Đây là tổng hợp các bài tập từ dễ đến khó của 2 chuyên đề elip và hypebol. Mong tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.
Trang 1BÀI TẬP ELIP DẠNG 1:Từ phương trình chính tắc của elip đã cho ta đi tính tốn một số yếu tố khác
của elip
BÀI 1: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : x2 + 4y2 = 4
a/ Tìm tọa độ các đỉnh , tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của elip
b/ Đường thẳng đi qua tiêu điểm F2 của elip và song song với trục 0y cắt elip tại 2 điểm M,N Tính độ dài đoạn thẳng MN
BÀI 2: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 1
4 25
= + y
x
a/ Tìm tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của elip
b/ Tìm các giá trị của b để đường thẳng y = x + b cĩ điểm chung với elip trên
BÀI 3: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 1
24 49
2 2
= + y
x
a/ Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) sao cho : MF1 = 12
b/ Tìm tọa độ điểm N thuộc (E) sao cho : NF2 = 2NF1
BÀI 4: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 1
2 6
2 2
= + y
x
a/ Xác định độ dài các trục và tiêu cự
b/ Tìm những điểm M thuộc (E) sao cho nĩ nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một gĩc vuơng
BÀI 5: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 1
9 14
2 2
= + y
x
a/ Tìm độ dài tiêu cự và tính tâm sai của (E)
b/ Khi M chạy trên (E) Tìm M để Khoảng cách MF1 cĩ giá trị nhỏ nhất và Gía trị lớn nhất bằng bao nhiêu ?
BÀI 6: : Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 9 x2 + 4 y2 = 36
Tìm điểm M thuộc (E) sao cho: MF1 = 3MF2
BÀI 7: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : 1
16 25
2 2
= + y
x
, tiêu điểm F1,F2
Cho A,B là hai điểm thuộc (E) sao cho AF1 + BF2 = 8 Tính AF2+ BF1
DẠNG 2 Lập phương trình chính tắc của elip khi biết một số yếu tố của nĩ
1.Lập phương trình chính tắc của (E)
a đi qua điểm M (2;
3
5 ) và 1 tiêu điểm F1 ( -2; 0)
b elip đi qua M và N với M ( 2; - 2) và N ( - 6; 1)
c có độ dài trục lớn bằng 4 2, các đỉnh trên trục nhỏ và tiêu điểm của elip cùng nằm
trên một đường tròn
d có tiêu điểm F ( − 10;0), ( 10;0) F và độ dài trục lớn bằng2 18
Trang 2ĐÁP ÁN
BÀI 1:
a/ (0,75) 1
1 4
2 2
= + y
x
( 0,25) Đỉnh A1 ( -2; 0 ) và A2 ( 2; 0) , B1(0; 1) , B2 (0; 1) (0,25)
Tiêu điểm F1 (- 3; 0 ) , F2 ( 3; 0) (0,25)
