Chuyên đề tính GTLN và GTNN của biểu thức bồi dưỡng toáng 8

CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC

DẠNG 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN Bài 1: Tìm GTNN của: A=x x( −3)(x−4)(x−7)

Bài 2: Tìm GTNN của: ( )( ) ( 2 )

B= x− x− x − x+Bài 3: Tìm min của: A=x x( +2)(x+4)(x+ +6) 8

Bài 8: Tìm min của: C= +(x 1)(x+2)(x+3)(x+ +4) 2011

Bài 9: Tìm max của: E= + −5 (1 x x)( +2)(x+3)(x+6)

Bài 10: Tìm GTNN của: M = −(x 1)(x+2)(x+3)(x+6)

Bài 11: Tìm min của: ( ) ( 2 ) ( )

D= x+ x − x+ +Bài 12: Tìm min của: B= +(x a)(x b x c x d+ )( + )( + )+m với a+d = b+c

Bài 13: Tìm GTNN của: 4 3 2

C=x − x + x − x+HD:

Bài 21: Tìm min của: A=3x2+ + −y2 4x y

Bài 22: Tìm min của: B=5x2+ +y2 2xy−12x− 18

Bài 24: Tìm max của: B= −3x2−16y2−8xy+ +5x 2

Bài 25: Tìm min của: A=3x2+4y2+4xy+ −2x 4y+ 26

Bài 26: Tìm min của: 5x2+9y2−12xy+24x−48y+82

Bài 27: Tìm max của: A= − − + + +x2 y2 xy 2x 2y

Bài 28: Tìm min của: ( ) (2 )2

A= x− + x−Bài 29: Tìm min của: ( )2 ( )2 ( )2

G= x+ + x−Bài 32: Tìm min của: H =x4 − 7x2 + 4x+ 25

Bài 33: Tìm min của: 4 3 2

6 11 12 20

I =x − x + x + x+Bài 34: Tìm min của: 4 3 2

6 15 20 15

K =x − x + x − x−Bài 35: Tìm min của: 4 3 2

M =x − x + x − x−Bài 36: Tìm max của :N= − −x2 4y2+ − +6x 8y 3

Bài 37: Tìm max của: P= −3x2−5y2+ +2x 7y−23

Bài 38: Tìm max cảu: Q= − −x2 5y2+4xy+12y+7

Bài 39: Tìm max cảu: Q= − −x2 5y2+4xy+12y+7

Bài 40: Tìm max của: R= −7x2−4y2−8xy+18x+9

Bài 41: Tìm max của: A= −5 2x2−4y2+4xy− −8x 12y

Bài 42: Tìm max của: B= −2 5x2− −y2 4xy+2x

Bài 43: Tìm min của: 2 2

3 3 1989

C=a +ab+b − x− b+Bài 44: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x: ( )( ) (2 )

x y−  y−  , Nên ( ) (2 )2

2 1 1

A= x y− + y− +  Bài 46: Tìm min của: B=2x2+ +y2 2xy− +8x 2028

Bài 47: Tìm GTNN của biểu thức: A=a4 − 2a3 − 4a+ 5

DẠNG 2: NHÓM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG Bài 1: Tìm GTNN của: A x= −2 2xy+2y2+ −2x 10y+17

Bài 2: Tìm min của: B= − + − −x2 xy y2 2x 2y

Bài 3: Tìm min của: C= + + − −x2 xy y2 3x 3y

Bài 4: Tìm min của: D= −x2 2xy+6y2−12x+2y+45

Bài 5: Tìm min của: E= − +x2 xy 3y2− −2x 10y+20

Bài 6: Tìm max của: F= − +x2 2xy−4y2+ +2x 10y−3

Bài 7: Tìm min của: ( )2 ( ) 2 2

G= x ay− + x ay− +x + y − ay+ x− y+Bài 8: Tìm max của: H = − + − − +x2 xy y2 2x 4y+11

