Chuyên đề tìm GTLN và GTNN của hàm hợp trên đoạn Toán 12

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

CHUYÊN ĐỀ TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM HỢP TRÊN ĐOẠN

TOÁN 12

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Giá trị lớn nhất

Định nghĩa:

Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y f x  trên D nếu

Kí hiệu max ( )

x D





2 Giá trị nhỏ nhất

Định nghĩa:

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y f x  trên D nếu

i  x D f x m

Kí hiệu min ( )

x D





3 Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1 đoạn

Định lý 1: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trong 1 đoạn

Nhận xét Nếu hàm số y f x  có đạo hàm f ' x giữ nguyên dấu trên đoạn  a b thì hàm số đồng ;

biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn Do đó, f x đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu   mút của đoạn

Quy tắc: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x  liên tục trên  a b; ta làm như sau

 B1: Tính f ' x và tìm các điểm x x1, 2, , x n mà tại đó f ' x 0 hoặc hàm số f ' x không xác

định

 B2: Tính các giá trị f x( ), ( ), , (1 f x2 f x n), ( ), ( )f a f b

 B3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Khi đó

  ;

max ( )

a b

M  f x ;

  ;

min ( )

a b

* Hàm số liên tục trên 1 khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó

Ví dụ: Cho hàm số y f x  có đồ thị f ' x như hình vẽ

Giá trị nhỏ nhất của hàm số     1 3

3

g x  f x  x x trên đoạn 1; 2 bằng

A   2

2

3

f 

B   2

1

3

C 2

3

D   2

1

3

Lời giải

Chọn D

Ta có     1 3

3

    2

g x   f x      x x

Bảng biến thiên

Từ BBT ta thấy

1;2

-2

3

II BÀI TẬP

Câu 1 Cho hàm số y f x  có đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ

Đặt   1 3  

2020 3

g x  x  x f x  Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

g x trên đoạn  3; 3

  Hãy tính Mm.

A $f\left( {\sqrt 3 } \right) + f\left( { - \sqrt 3 } \right)$

B f    3  f  3

C 2020 f   3

D 4040 f    3  f  3

Lời giải

Chọn D

Xét   1 3  

2020 3

g x  x  x f x  , với x  3; 3

 

Ta có   2  

g x x  f x

 

3

x x







 

Bảng biến thiên của hàm số g x  

Do đó

3; 3

3; 3

Vậy M  m f    3  f  3 4040.

Câu 2 Cho hàm số ( ) f x Biết hàm số y f x( ) có đồ thị như hình bên Trên đoạn [ 4;3] ,hàm số

2

g x  f x  x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A x0  1

B x0 3

C x0  4

D x0  3

Lời giải

Chọn A

Ta có g x( )2 ( ) (1f x  x)2g x( )2f x( ) 2(1  x) 2[f x( ) (1 x)]

3

x

x

 





        

 



Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra ( )g x đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 4;3] tại x0  1

Ta có:g x( )2 ( ) (1f x  x)2g x( )2f x( ) 2(1  x) 2[f x( ) (1 x)]

Vì trong đoạn [ 4; 1]  đồ thị hàm số y = f’(x) nằm phía dưới đồ thị hàm số y 1 x

( ) 1 [ 4; 1] ( ) 0 [ 4; 1] ( )

              nghịch biến trên (-4;-1)

( 4) ( 3) ( 1)

      (*)

Vì trong đoạn [-1;3] đồ thị hàm số y = f’(x) nằm phía trên đồ thị hàm số y 1 x

( ) 1 [-1;3] ( ) 0 [ 1;3] ( )

           đồng biến trên (-1;3)

(3) ( 1)

   (**)

Từ (*) và (**) suy ra ( )g x đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 4;3] tại x0  1

Câu 3 Cho hàm số y f x  liên tục trên Đồ thị của hàm số y fn x như hình vẽ dưới đây

Xét hàm số      2

g x  f x  x Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

3;3

B

3;3

C

3;3

D Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số g x trên   3;3

ời giải

Chọn B

g x  f x  x   f x  x

Dựa vào đồ thị hàm số y f ' x ta thấy đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm số y f ' x tại ba điểm lần lượt có hoành độ là: 3;1;3 Do đó phương trình  

3

3

x x x

 





 

 



Bảng biến thiên của hàm số yg x 

Vậy

3;3

Câu 4 Cho hàm số y f x  liên tục trên và có đồ thị hàm số đạo hàm y f ' x như hình vẽ

Xét hàm số     1 3 3 2 3

2021

g x  f x  x  x  x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

3;1

B

3;1

C

D

       

3;1

min

2

g x



 

ời giải

Chọn C

Ta có:     2 3 3

3 1 1

x

x

x

 





  

 



Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

3;1

Câu 5 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ

bên Gọi     1 3 1 2

2019

g x  f x  x  x  x Biết g    1 g 1 g   0 g 2 Với x  1; 2 thì g x đạt giá trị nhỏ nhất bằng  

A g 2

B g 1

C g 1

D g 0

Lời giải

Chọn A

+ Xét hàm số     1 3 1 2

2019

g x  f x  x  x  x trên đoạn 1; 2 + Ta có     2

g x  f x x  x

Vẽ đồ thị hàm số y f ' x và Parabol   2

P yx  x trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ

+ Ta thấy     2

g x   f x x  x

1 0 2

x x x

 





 

 



+ Bảng biến thiên :

+ Từ giả thiết g    1 g 1 g   0 g 2

   1 2    0 1

   1 2 0

    (vì g 0 g 1 )

 1  2

  

Vậy

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình,

TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn

cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí