CHUYÊN đề 14 GIÁ TRỊ MIN MAX và bất ĐẲNG THỨC (55 trang)

CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tìm GTLN - GTNN của biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn...  là số dương nhỏ nhất ứng với n nguyên..  là số âm lớn nhất ứng với n nguyên..  là số dương nhỏ nh

CHUYÊN ĐỀ.GIÁ TRỊ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Với mọi n  và mọi A ta có: A2n 0, và A2n 0 khi A0

 Với mọi A ta có: A 0, và A 0 khi A0

 AB (với A B, cùng dấu) thì 1 1

A B

 A n   0 A 0 (với n là số tự nhiên)

II CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tìm GTLN - GTNN của biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn

Với n , Alà biểu thức chứa x y; ; và mlà số tùy ý, ở dạng này ta đưa ra hai loại bài toán cơ bản như sau:

Loại 1: Tìm GTNN của biểu thức dạng: k A 2nm với k0

Hướng giải: Với k0 và mọi A ta có 2 2 2

B 

Ta có B 25khi xảy ra đồng thời x yvà y3 hay x y 3

Vậy GTNN của biểu thức  2020  30

y y

x    x

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 29 khi x 1

Loại 2: Tìm GTNN của biểu thức dạng: 2

n

k A m với k0 Hướng giải: Với k0 và mọi A ta có 2 2 2

2 0

y  , và  6

2 0

y  khi y 2 0 hay y 2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức C bằng 104 khi x 2

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D  x2 2xy24y50

Dấu bằng xảy ra khi  

b n c



 với a b c; ; là các số nguyên đã biết

+ Nếu a  thì:

A có GTLN khi b n c  là số dương nhỏ nhất ứng với n nguyên

A có GTNN khi b n c  là số âm lớn nhất ứng với n nguyên

+ Nếu a  thì:

A có GTLN khi b n c  là số âm lớn nhất ứng với n nguyên

A có GTNN khi b n c  là số dương nhỏ nhất ứng với n nguyên

Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n để 15

2 5

A n



 là

15

152.3 5



 có giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Loại 2: .

a n d A

b n c có GTLN hoặc có GTNN (Bài toán loại 1)

 Chú ý ta có thể cách tách biểu thức A theo cách sau:

n 

Từ đó ta suy ra n0 và GTNN của 7 5

2 1

n B n





 là

6.2 3 94.2 6 2

Dạng 3: Tìm GTLN - GTNN của biểu thức chứa giá trị tuyệt đối

Với Alà biểu thức chứa x y; ; và mlà số tùy ý, ở dạng này ta đưa ra hai loại bài toán cơ bản như sau:

Loại 1: Tìm GTNN của biểu thức dạng: k A m với k 0

Hướng giải: Với k0 và mọi A ta có A 0 k A  0 k A  m m

Do đó GTNN của k A m là m khi A0

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A  3 x 2

Lời giải

Ta có: 3 x 0 với mọi x nên A2

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 12 tại x3

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức A3 2x 7 5

Lời giải

Với mọi x ta có 2x  7 0 3 2x  7 0 3 2x   7 5 5 hay A 5

Vậy GTNN của biểu thức A3 2x 7 5 là 5 khi 2x 7 0 hay 7

2

x 

Loại 2: Tìm GTLN của biểu thức dạng: k A m với k 0

Hướng giải: Với k0 và mọi A ta có A 0 k A  0 k A  m m

Với mọi x ta có x   2 0 3 x 2 0 và x 2 0 khi x 2 0 hay x2

Với mọi x y; ta có x2y   0 5 x2y 0 và x2y 0 khi x2y0 hay x2y

Suy ra mọi x y; ta có: 3x 2 5 x2y   0 6 3x 2 5 x2y 6 hay B6

Ta có B6 khi xảy ra đồng thời x2và x2y

Thay x2vào x2yta được 22y y 1

Vậy GTLN của biểu thức B 6 3x 2 5 x2y là 6 khi x2 và y1

Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức C  x 1 3x  y 4 25

Lời giải

Với mọi x ta có x 1 0, và x 1 0 khi x 1 0 hay x 1

Với mọi x y; ta có x   y 4 0 3x  y 4 0, và x  y 4 0 khi x  y 4 0 hay

4

y x

Do đó với mọi x y; ta có: x 1 3x     y 4 0 x 1 3x  y 4 25 25 hay C 25

Ta có C 25 khi xảy ra đồng thời x 1và y x 4

Thay x 1vào y x 4ta được y   1 4 3

Vậy GTLN của biểu thức C  x 1 3x  y 4 25 là 25 khi x 1 và y3

Do đó:  2

2x1   y 2 0, với mọi x, y Suy ra  2



  là

422

   khi 1

2

x 

Loại 3: Tìm GTLN - GTNN của phân thức chứa giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức 4