Bài 9: Tìm min của: I= +x2 4xy+5y2− +6y 11

Bài 10: Tìm min của: K= + − + + +x2 y2 xy 3x 3y 20

Bài 11: Tìm min của: M= −x2 2xy+2y2−2y+1

Bài 12: Tìm min của: N = −x2 2xy+2y2−x

Bài 13: Tìm min của: x2−2xy+3y2− +2x 1997

Bài 14: Tìm min của: Q= +x2 2y2−2xy+ −2x 10y

Bài 15: Tìm min của: R= +x2 2y2+2xy−2y

Bài 16: Tìm min của: A=4x2+5y2−4xy−16y+32

Bài 17: Tìm min của: B= +x2 5y2+5z2−4xy−4yz− +4z 12

Bài 18: Tìm min của: C=5x2−12xy+9y2− +4x 4

Bài 19: Tìm max của: D= − − + + +x2 y2 xy 2x 2y

Bài 20: Tìm min của: E= +x2 5y2−4xy+2y−3

Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn:x2+4y2+ − + − + = z2 2x 8y 6z 15 0

Bài 24: Tìm min của: A=2x2+ −y2 2xy− +2x 3

Bài 24: Tìm min của: B= −x2 2xy+2y2+ −2x 10y+ 17

Bài 25: Tìm min của: C= + + − −x2 xy y2 3x 3y

Bài 26: Tìm min của: D=2x2+2xy+5y2− −8x 22y

Bài 27: Tìm min của: E=2x2+9y2−6xy− −6x 12y+2004

Bài 28: Tìm min của: F= −x2 2xy+6y2−12x+12y+ 45

Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức : 2 2

3 3 3

a +ab+b − a− b+HD:

( )2 ( )2

P=a +ab b+ − a− b+ = P= a b− + a b+ − 

Bài 30: Tìm min của: A x= +2 6y2+14z2−8yz+6zx−4xy

Bài 31: Tìm min của: B= +x2 2y2+3z2−2xy+2xz− − − +2x 2y 8z 2000

Bài 32: Tìm GTLN của biểu thức: T= − 2x2−y2− 4x+ 12y+ 4xy+ 2002

Bài 33: Tìm GTNN của biểu thức: P= 5x2+ 2y2− 4xy− 2x− 4y+ 2023

Bài 34: Tìm GTNN của biểu thức: M x= 2+ 2xy+ 2y2− 2y− 2

DẠNG 3: PHÂN THỨC Bài 1: Tìm min của: 2 2

=+Bài 6: Tìm min hoặc max của: 2 4

1

M

=+ +Bài 7: Tìm min hoặc max của:

( )2

10

x H

x

= +Bài 11: Tìm min hoặc max của:

( )2

2016

x I

x

= +Bài 12: Tìm min hoặc max của:

2

2

2 20152015

( )2

2000

x F

x

= +Bài 15: Tìm min hoặc max của:

x

−

=+Bài 19: Tìm min hoặc max của: 27 122

9

x M

x

−

=+Bài 20: Tìm min hoặc max của:

x P x

+

=+Bài 22: Tìm min hoặc max của: ( 2 )

Bài 23: Tìm min hoặc max của:

2

2

11

N x

+ +

=+Bài 24: Tìm min hoặc max của: 22 1

2

x D x

+

=+Bài 25: Tìm min hoặc max của: E 2x2 1

−

=+Bài 27: Tìm min hoặc max của: 62 8

1

x G x

−

=+Bài 28: Tìm min hoặc max của:

x B x

+

=+Bài 32: Tìm min hoặc max của:

x H x

−

=+Bài 34: Tìm min hoặc max của: 28

I x

−

=+Bài 35: Tìm min hoặc max của:

2

2

2 2010

x P

+

=+Bài 39: Tìm min hoặc max của:

2

2

22

x C

+

=+ +Bài 40: Tìm min hoặc max của:

11

x H x

+

=+Bài 43: Tìm min hoặc max của:

+

=+Bài 44: Tìm min hoặc max của:

Bài 45: Tìm min hoặc max của:

=+Bài 50: Tìm min hoặc max của:

1

x B x

−

=+Bài 53: Tìm min và max của: 22 1

2

x C x

+

=+Bài 54: Tìm min hoặc max của:

+

=+Bài 56: Tìm min hoặc max của:

