Fractals hữu hạn pptx

Những thành công to lớn trong các lĩnh vực của khoa học tự nhiên và kỹ thuật dẫn đến sự ảo tưởng về một thế giới hoạt động như một cơ chế đồng hồ vĩ đại, trong đó các quy luật của nó chỉ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

KHOA TOÁN

HOÀNG THỊ QUYÊN

Lớp: Cử nhân Toán K9

FRACTALS HỮU HẠN

FINITE TYPE FRACTALS

Người hướng dẫn: TS MAI THẾ DUY

Hải Phòng - 2012

Mục lục

1.1 Hình học Fractal trong toán học nói chung 8

1.2 Sự ra đời của hình học Fractal 9

1.3 Các ứng dụng tổng quát của Fractal 13

1.3.1 Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính 13

1.3.2 Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh 14

1.3.3 Ứng dụng trong khoa học cơ bản 16

1.4 Fractals trong thiên nhiên 17

2 Những kiến thức cơ bản 23 2.1 Hê hàm lặp và Fractal (attractor) của nó 23

2.2 Địa chỉ của Fractal 25

2.3 Chiều Hausdorff 27

2.4 Số chiều tự dồng dạng 29

2.4.1 Chiều Tôpô 29

2.4.2 Chiều tự đồng dạng 29

3 Ánh xạ lân cận 32 3.1 Điều kiện tập mở 32

3.2 Mối liên hệ giữa chiều Hausdorff và chiều tự đồng dạng 32

3.3 Thuật toán kiểm tra sự phân cách giữa các mảnh 33

3.4 Ánh xạ lân cận và đồ thị lân cận 33

4 N-gon fractals và Tiling fractals 37 4.1 Các phép biến hình 37

4.2 Thuật toán ngẫu nhiên trong Fractals 40

4.3 Polygon Fractals 43

4.3.1 Một số kiến thức cơ bản của Polygon Fractals 43

4.3.2 Fractals n-gon với nhân tử co λ = reiπ/n 44

4.4 Tiling Fractals 62

4.4.1 Định nghĩa về tiling Fractals 62

4.4.2 Những tiling fractals trong hình học Euclide 63

4.4.3 Tiling fractals với 3 mảnh 68

4.4.4 Tiling fractals với 4 mảnh 70

Mở đầu

Trong những năm gần đây, toán học và khoa học tự nhiên đã bướclên một bậc thềm mới, sự mở rộng và sáng tạo trong khoa học trởthành một cuộc thử nghiệm liên ngành Cho đến nay nó đã đưa khoahọc tiến những bước rất dài Fractal đã được đông đảo mọi ngườichú ý và thích thú nghiên cứu Với một người quan sát tình cờ màusắc của các cấu trúc Fractal cơ sở và vẻ đẹp của chúng tạo nên một

sự lôi cuốn hình thức hơn nhiều lần so với các đối tượng toán học đãtừng được biết đến Fractal đã cung cấp cho các nhà khoa học mộtmôi trường phong phú cho sự thám hiểm và mô hình hoá tính phứctạp của tự nhiên Những nguyên nhân của sự lôi cuốn do Fractal tạo

ra là nó đã chỉnh sửa được khái niệm lỗi thời về thế giới thực thôngqua tập hợp các bức tranh mạnh mẽ và duy nhất của nó

Những thành công to lớn trong các lĩnh vực của khoa học tự nhiên

và kỹ thuật dẫn đến sự ảo tưởng về một thế giới hoạt động như một

cơ chế đồng hồ vĩ đại, trong đó các quy luật của nó chỉ còn phải chờđợi để giải mã từng bước một Một khi các quy luật đã được biết,người ta tin rằng sự tiến hoá hoặc phát triển của các sự vật sẽ được

dự đoán trước chính xác hơn nhiều, ít ra là về mặt nguyên tắc Nhữngbước phát triển ngoạn mục đầy lôi cuốn trong lĩnh vực kỹ thuật máytính và sự hứa hẹn cho việc điều khiển thông tin nhiều hơn nữa của