A x



  đạt GTLN khi 2x  1 3 0 và đạt GTNN

Với mọi giá trị của x, ta có: 2x 1 0  2x  1 3 3

Do đó GTNN của 2x 1 3 là 3khi 2x 1 0 hay 1

x

Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức 2 1

x C x

Ta có x200 với mọi giá trị của x và x200 khi x0

Hơn nữa, y 1 0 với mọi giá trị của y và y 1 0 khi y1

Dạng 1: Tìm GTLN - GTNN của biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn

Bài 1 Tìm GTLN của biểu thức  10

Vậy GTLN của biểu thức  10

4 3 5

A  x là 4 khi x 5 0 hay x 5 Bài 2 Tìm GTLN của biểu thức  2  4

B

Ta có B5 khi xảy ra đồng thời x y 2 và y 2

Thay y 2 vào x y 2ta được x   2 2 0

Vậy GTLN của biểu thức  2  4

Ta có C 2019 khi xảy ra đồng thời x y 6 và x y 4

Khi đó áp dụng bài toán tìm hai số biết tổng và hiệu ta có : 6 4 5

Phân tích: Quan sát đề bài ta thấy x2 0 x2 2 2nên không thể xảy ra điều kiện

11

1

1 0

x x

x x



Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 20 khi x1

Bài 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  2 100  

Dấu bằng xảy ra khi  

100 2

2

33

n

x

x x

Bài 8 Gọi a là giá trị lớn nhất của biểu thức A  x2 20x19 Chứng minh rằng a là số chính

 có GTNN khi 3n 10 0và có GTLN ứng với n

 là

5

53.3 10 

Bài 2 Tìm số tự nhiên n để 6

P n

n lớn nhất khi n2 đạt giá trị nguyên dương nhỏ nhất

17a5



 là

5.6 17

134.6 23

Bài 8 Tìm số tự nhiên n để phân số 10 3

4 10

n B n





 là

10.3 3 274.3 10 2



 là

5.4 1 21 72.4 17 9 3

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 2120 khi a1, 2,3, ,8,9 , b c 0.

Bài 16 Tìm GTNN của biểu thức ( 1) ( 2) (x 3) ( 50)( )

Dạng 3: Tìm GTLN - GTNN của biểu thức chứa giá trị tuyệt đối

Bài 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của C   2x 6 11

Lời giải

Ta có:   2x 6 0 với mọi x nên C11

Dấu “=” xảy ra khi:   2x 6 0 nên x3

Vậy C đạt giá trị nhỏ nhất là 11 tại x3

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất của D 3x 9 12

Lời giải

Ta có: 3x 9 0 với mọi x nên D 12

Dấu “=” xảy ra khi: 3x 9 0 nên x3

Vậy D đạt giá trị lớn nhất là 12 tại x3

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A   2 x 10

Lời giải

Ta có:   2 x 0     x 2 x 10 10 Dấu bằng xảy ra khi 2   x 0 x 2

Vậy GTLN A 10 khi x2

Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA12 4 x

Với mọi x ta có 7 3 x   0 2 7 3 x   0 5 2 7 3 x 5 hay A5

Vậy GTLN của biểu thức A 5 2 7 3 x là 5 khi 7 3 x0 hay 7

Nên E2020

Dấu “=” xảy ra khi: x y 0 nên xy

Và x 1 0 nên x 1

Vậy E đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2020 tại x  y 1

Bài 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của F       x y 5 x y 3 3

Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 tại x4 và y1

Bài 10 Tìm GTNN của biểu thức 2

4 5 2 1 10

B x   y 

Lời giải

Với mọi x ta có x2 4 0, và x2 4 0 khi x2 4 0 hay x2 4 (tức là x2hoặc x 2)

Với mọi y ta có 2y  1 0 5 2y 1 0, và 2y 1 0 khi 2y 1 0 hay 1

Với mọi x ta có x  2 0 3 x 2 0, và x 2 0 khi x 2 0 hay x2

Với mọi x y; ta có 2x   y 1 0 7 2x  y 1 0, và 2x  y 1 0 khi 2x  y 1 0 hay

2 1

y x

Từ đó suy ra 3 x 2 7 2x   y 1 0 3x 2 7 2x  y 1 253253 hay C253

Ta có C253 khi xảy ra đồng thời hai điều kiện x2vày2x1

Thay x2vào y2x1 ta được y2.2 1 3 

Vậy GTNN của biểu thức C3x 2 7 2x  y 1 253 là 253 khi x2 và y3

Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất của G 2x2y    8 x y 6 7

Vậy G đạt giá trị lớn nhất bằng 7 tại x1 và y5

Bài 13 Biết rằng khi xa và yb thì biểu thức D 2 x  y 3 5 x  y 1 6 đạt GTLN Tính a3b3