11

x G x

+

=+Bài 58: Tìm min hoặc max của:

+

=+Bài 39: Tìm min ( )

2

2 2 12

x P

x

+

=+Bài 60: Tìm min hoặc max của:

2

2

11

x J

+

=

− +Bài 61: Tìm min hoặc max của:

2

2

22

x K

+

=+ +Bài 62: Tìm min hoặc max của: 42 1

3

x M x

+

=+Bài 63: Tìm min hoặc max của:

x P

Bài 66: Tìm min hoặc max của:

+

=+Bài 80: Tìm min hoặc max của:

2 2

1 3( ) x

=+ + +

+

=+Bài 87: Tìm giá trị lớn nhất của 42 3

1

x P x

+

=+Bài 88: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

12 1

x A x

+

=

+ Bài 91: Cho x, y là các số thực khác 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Bài 92: Cho x  , Tìm GTNN của : 0 ( )

2 2

1 1

x C

+

=

− + Bài 95: Tìm GTLN của:

2 2

5 21 3

x B x

+

= + Bài 96: Tìm GTLN của:

2 2

2 2

DẠNG 4: TÌM MIN, MAX CÓ ĐIỀU KIỆN

Bài 1: Tìm min của: A=3x2+y2 biết :3x+ =y 1

HD:

( )2 2

y= − x= =A x + − x =12x2 − 6x2 + 1

Bài 1: Cho các số x, y thỏa mãn: 2x+ 3y= 13 , tìm GTNN của Q x= 2+y2

Bài 2: Tìm min của: A=xy biết 3x+ =y 1

( )3 3 ( )

a= + = =b A b+ − − +b b b = 2

2b + 2b+ 1Bài 4: Tìm max của: B=a b biết: 3a+5b= 12

Bài 9: Cho x+ y= 1, Tìm min của: B= − 3 xy

Bài 9: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của P 1 1 1 1

= −  − 

   Bài 10: Tìm min của:

Bài 12: Cho hai số thực a,b 0, thỏa mãn:

2 2

2

8

88

y x

x

+ + = , Tìm max, min của A=xy

Bài 15: Cho x,y R khác 0 biết: 8 2 2 12 4

( 2 4 )( 2 4 ) 8

C= x + y y + x + xy

Bài 18: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm min của: A x= +2 2y2

HD:

Từ gt ta có : x= − 3 2y thay vào ( )2 2 2

A= − y + y = y − y+Bài 19: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: x2+ − =y2 xy 4, Tìm min và max của: A x= +2 y2

HD:

Từ gt=> y= − 1 x thay vào 2 ( )2

1

A=x + −x

Bài 44: Tìm min max của: P= + +x y z, biết: 2 2 1 3 2





 

Khi đó: E=2 4 3( − c) (+3 3c− −2) 4c= −2 c

Bài 48: Cho x y z, ,  0, 2x+ 7y= 2014, 3x+ 5z= 3031, Tìm GTLN của biểu thức : A= + +x y z

Khi A  +9 29 36= , dấu ‘=’ khi x = y = z = 3

Bài 52: Cho xy+ yz+zx= 8, Tìm min của: A x= + +4 y4 z4

Bài 67: Cho x2+ + =y2 z2 1, tìm min của: F =xy+ 2yz+zx

Bài 68: Cho a,b,c dương thỏa mãn: a b c+ + = , tìm min của: 1

1 1 1 1 4

Bài 74: Cho x,y là các số thực khác 0 thỏa mãn: x2−2xy+2y2− +2x 6y+ = , 5 0

Tính giá trị của biểu thức:

2

4

x y P

x S x

+

= +

Bài 79: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 2 1 1

Dạng 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Các BĐT phụ là:

2 12

x B x

+

=+ với x  0

2

2

11

2

1

x C x

Bài 8: Tìm min của: ( )2 2 2

x x

−

=

−Bài 11: Tìm min của: 2

x C

Bài 16: Cho a,b,c > 0, CMR: 3

x x

−

=

−Bài 18: Cho x,y là số tự nhiên khác 0, sao cho x+y=11, Tìm min A=xy

Min B Bài 20: Tìm min của:

2 2