nó đã làm gia tăng hy vọng của nhiều người về máy móc hiện có và

cả những máy móc ở tương lai Nhưng ngày nay người ta đã biếtchính xác dựa trên cốt lõi của khoa học hiện đại là khả năng xem xéttính chính xác các phát triển ở tương lai như thế sẽ không bao giờđạt được Một kết luận có thể thu được từ các lý thuyết mới còn rấtnon trẻ đó là : giữa sự xác định có tính nghiêm túc với sự phát triển

có tính ngẫu nhiên không những không có sự loại trừ lẫn nhau mà

chúng còn cùng tồn tại như một quy luật trong tự nhiên Fractal và

lý thuyết hỗn độn xác định kết luận này Khi xét đến sự phát triểncủa một tiến trình trong một khoảng thời gian, chúng ta sử dụng cácthuật ngữ của lý thuyết hỗn độn, còn khi quan tâm nhiều hơn đếncác dạng có cấu trúc mà một tiến trình hỗn độn để lại trên đường

đi của nó, chúng ta dùng các thuật ngữ của Fractal là bộ môn hìnhhọc cho phép “sắp xếp thứ tự” sự hỗn độn Trong ngữ cảnh nào đóFractal là ngôn ngữ đầu tiên để mô tả, mô hình hoá và phân tíchcác dạng phức tạp đã tìm thấy trong tự nhiên Nhưng trong khi cácphần tử của ngôn ngữ truyền thống (Hình học Euclide) là các dạnghiển thị cơ bản như đoạn thẳng, đường tròn và hình cầu thì trongFractal đó là các thuật toán chỉ có thể biến đổi thành các dạng vàcấu trúc nhờ máy tính

Việc nghiên cứu ngôn ngữ hình học tự nhiên này mở ra nhiều hướngmới cho khoa học cơ bản và ứng dụng Trong đề tài này chỉ mới thựchiện nghiên cứu một phần rất nhỏ về Fractal và ứng dụng của nó.Nội dung của đề tài gồm có ba chương được trình bày như sau:Chương I: Trình bày về lịch sử hình học Fractal, các ứng dụngtổng quat của hình học Fractal, nêu các phong cảnh Fractal trong tựnhiên

Chương II: Trình bày các kiến thức cơ bản của hình học Fractal.Chương III: Trình bày ánh xạ lân cận, điều kiện mở, đồ thị lâncận

Chương IV: N-gon fractals và Tiling fractals

Nhân đây, em xin chân thành cảm ơn thầy T.S Mai Thế Duy đãtận tình hướng dẫn, chỉ dạy giúp đỡ em trong suốt thời gian thựchiện đề tài nghiên cứu này

Em cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Toán tin đãtận tình giảng dạy, trang bị cho chúng em những kiến thức cần thiếttrong suốt quá trình học tập, và em cũng xin gởi lòng biết ơn đến giađình, cha, mẹ, và bạn bè đã ủng hộ, giúp đỡ và động viên em trongnhững lúc khó khăn

Đề tài được thực hiện trong một thời gian tương đối ngắn, nên dù

đã hết sức cố gắng hoàn thành đề tài nhưng chắc chắn sẽ không thể

tránh khỏi những thiếu sót nhất định Rất mong nhận được sự thôngcảm và đóng góp những ý kiến vô cùng quý báu của các Thầy Cô,bạn bè, nhằm tạo tiền đề thuận lợi cho việc phát triển đề tài trongtương lai.