Ta có D6 khi xảy ra đồng thời hai điều kiện x  y 3và x y 1

Áp dụng bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu ta có: 1  3

12

   và 1  3

22

Lời giải

Với mọi x ta có 3x81 0 5 3x810, và 3x810 khi 4

3x 81 3 hay x4 Với mọi x y; ta có y2   x 4 0 20 y2  x 4 0, và y2  x 4 0 khi y2  x 4 0 hay

Bài 15 Tìm giá trị nhỏ nhất của H  2x  8 x 3y   y z 13

C x y    x y

Lời giải

Do đó  2

x y   y , với mọi x y, Suy ra  2

Vậy GTNN của biểu thức  2

Do đó  4

x y  x y  , với mọi x y, Suy ra  4

3 2 2020 2020

B x y  x y   , với mọi x y,

Ta có B2020khi xảy ra đồng thời x y 3 và x2y

Thay x2y vào x y 3ta được 2y  y 3 3y  3 y 1

Thay y1 vào x2y ta được x2.12

Vậy GTNN của biểu thức  4

B x y  x y  là 2020 khi x2 và y1 c)  2020

Thay x 1vào y2x3 ta được y2.     1 3 y 5

Vậy GTLN của biểu thức  4

a B a

0

xy  và  20

0

xy  khi x y 0 hay x y Suy ra   2 20   2 20

b)

2020

2020

20212019

a B a

a B a





 đạt GTLN khi 2020

22019

Suy ra GTNN của a20202019 là 2019 khi a0

Vậy GTLN của biểu thức

2020

2020

20212019

a B a

Với mọi y, ta có y2  0 2y2 0 và y2 0 khi y0

Do đó với mọi x y, thì x4 2y2  0 x42y2 4 4

Từ đó ta có GTNN của x42y24là 4 khi x0 và y0

Vậy GTNN của biểu thức 4 42

x E

x E

Do đó, với x thì giá trị dương và nhỏ nhất của x25là 4khi x2 9 tức x3 hoặc x 3

Vậy với x thì GTNN của biểu thức

2

2

13 25

x E

Với mọi giá trị của x, ta có 3  x 0 2 3 x 0 2 3  x 7 7

Từ đó suy ra GTNN của 2 3 x 7 là 7 khi 3 x 0( hay x3)

Vậy GTNN của biểu thức 1 4

Ta có : x 1 0 với mọi giá trị của x và x 1 0 khi x 1

Đồng thời, 2y 3 0 với mọi giá trị của yvà 2y 3 0 khi 3

Bài 13 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 6 24

x y



Lời giải

Vậy maxA20 khi x2

Bài 20 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

- HẾT -

B.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 6

Bài 1 Với giá trị nào của số tự nhiên athì 5 17

a a

Như vậy bài toán đưa về tìm số tự nhiên a để 4a – 23là số tự nhiên nhỏ nhất

Với n3thì 4 0

n 3

 , Với n3thì

40

Bài 16 Cho biết 1 1 1

1

-12

2

1

3 <

12.3=

1

2

-13

2

1

100 <

199.100=

1

99

-1100

Bài 21 Cho A = 1 1 1 1

1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 2017

           Chứng minh A

34

1

+

3.2

1

+

4.3

Bài 26 (Đề HSG 6 huyện Thiệu Hóa năm 2015-2016)

Tìm giá trị nhỏ nhất của phân số ab

3n2 đạt giá trị lớn nhất, khi đó 3n + 2 đạt giá trị nhỏ nhất

vì 3n 2 2 nên 3n+2 nhỏ nhất bằng 2 khi 3n = 0 hay n = 0

Vậy với n = 0 thì p đạt giá trị lớn nhất là 3

2

Bài 28 (Đề HSG 2019-2020)

Tìm số tự nhiên n để phân số

10 n 4

3 n 10 B

có giá trị là số tự nhiên Gọi d là ước

chung lớn nhất của a và b Chứng minh rằng: a b d2

Vậy với n  1thì Amax  5,5

Bài 39 Tìm GTLN của biểu thức  2

Bài 40 Với giá trị nào của số tự nhiên athì : 5a 17