Tâm sai e =
2 3
b/ (0,75) MN = 2MF2
M, N có hoành độ x = 3 (0,25)
MF2 = 2 - 3
2
2
1 (0,25)
MN = 1 (0,25)
BÀI 2:
a/ (1 đ) a2 =
4
25 , b2 = 4 ⇒ c2 = a2 – b2 =
4
9 ⇒c =
2
3 (0,5)
F1 ( ; 0
2
3
−
) , F2 (
2
3
; 0 ) , e =
5
3
=
a
c
(0,5) b/ (1 đ ) Phương trình hoành độ giao điểm : 41x2 + 50bx + 25b2 – 100= 0
Đường thẳng có điểm chung với elip khi và chỉ khi
2
41 2
41 4
41 0
) 100 25
( 41
)
25
=
BÀI 3:
a/ ( 1 điểm ) : a = 7 , b = 2 6 ⇒c = 5
MF1 = 7 +
7 5
xM.MF2 = 12 ⇔xM = 7 (0,5)
Trang 3yM = 49 72
7
6
2 − = 0 và yM = - 49 72
7
6
2 − = 0⇒ M ( 7; 0 ) trùngA1(0;5 ) b/ (1 đ ) M (x0 ; y0) MF1 = 7 + 0 2 0
7
5 7 ,
7
5
x MF
NF2 = 2NF1
) 7
5 7 ( 2 7
5
⇔
(0,5) giải ra : x0 =
15
66 8 15
49
0 =
⇒
−
y và y0 =
-15
66 8
vậy : M1 (
15
66 8
; 15
49
2 (
15
66 8
; 15
− ) (0,5)
BÀI 4 :
a/ 2a = 2 6 ; 2b = 2 2 ; 2c = 4 (0,5) b/ M(x; y) ∈(E) : 2x2 + 6y2 = 12
M nhìn F1F2 dưới 1 góc vuông nên M thuộc đường tròn Tâm O bán kính R= 2 (C) : x2+ y2 = 4 (0,5)
tọa độ điểm M thỏa mãn hệ pt :
= +
= +
12 6
2
4
2 2
2 2
y x
y x
giải ra
±
=
±
=
1
3
y x
kl : 4 điểm M (0,5)
BÀI 5: a/ ( 0,5 đ) 2c = 2 5 tâm sai e =
14
5 2
b/ ( 1 đ ) MF1 = a + x
a
c
, M( x;y ) thuộc elip nên : -a ≤ x ≤ a (0,5) suy ra : a - c ≤ MF1 ≤ a + c
vậy : 14 − 5 ≤ MF1 ≤ 14 + 5
KL : (0,5)
BÀI 6:
a/ (0,5)
5
9 : , 5
9
1 = − ∆ =
3
5 3 ,
3
5
MF1 = 3MF2 giải ra : x =
5 2 9 (0,5)
Trang 4suy ra : y =
5 3
109
± .KL: có 2 điểm M1, M2 (0.5)
BÀI 7:
a/ (1 đ )Tính ra m = 16/5 ( do m > 0 ) (0,5) dùng công thức viết pttt tại điểm thuộc elip viết được :
3x + 5y - 25 = 0 (0,5) b/ có : AF1 + AF2 = 10 Và BF1 + BF2 = 10
giải ra : AF2 + BF1 = 12 (0,5)
BÀI 8 :
a/ (1 đ )
giả sử x > 0
ptct có dạng : 2 1
2 2
2
= +
b
y a
x
, a > b > 0
MF1 = a + x
a
c
và MF2 = a - x
a c
MF1 = 15 và MF2 = 9 suy ra : a = 12 (0,5) khoảng cách 2 đường chuẩn bằng 36 suy ra : c = 8
b2 = 144 – 64 = 80
KL : (0,5) b/ (1 đ)
dùng 12 - 9
12
8 x = giải tìm x sau đó tìm y , suy ra 2 điểm M1 , M2 (0,5) Viết pttt tại M1 ,M2 (0,5)
BÀI 9:
a/ (1 đ )
Dạng ptct elip theo đề :
=
−
= +
4
1 25 4
2 2
2 2
b a
b
a (0,5)
giải ra : a2 = 9 , b2 = 5 KL : (0,5) b/ (1 đ )
gọi d qua M nhận →n = ( B A ; ) làm véc tơ pháp tuyến , A2 + B2 ≠ 0
d: Ax + By - 4A = 0
d tiếp xúc elip ⇔ 9A2 + 5B2 = 16A2 ⇔ 7A2 -5B2 = 0 (0,5)
Lí luận giải ra A = 5 suy ra : B = ± 7
