chuyen de 14 gtln gtnn

Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam oAN Q.. Bài 14: Viết số 72 thành tổng của hai số mà BCNN của chúng có giá trị lớn nhất.. Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho ƯCLN của chúng đạt giá trị

Trang 1

Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam

oAN Cam

NANG CAO PHAT TRIEN & BOI DUONG HSG THEO CHUYEN DE

MON TOAN LOP 6

(Liên tục khai giảng các khóa học bồi dưỡng Toán trực tuyến khối 6, 7, 8, 9 dành cho các em HS trên toàn quốc)

CHUYEN DE 14: GIA TRI LON NHAT - GIA TRI NHO NHAT CUA BIEU

THUC (MAX - MIN)

$% $% Giáo viên giảng dạy: Thây Thích

Tel: 0919.281.916 (Zalo) Email: doanthich()gmail com Website: www.toanig.com — www.toanlop6.com

$% $%

>, $%

LÝ THUYẾT Các em cần chú ý một số vẫn đề như sau:

e B=(ax + b}” +m >m với mọi x

e B= -(ax + b)” +m Sm voi moi x

BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức A =————— + 5 (x—1)2020+2

Bài 3: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức A =——Š (x-3)2+5

Bài 4: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức A = “6912337 1—(2x+10)2

Bài 5: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức A =——Š (x+1)2+2

Bài 6: Tìm ŒTLN hoặc ŒNN của biêu thức A =————— (x—2)?+11

Tuyén tap cac bai toan 6n thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 đề thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyén [i

tap 16 chuyén dé boi duG@ng HSG Toan 7 | Thay Thich — 0919.281.916 (Zalo)

Trang 2

oAN Q com

~——= dat giá trị lớn nhất

Bài 8: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A =

Bài 9: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = — dat gia tri lon nhat

Bài 10: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = — đạt giá trị nhỏ nhất

2x+4 x+1

Bài 11: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 12: Tìm các số tự nhiên a và b nhỏ nhất khác nhau sao cho a7 = bể

Bài 13: Tìm sô nguyên dương n nhỏ nhất sao cho ta có cách thêm n chữ sô vào sau sô đó đê

được sô chia hêt cho 39

Bài 14: Viết số 72 thành tổng của hai số mà BCNN của chúng có giá trị lớn nhất

Bài 15: Cho dãy số tự nhiên 1, 2, 3, 4, , 50

a Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho ƯCLN của chúng đạt giá trị lớn nhất

b Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho BCNN của chúng đạt giá trị lớn nhất

Bài 16: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 15, ta được: A = 1234 1415

Hãy xóa đi 15 chữ số của số A để các chữ số còn lại (vẫn giữ nguyên thứ tự như trước)

tạo thành:

a Số lớn nhất

b Số nhỏ nhất

Bài 17: Tìm các phân sô có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của phân sô đó với nghịch

đảo của nó có giá trị nhỏ nhật

Bài 18: Tổng của bốn số nguyên dương bằng 402 ƯCLN của chúng có giá trị lớn nhất là

bao nhiêu?

Bài 19: Dùng mười chữ số khác nhau, hãy viết số chia hết cho 8 có mười chữ số sao cho số

đó có giá trị:

a Lớn nhất

b Nhỏ nhất

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên l2

tập 16 chuyên đê bôi dưỡng HSG Toán 7 | Thầy Thích ~ 0919.281.916 (Zalo)

Trang 3

n+8 7’ nr+9 ” n+10 ”””” n+36 ” n+37 `

Tìm sô tự nhiên n nhỏ nhật đề các phân sô trên tôi giản

Bài 21: Cho các số tự nhiên x và y thỏa mãn 1 < y< x < 30

a) Tìm giá trị lớn nhât của phân sô =

b) Tìm giá trị lớn nhất của phân sé "