Sinh viên thực hiệnHoàng Thị Quyên

Ký hiệu

I = {1, 2, , m} : Tập hợp chỉ số

In = {i1i2 in | ik ∈ I, k = 1, 2, , n} : Tập hợp từ với độdài n

u ∈ In : từ với độ dài n, u = i1i2 in, ik ∈ I, k = 1, 2, , n

|u| : độ dài của từ u

u = uuu : từ tuần hoàn vô hạn

I∞ = {i = (ik)∞k=1, ik ∈ I ∀k = 1, 2, } : tập hợp của tất cảcác từ vô hạn

F : fractal sinh bởi {fi | i ∈ I}

Fu = fu(F ), nếu u ∈ In thì Fu mảnh con bậc n của F

Chương 1

Lịch sử hình học Fractal

1.1 Hình học Fractal trong toán học nói chung

Hình học Fractal là một môn hình học mới nhưng đã có những ứngdụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau Tuy nhiên, hiện nay

cơ sở lý thuyết của môn hình học này vẫn chưa hoàn thiện vì vẫnchưa có được một định nghĩa chính xác và đầy đủ về Fractal Vấn đềnày đang là thách thức lớn đối với các nhà nghiên cứu toán học Sựphát triển của hình học qua các thời đại đã đóng góp những thànhtựu quan trọng trong lịch sử văn minh nhân loại Ở các nền văn hóa

cổ của Babilon và Ai cập, con người đã biết cách tính diện tích cáchình đơn giản như tam giác, hình thang, hình tròn và cũng biết cáchtính thể tích một số loại vật thể đơn giản như hình hộp chữ nhật,hình chóp đáy vuông

Từ thế kỷ thứ VII đến thế kỷ thứ III trước công nguyên, các nhàhình học Hy Lạp đã có những đóng góp quan trọng trong việc pháttriển môn hình học Họ đã cố gắng tập hợp và sắp xếp các hiểu biết

về hình học theo một kết cấu logic nhất định Trong số đó người cócông lớn nhất, đặt nền móng cho cơ sở hình học chính là Euclide (330

- 275 TCN) với tác phẩm “Nguyên lý” Trong tác phẩm của mình,Euclide đã trình bày đầy đủ và có hệ thống, tìm ra cách chứng minhnhiều định lý và sắp xếp chúng theo một trình tự logic Tuy nhiên,đứng trên quan điểm của toán học hiện đại thì tác phẩm “Nguyên lý”của Euclide vẫn còn nhiều thiếu sót về phương diện đặt cơ sở logiccho việc xây dựng hình học

Cuối thế kỷ XIX, nhà toán học người Đức David Hilbert (1862

-CHƯƠNG 1 LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL

1943) mới khắc phục được những thiếu sót của Euclide với tác phẩm

“Cơ sở hình học” năm 1899 Trong tác phẩm của mình, Hilbert đãđưa ra một hệ tiên đề đầy đủ của hình học Euclide, từ đó suy diễn

để thu được tất cả các nội dung của hình học Euclide

Trong quá trình cố gắng thử chứng minh định đề V của Euclide[31] đã dẫn đến sự ra đời của một môn hình học mới khác với hìnhhọc Euclide Cuối những năm ba mươi của thế kỷ XIX, nhà toánhọc người Nga Lôbasepxki (Nikolai Ivanovitch Lobatchevski, 1792 -1856), giáo sư trường đại học tổng hợp Kadan (Nga) đã đưa ra lờigiải đáp về vấn đề định đề V của Euclide Ông đã khẳng định: định

đề V không thể suy ra từ các tiên đề và định đề còn lại của Euclide.Lôbasepxki đã phát triển hình học của mình không thua kém hìnhhọc Euclide, ngườ ta gọi đó là hình học phi Euclide, hay hình họcLôbasepxki

Giữa thế kỷ XX, khi công nghệ điện toán phát triển, một mônhình học mới đã ra đời để đáp ứng nhu cầu mô tả các đối tượngcủa thế giới thực trên máy tính, đó là hình học Fractal Hình họcFractal được chính thức biết đến thông qua bài báo nổi tiếng củaBenoit Mandelbrot vào năm 1975 Bằng công cụ máy tính, ông đãkhám phá ra một lĩnh vực hình học mới phản ánh thế giới một cách

tự nhiên mà hình học Euclide khó có thể đáp ứng được Vì vậy, hìnhhọc Fractal đã thu hút được sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu và

nó trở thành một chủ đề nóng trong giới toán học

1.2 Sự ra đời của hình học Fractal

Cuối thế kỷ XIX đến những năm đầu thế kỷ XX, trong nghiên cứutoán học đã xuất hiện một số tập hợp “lạ” với một số tính chất bấtthường hoặc có những hình thù kỳ lạ, ngộ nghĩnh, chẳng hạn:

Tập Cantor: là tập con của đoạn [0,1], không chứa bất kỳ một đoạnthẳng nào nhưng vẫn có lực lượng continum (hình 1.1)

Hình bông tuyết Von Kock: tuy chỉ chiếm một diện tích hữu hạnnhưng có chu vi vô hạn

Hàm Weierstrass: hàm số liên tục mà không có đạo hàm tại bất

CHƯƠNG 1 LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL

Hình 1.1: Tập Cantor

kỳ điểm nào đồ thị của nó là một đường cong liên tục nhưng không

có đạo hàm ở bất kỳ điểm nào

Tập Julia: gồm những bộ phận là bản sao thu nhỏ của chính nó(Hình 1.2)

Hình 1.2: Tập Julia

Các tập hợp “lạ” đã gây ra không ít xôn xao trong giới nghiên cứutoán học và rồi chúng cũng được chấp nhận như những trường hợpngoại lệ của toán học

Một số nhà vật lý như Boltzmann, Perrin sớm dự đoán được khảnăng ứng dụng của các tập khác thường trong thực tế Tuy nhiên, họcũng không làm được gì hơn là tuyên bố chính những đường cong bấtthường, gai góc như đường cong Weierstrass mới thường hay gặp,còn

CHƯƠNG 1 LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL

các đường trơn tru đều đặn như đường tròn chỉ là ngoại lệ Một sốcông trình đặc sắc của Hausdorff và Besicovitch với những tập có thứnguyên (số chiều) phân số cũng có tiếng vang lớn trong toán học [17]

Hình 1.3: Nhà toán học Mandelbrot

Năm 1975, nhà toán học người Pháp gốc Ba Lan Benoit brot làm việc tại trung tâm nghiên cứu Thomas B.Waston của công

Mandel-ty IBM đã công bố công trình của mình thông qua bài báo nổi tiếng

“Lý thuyết về các tập Fractal” (A Theory of Fractal Sets), sau đó

là cuốn chuyên khảo “Hình học Fractal của tự nhiên” (The FractalGeometry of Nature) Bài báo đã gây được tiếng vang lớn và đượccác nhà khoa học đương thời quan tâm nghiên cứu, phát triển Cuốnsách của Mandelbrot sau này đã trở thành một công trình kinh điểncủa hình học Fractal trong đó có một tập hợp nổi tiếng mang tênông - tập Mandelbrot

Từ đó những tập khác thường mới được sự quan tâm của giới khoahọc, không những trong ngành toán học mà trong hầu hết các ngành,

đề nóng của toán học hiện đại.

Mandelbrot và các nhà toán học khác như A.Douady, J.Hubbard

đã đặt nền móng và phát triển cho lý thuyết hình học Fractal Cáckết quả đạt được chủ yếu tập trung ở các tính chất ở các cấu trúcFractal cơ sở như tập Mandelbrot và tập Julia [23]

Dựa trên những công thình của Mandelbrot (1976, 1979, 1982) vàHutchinson (1981), vào các năm 1986, 1988 Micheal F.Barnsley vàM.Begger đã phát triển lý thuyết hệ hàm lặp IFS (Iterated FunctionSystem) được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau [25]

Ngoài các công trình mang tính lý thuyết, hình học Fractal cònđược bổ sung bởi những ứng dụng vào trong khoa học máy tính

CHƯƠNG 1 LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL

và các ngành khoa học khác Dựa trên lý thuyết IFS, F.Barnsley,Jacquin và một số nhà nghiên cứu khác đã phát triển phép biến đổiphân hình áp dụng cho công nghệ nến ảnh [?, 28]

