2008-2009
Môn thi: Phương pháp tính (Lần: 2) Dùng cho các lớp: Thời gian: 90 phút (Không kể phát đề)
Câu 1: (2 điểm)
Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình:
0 7 x x f(x) 3 biết khoảng cách ly nghiệm là: (1; 2), với sai số không quá10-3
Câu 2: (2 điểm)
Cho hàm số f(x) thoả mãn
Tìm hàm nội suy Lagrăng của f(x), tính f(5)
Câu 3: (2 điểm)
Cho bảng giá trị hàm
Tìm hàm xấp xỉ bằng phương pháp bình phương bé nhất với quan hệ giữa y và
x là: yf(x)abx
Câu 4: (2 điểm)
Cho hàm yf x dưới dạng bảng sau:
Tính tích phân:
8 , 0
0
dx ) x ( I
theo công thức hình thang và công thức Simson
Câu 5: (2 điểm)
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp Gauss –Siedel:
20 x 10 x 2 x 2
27 x x 10 x 2
33 x x x 10
3 2
1
3 2
1
3 2
1
Trang 5
(Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi)
TRƯỜNG ĐH ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Môn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH - Lần 2, Lớp - Năm học 2008-2009
1
2
3
-Tách nghiệm: Phương trình có một nghiệm x 1;2
f(1) = - 4 < 0; f(2) = 5 > 0
- Chính xác hoá nghiệm:
Bảng kết quả:
2
n
n b a f
0 1,0 2,0 f(1,5) =3,375+3-7= - 0,625 < 0
1 1,5 2,0 f(1,75) = 5,359+3,5-7=1,859 > 0
2 1,5 1,75 f(1,625)=4,291+3,25-7=0,541> 0
3 1,5 1,625 f(1,563)=3,818+4,689-7=- 0,056 < 0
4 1,563 1,625 f(1,594)= 4,050+3,188-7=0,238> 0
5 1,563 1,594 f(1,579)= 3,937+3,158-7=0,095> 0
6 1,563 1,579 f(1,571)=3,877+3,142-7=0,019> 0
7 1,563 1,571 f(1,567)=3,848+3,134-7=-0,018<0
8 1,567 1,571 f(1,569)=3,863+3,138-7=0,001
Vậy nghiệm cần tìm có độ chính xác 10-3 là: x 1,569
W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
4 x 6
5 3
x 2
4 2
x 2
3 6
1 x
2 4
x 3 x 2 x 1 x x
3
L
x 1
f(5) = 5+1 = 6
Lập bảng số:
Từ đó ta có hệ phương trình sau:
0,5
1,5
0,5
1,0 0,5
1,0
Trang 6
4
5
897 , 34 b 4503 161a
534 , 1 161b a 6
Giải hệ phương trình trên ta thu được:
a = 1,176; b = - 0,034
Vậy hàm bậc nhất cần tìm có dạng: f x 1,1760,034x
Tính tích phân I theo công thức hình thang:
0 1 2 3 4
8
,
0
0
y y y y 2 y 2
h dx ) x (
1 2 0 , 9801 0 , 9211 0 , 8253 0 , 6967 2
2
,
0
Tính tích phân I theo công thức công thức Simson
8
,
0
0
dx ) x (
I y0 y4 2 y2 4y1 y3
3
h
1 0,6967 20,9211 4 0,9801 0,8253
3
2
,
0
Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra:
0 , 2 x
2 , 0 x , 0 x
7 , 2 x , 0 x
, 0 x
3 , 3 x , 0 x , 0 x
2 1
3
3 1
2
3 2
1
Ta có: x = Bx + g, với:
0 0,2 2 , 0
0,1 0 2 , 0
0,1 0,1 0
0 , 2
7 , 2
3 , 3
Để kiểm tra điều kiện hội tụ ta tính:
2 , 0 1 , 0 1 , 0 0
3
1
j
j
3
1
j j
4 , 0 0 2 , 0 2 , 0
3
1
j
j
1 4 , 0 } , 0
; 3 , 0
; 2 , 0
3
1
Max b
Max
j
ij i
thoả mãn điều kiện hội tụ
Aùp dụng phương pháp Gauss - Siedel
Chọn x0 0;0;0
ta có bảng kết quả sau:
i
x
1
x
2
x
3
x
3,036 2,054 1,066
4
x
2,998 1,986 0,982
5
x
3,003 2,002 1,003
1,0
1,0
1,0
0,5
0,5
1,0
Trang 7x
7
x
3,000 2,000 1,000
8
x
3,000 2,000 1,000 Vậy nghiệm của hệ phương trình:
x1=3,000; x2=2,000; x3=1,000