KL : 2 PTTT (0,5)
Trang 5BÀI 10:
a/ (1 đ) dạng ptct M,N thuộc elip nên :
=
+
=
+
1
1
6
1
2
4
2
2
2
2
b
a
b
a
(0,5) giải ra : a2 = 8 và b2 = 4 KL ptct (0,5)
b/ (0,5) Tính c = 2
khoảng cách 2 đường chuẩn bằng : 8 (0,5)
BÀI 11:
Tính được a = 5 , c = 1 suy ra : b2 = 4 (0,5) ptct :
(0,5)
pt 2 đường chuẩn : x = ± 5 (0,5)
BÀI 12 :
a/ (1 đ ) dạng ptct Theo đề ta có :
=
+
=
1
4
5
10
2
2
2
2
b
a
c
a
(0,5) giải ra : a2 = 15 , b2 = 6 KL ptct (0,5)
b/ ( 1 đ)
d’ song song với d có pt : x + y + C = 0 (0,5) d’ tx với elip ⇔ 15 + 6 = C2 suy ra C = ± 21
KL : x + y ± 21 = 0 (0,5)
BÀI 13:
a/ (1 đ ) Tìm x =
2
3
± (0.5)
pttt tại M1 : 1 0
4
2 2
pttt tại M2 : 1 0
4
2 2
3 x + y + = (0,5) b/ (1 đ) d : Ax + By -3A -5B = 0 (0,5)
d tiếp xúc ( E) ⇔ 9A2 + 4B2 = ( 3A + 5B )2
Trang 6⇔ B = 0 ; B =
-7
10 A giải ra có 2 tt : x – 3 = 0 ; 7x – 10y +15 = 0 (0,5)
BÀI 14:
a/ (0,5 đ ) đỉnh , tiêu điểm đúng (0,5) b/ (1 đ ) d’: x + 3y + C = 0 (0,5) d’ tiếp xúc (E) ⇔ 9 +36 = C2
giải ra có 2 tt : x + 3y ± 3 5 = 0 (0,5)
BÀI 15: Dạng ptct
c = 15 a2 - b2 = 15 (1) (0,5)
d tiếp xúc (E) ⇔ a2 + b2 =25 (2) (0,5) (1) và (2) suy ra : a2 = 20 b2 = 5
KL: (0,5)
BÀI 16: Dạng ptct :
(dt) tiếp xúc (E) ⇔ 9cos2t.a2 +16sin2t.b2 = 5 + cos2t (0,5)
⇔ 3cos2t(a2 – 2 ) + 4sin2t(4b2 - 1 ) = 0 với mọi t
⇔ a2 = 2 và b2 = ¼ (0,5) KL:
c2 = 2 - ¼
2
7
=
⇒ c
kl : F1,, F2 (0,5)
BÀI 17:
a/ Chứng tỏ M thuộc (E)
PTTT tại M : 6x + 8y - 48 = 0 (0,5) b/ (1 đ)
tìm A(8;0) B(0;6) (0,5)
S = ½ 0A.0B = 24 (đvdt ) (0,5)
BÀI 18:
Gọi T,T’ tiếp điểm của elip kẻ từ B,C ( Vẽ hình ) (0,5)
MB = MT + TB = MT + AB
MC = CT’ - T’M = CA - MT’ (0,5) suy ra : MB + MC = AB + AC ( hằng số )
KL: Tập hợp điểm M là elip có tiêu điểm B,C và đỉnh A (0,5)
BÀI 19:
M(x;y) thuộc (E) và MP vuông góc A1A2
Tam giác A1PH đồng dạng với tam giác MPA2:
MP
P A PA
2
= (0,5)
PH2.PM2 = PA1.PA2 ⇔yH2.y2 = ( 9 – x2 )2
Trang 7mà y2 =
9
4
( 9 – x2)
yH2
9
4
(9 – xH2 ) = (9 – xH2)2 ⇔ 1
4
81 9
2 2
= + H
x
(1) (0,5)
Vậy tập hợp điểm H là đường elip có pt (1) (0,5)
BÀI 20:
a/ (1 đ)
A1N : nx -4y + 2n = 0
A2M: mx + 4y -2m = 0 (0,5) Tìm giao điểm I(
n m
mn n
m
n m
+ +
− ) ; (
2
) (0,5) b/ (1 đ )
MN: (n- m )x – 4y + 2(m + n ) = 0
MN tiếp xúc (E) ⇔ mn = 1 (0,5)
Tọa độ điểm I:
+
= +
−
=
n m
mn y
n m
n m
khử m,n giữa x,y ta có:
1
4
4
2
2
= + y
x
.KL (0,5)