Hiện nay, lý thuyết phân hình đang được phát triển và nghiên cứu.Một trong những vấn đề lớn đang được quan tâm là bài toán với các

độ đo phân hình (multifractal measurement) có liên quan đến sự mởrộng của khái niệm số chiều fractal và các đối tượng Fractal trong tựnhiên, đồng thời cũng liên quan đến việc áp dụng các độ đo Fractaltrong các ngành khoa học tự nhiên

1.3 Các ứng dụng tổng quát của Fractal

Hiện nay có 3 hướng ứng dụng lớn của lý thuyết fractal, bao gồm:

• Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính

• Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh

• Ứng dụng trong nghiên cứu khoa học cơ bản

1.3.1 Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính

Cùng với sự phát triển vượt bậc của máy tính cá nhân trong nhữngnăm gần đây, công nghệ giải trí trên máy tính bao gồm các lĩnh vựcnhư trò chơi, anmation video nhanh chóng đạt đỉnh cao của nó.Công nghệ này đòi hỏi sự mô tả các hình ảnh của máy PC với sựphong phú về chi tiết và màu sắc với sự tốn kém rất lớn về thời gian

và công sức Gánh nặng đó hiện nay đã được giảm nhẹ đáng kể nhờcác mô tả đơn giản nhưng đầy đủ của lý thuyết fractal về các đốitượng tự nhiên Với fractal khoa học máy tính có trong tay một công

cụ mô tả tự nhiên vô cùng mạnh mẽ

Ngoài các ứng dụng trong lĩnh vực giải trí, fractal còn có mặt trongcác ứng dụng tạo ra các hệ đồ hoạ trên máy tính Các hệ này chophép người sử dụng tạo lập và chỉnh sửa hình ảnh, đồng thời chophép tạo các hiệu ứng vẽ rất tự nhiên hết sức hoàn hảo và phongphú, ví dụ hệ phần mềm thương mại Fractal Design Painter của công

ty Fractal Design Hệ này cho phép xem các hình ảnh dưới dạng hình

CHƯƠNG 1 LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL

hoạ véctơ cũng như sử dụng các ảnh bitmap như các đối tượng Như

đã biết, các ảnh bitmap hiển thị hết sức nhanh chóng, thích hợp chocác ứng mang tính tốc độ, các ảnh véctơ mất nhiều thời gian hơn đểtrình bày trên màn hình (vì phải được tạo ra bằng cách vẽ lại) nhưngđòi hỏi rất ít vùng nhớ làm việc Do đó ý tưởng kết hợp ưu điểm củahai loại đối tượng này sẽ giúp tiết kiệm nhiều thời gian cho người sửdụng các hệ phần mềm này trong việc tạo và hiển thị các ảnh có độphức tạp cao

1.3.2 Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh

Một trong những mục tiêu quan trọng hàng đầu của công nghệ xử lýhình ảnh hiện nay là sự thể hiện hình ảnh thế giới thực với đầy đủtính phong phú và sống động trên máy tính Vấn đề nan giải tronglĩnh vực này chủ yếu do yêu cầu về không gian lưu trữ thông tinvượt quá khả năng lưu trữ của các thiết bị thông thường Có thểđơn cử một ví dụ đơn giản: 1 ảnh có chất lượng gần như chụp đòihỏi vùng nhớ 24 bit cho 1 điểm ảnh, nên để hiện ảnh đó trên mànhình máy tính có độ phân giải tương đối cao như 1024x768 cần xấp

xỉ 2.25Mb Với các ảnh “thực” 24 bit này, để thể hiện được một hoạtcảnh trong thời gian 10 giây đòi hỏi xấp xỉ 700Mb dữ liệu, tức làbằng sức chứa của một đĩa CD-ROM Như vậy khó có thể đưa côngnghệ multimedia lên PC vì nó đòi hỏi một cơ sở dữ liệu ảnh và âmthanh khổng lồ