12

Bài 22: Tìm phân SỐ - “ lớn nhất sao cho khi chia mỗi phân số 3g” = 51° cho = =, ta đều được

các số tự nhiên

201

Bài 23: Tìm số nguyên n để phân số ———” “ có giá trị nhỏ nhất

Bài 24: Tìm sô tự nhiên có hai chữ sô sao cho tỉ sô của sô đó và tông các chữ sô của nó là:

a) Có giá trị nhỏ nhất

b) Có giá trị lớn nhất

6n+5

Bai 25: Cho P=— ín EN)

a) Chứng minh rin P là phân số tối giản

b) Tìm n để P đạt GTLN

Bài 26: Tìm GTNN của P biết: P = (x - 2020)? + (y + 201992? + 2020

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên [i

Trang 4

oAN Cam

CHUYEN DE 14: GIA TRI LON NHAT - GIA TRI NHO NHAT CUA BIEU

THUC (MAX - MIN)

o Giáo viên giảng dạy: Thây Thích 1el: 0919.281.916 (Zalo)

Email: doanthich@gmail.com Website: www.toanig.com

>, %

>, $%

7 s*

HUONG DAN BAI TẬP VẬN DỤNG

1

G-1202012 + 5 Bài 1: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức A =

Giải:

Ta có: (x— 1)? >0

=>(x-1)2%0+2>0+2

~~ Gena 202042 HS S5+5=5

=>A<!

2

“hyde £“,yx l1

=> A đạt giá trị lớn nhât la: >

Dấu “=” xảy ra khi va chỉ khi (x - 1}'2=0=>x—I=0=>x= 1

Vay, voi x = 1 thi A dat giá trị lớn nhất là: —

Bài 2: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức A = (3+x)2022+6

GIải:

_ (3+x)2922+7 _ (3+x)2922+6+1 _ 4

Taco: A (34x)202246 (34x)202246 1+ ham

5: 2022 >6= 1 <1

Ta có: G +x)" +62 0=> (3-4) 202246 — 6

1 1

Tuyén tap cac bai toan 6n thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 đề thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyén

Trang 5

oAN Q com

=>AS

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: (3 + x)'?= 0 => 3+x=0 =>x= -3

Vậy, với x = -3 thì A đạt giá trị lớn nhất là: =

Giai:

323 (x-3)24+5 — 5

5

=> A dat giá trị lớn nhất là =

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x - 3)*=0 =>x—3=0=>x=3

Vậy, với x = 3 thì A đạt giá trị lớn nhất là =

Bài 4: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức A = “6912337 1—(2x+10)2

Giải:

;,A _ -(10†2x)2+7 _ -(10+2x)”†1+6 _—_ 6

Taco: A 1-(2x+1102 1-(2x+110)2 _ 1—(2x+10)2

Ta có: 1— (2x + 10) < 1

1

1-(2x+10)2 ~~

6

1-(2x+10)2 ~~

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 đề thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyén J

Trang 6

oAN Q com

=>A<T7

=> A đạt giá trị lớn nhất là: 7

Dau “=” xảy ra khi và chỉ khi (2x + 10)? = 0 => 2x + 10 =0

=>x=-5,

Vay, voi x = -5 thi A đạt giá trị lớn nhất là: 7

Bài 5: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức A =——Š (x+1)2+2

GIải:

Ta có: (x+ I#>0

=> (x+l#+2>2

(x+1)2+2 — 2

=5 > =5

(x+1)2+2 — 2

=> Á 8

2

=> A dat giá trị nhỏ nhất là —

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x + l#=0=>x+1=0=>x=-I

Vậy, với x = -1 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là —

(2-x)2—3

Bài 6: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức A ==———— (x—2)?+11

Giải:

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên

Trang 7

WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916

(2-x)?-3 _ (2-x)2+11-14 _—_ —14

Ta có: A= 1+

Ta có: (x-2)+ 11 > II

1 1

(x-2)?+11— 11

14 14

— < —

(x-2)24+11 — 11

————- > —

(x—-2)?+11 11

—14 —14

11

=> A dat giá trị nhỏ nhất la =

Dau “=” xay ra khi va chi khi2—x =0 => x =2

Vậy, với x = 2 thì A dat gid trị nhỏ nhất là —

Bài 7: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức A =

Giải:

Ta có: A (x+1)2+2 - (x+1)2+2

Ta có: (x+ 1+2>2

1 1

7 7

(x+1)2+2 2

(x+1)2+2 sit;

> A dat giá trị lớn nhất là =

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ (x + 1)*=0 =>x+1=0=>x=-I

(x-2)2411 (x-2)2+11 _ (x—2)2+11

(x+1)2+9

(x+1)2+2

ToAN TOD scot

tap 16 chuyén dé béi duéng HSG Toan 7 | Thay Thich — 0919.281.916 (Zalo)

Tuyển tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyển

Trang 8

KL: Voi x =-1 thi A dat giá trị lớn nhất là: =

~——= dat giá trị lớn nhất

Bài 8: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A =

GIải:

Taco: A= 14-2x _ 2.(4-x)+6 =2+ _ỐS

4-x 4-Xx 4-x

A đạt giá trị lớn nhất thi ~ dat giá trị lớn nhất

+) Nếu 4 -x<0=>—< 0=>A<2

+) Nếu 4~x>0=>-— >0

Đề —— lớn nhất => (4 - x) là số nguyên dương nhỏ nhất

=>4-x=l

=>x=4-1=3

=> Giá trị lớn nhất của A là: 2 + 6 = 8

Vậy, với x = 3 thì A đạt giá trị lớn nhất bằng 8

Bài 9: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = — đạt giá trị lớn nhất

Giải:

_ 2-Œ-5) _ _2

Ta có: A=—— = ——_— Ì

A đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi — dat giá trị lớn nhất

=> (x - 5) là số nguyên dương nhỏ nhất

=>x-5=]

=x=6

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyền tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyên

Trang 9

=> Giá trị lớn nhất của A là: 2— 1 = 1

Vậy, với x = 6 thi A đạt giá trị lớn nhất là: 1

Bài 10: Tìm x thuộc sô nguyên sao cho biêu thức A = Ta đạt giá trị nhỏ nhật

Giải:

Ta có: A= = =11+——

THỊ: Với x + 3 >0:

A đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi - đạt giá trị lớn nhất

=> (x +3) là số nguyên dương nhỏ nhất

=>x+3= Í

=>x=1-3

=> KS -2

=> Giá trị nhỏ nhất của A là: 1 #= =l- 16 = -15

TH2: Với x + 3 <0 => >0 => A > 1 (Loại)

Vậy, với x = -2 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là: -15

Bài 11: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = — đạt giá trị nhỏ nhất

GIải:

FT gỗ: Ai 2x+4 _ 2(x+1)+2 =2+ —2_

x+1 x+1 x+1

Dé A đạt giá trị nhỏ nhất thì —— đạt giá trị nhỏ nhất

=> (x + 1) là số nguyên âm lớn nhất

Tuyển tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyển a

tap 16 chuyén dé béi duéng HSG Toan 7 | Thay Thich — 0919.281.916 (Zalo)

Trang 10

oAN Q com

=>x+1=-l

=>x= -2

=> A dat giá trị nhỏ nhất 1a: 2 + (-1) = 1

Vậy, với x = -2 thi A đạt giá trị nhỏ nhất là 1

Bài 12: Tìm các số tự nhiên a và b nhỏ nhất khác nhau sao cho a7 = bể

Giải:

Ta có : a” = bề (1) => b= = (4)

a

Do b> 1 nén=> 1, do dé k > 2 (2)

Thay a = b.k vào (1):

b’k’ = b8 => k’ = b (3)

Từ (2) và (3) : b> 27

Giá trị nhỏ nhất của b là 2” Khi đó k = 2; a= b.k= 27.2 = 28

Đáp số a = 2Ÿ, b= 27

Bài 13: Tìm sô nguyên dương n nhỏ nhất sao cho ta có cách thêm n chữ sô vào sau sô đó đê

được sô chia hêt cho 39

Giải:

Xétn = 1 Không có cách nào thêm một chữ sô vào đăng sau chữ sô 1 đê được một sô chia hêt cho 39

Xét n = 2 tồn tại cách thêm hai chữ số vào đăng sau chữ số 2 để được số chia hết cho 39,

chăng hạn như 234 : 39

Vậy n = 2

Bai 14: Viết số 72 thành tổng của hai số mà BCNN của chúng có giá tri lớn nhất

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 dé thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyén Ji

Trang 11

oAN Q com

GIải:

Viết 72 thành tổng hai số, có các cách sau:

36 + 36; 35 + 37; 34 + 38; .;2 +70; [+ 71

Ta thay:

[36, 36] = 36, [35, 37] = 35.37, [34, 38] < 34.38

[2, 70]> 2.70, [1, 71]= 1.71

Ta sé chimg minh rang 35.37 > 34.38 > > 2.70 > 1.71 muốn vậy chỉ cần chứng tỏ rằng

néu b >a thi ab > (a— 1)(b + 1) Thật vậy, ta có:

(a—1)(b+ 1)=a(b + 1) +(b+ 1)=ab +a—b—1 =ab—(b—a)- l<ab

Vậy [35, 37] có giá trị lớn nhất

Bài 15: Cho dãy số tự nhiên 1, 2, 3, 4, ., 50

c Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho ƯCLN của chúng đạt giá trị lớn nhất

d Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho BCNN của chúng đạt giá trị lớn nhất

Giải:

Goi a và b là hai số bất kì thuộc dãy I1, 2, 3, ., 50 Giả sử a > b

a) Goi d € UC (a, b) thì a— b : d Ta sẽ chứng minh d < 25

thể xảy ra a— b: d

d= 25 xảy ra khi a = 50; b = 25

Vậy hai số có ƯCLN đạt giá trị lớn nhất là 50 và 25

b) BƠNN (a,b) < a.b < 50.49 = 2450

Vậy hai số có BƠNN dat giá trị lớn nhất là 50 và 49

Bài 16: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 15, ta được: A = 1234 1415

Hãy xóa đi 15 chữ số của số A để các chữ số còn lại (vẫn giữ nguyên thứ tự như trước)

tạo thành:

c Số lớn nhất

Tuyên tập các bài toán ôn thi MYTS Toán 6 — Tuyển tập 150 đề thi HSG Toán 6 có đáp án và Tuyến lỗ

Trang 12

ToAN TOD scot

d So nho nhat

GIải:

Sô A có 21 chữ sô, sau khi xóa đi IŠ chữ sô thì còn lại 6 chữ sô abcdeg

a) Để được số lớn nhất, ta chọn a = 9 (của số 9) Sau chữ số 9, còn lại dãy chữ số:

101112131415

Dé chon b ta bớt lại bốn chữ số cuối, còn lại 10111213, chọn chữ số lớn nhất là 3 Sau chữ số 3 còn lại 1415, đoc chính là cđeg

Vậy số lớn nhất phải tìm là: 93 1415

b) Đề được số nhỏ nhất, ta lần lượt chọn a, b, .(a, b có thể bằng 0) là chữ số nhỏ nhất

có thê được Bằng cách giải tương tự như câu a, ta được: 011111

Bài 17: Tìm các phân sô có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của phân sô đó với nghịch

dao cua nó có giá trị nhỏ nhật

Giải:

Gọi phân số phải tìm là = Phân số này phải khác 0, nghịch đảo của nó là = Khong mat tính

tổng quát, giả sử a > b, ta đặt a = b + m với m > 0

+3 ay b+m b b+m 14 74 214 =2 b+m b+m b+m

Như vậy + - 2 2 Xảy ra dâu băng khi và chỉ khi m = 0, khi đó a = b

Vậy phân sô mà tông của nó với sô nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhat là phân sô có tử

băng mẫu, tức là phân số có giá trị bang 1

Bài 18: Tổng của bốn số nguyên dương bằng 402 ƯCLN của chúng có giá trị lớn nhất là

bao nhiêu?

Giải:

Gọi d là ƯCLN của 4 số nguyên dương ai, a, a3, a4 (1 < a; < a2 < a3 < ay) thi a, = dky, a = dko, a3 = dk, ag = dk4 Ta c6: ay + a2 + a3t+ ag =402 nén = d(ki + ko + k3 + ky) = 402

Goi ki + ky + k3 + ky=s thi d.s = 402 Như vậy d lớn nhát khi s nhỏ nhất

Tuyên tap cac bai toan 6n thi MYTS Toan 6 — Tuyén tap 150 dé thi HSG Toan 6 cé dap an va Tuyén i

Tiêu đề	Chuyên đề 14 GTLN GTNN
Trường học	Trung Tâm Đào Tạo Toán IQ Việt Nam
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Bài giảng

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	7,98 MB