Đứng trước bài toán này, khoa học máy tính đã giải quyết bằngnhững cải tiến vượt bậc cả về phần cứng lẫn phần mềm Tất cả cáccải tiến đó dựa trên ý tưởng nén thông tin hình ảnh trùng lặp Tuynhiên cho đến gần đây, các phương pháp nén thông tin hình ảnh đều

có 1 trong 2 yếu điểm sau:

∗ Cho tỉ lệ nén không cao Đây là trường hợp của các phương phápnén không mất thông tin

∗ Cho tỉ lệ nén tương đối cao nhưng chất lượng ảnh nén quá kém

so với ảnh ban đầu Đây là trường hợp của các phương pháp nén mấtthông tin, ví dụ chuẩn nén JPEG

Các nghiên cứu lý thuyết cho thấy để đạt một tỷ lệ nén hiệu quả

CHƯƠNG 1 LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL

(kích thước dữ liệu nén giảm so với ban đầu ít nhất hàng trăm lần),phương pháp nén mất thông tin là bắt buộc Tuy nhiên một vấn đềđặt ra là làm thế nào có được một phương pháp nén kết hợp cả tínhhiệu quả về tỷ lệ nén lẫn chất lượng ảnh so với ảnh ban đầu? Phươngpháp nén ảnh phân hình được áp dụng gần đây bởi Iterated Systemđáp ứng được yêu cầu này

Như đã biết, với một ánh xạ co trên một không gian metric đầy

đủ, luôn tồn tại một điểm bất động xr sao cho:

Xr = f (xr)Micheal F.Barnsley đã mở rộng kết quả này cho một họ các ánh xạ

co, F.Barnsley đã chứng minh được với một họ ánh xạ như vậy vẫntồn tại một “điểm” bất động xr Để ý rằng với một ánh xạ co, ta luôntìm được điểm bất động của nó bằng cách lấy một giá trị khởi đầurồi lặp lại nhiều lần ánh xạ đó trên các kết quả thu được ở mỗi lầnlặp Số lần lặp càng nhiều thì giá trị tìm được càng xấp xỉ chính xácgiá trị của điểm bất động Dựa vào nhận xét này, người ta đề nghịxem ảnh cần nén là “điểm bất độn” của một họ ánh xạ co Khi đó đốivới mỗi ảnh chỉ cần lưu thông tin về họ ánh xạ thích hợp, điều nàylàm giảm đi rất nhiều dung lượng cần có để lưu trữ thông tin ảnh.Việc tìm ra các ảnh co thích hợp đã được thực hiện tự động hoánhờ quá trình fractal một ảnh số hoá do công ty Iterated Systemđưa ra với sự tối ưu về thời gian thực hiện Kết quả nén cho bởi quátrình này rất cao, có thể đạt tỷ lệ 10000: 1 hoặc cao hơn Một ứngdụng thương mại cụ thể của kỹ thuật nén phân hình là bộ bách khoatoàn thư multimedia với tên gọi “Microsoft Encarta” được đưa ra vàotháng 12/1992 Bộ bách khoa này bao gồm hơn 7 giờ âm thanh, 100hoạt cảnh, 800 bản đồ màu cùng với 7000 ảnh chụp cây cối, hoa quả,con người, phong cảnh, động vật, Tất cả được mã hoá dưới dạngcác dữ liệu fractal và chỉ chiếm xấp xỉ 600Mb trên một đĩa compact.Ngoài phương pháp nén phân hình của Barnsley, còn có một phươngpháp khác cũng đang được phát triển Phương pháp đó do F.H.Preston,A.F.Lehar, R.J.Stevens đưa ra dựa trên tính chất của đường congHilbert Ý tưởng cơ sở của phương pháp là sự biến đổi thông tin n

CHƯƠNG 1 LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL

chiều về thông tin một chiều với sai số cực tiểu Ảnh cần nén có thểxem là một đối tượng 3 chiều, trong đó hai chiều dùng để thể hiện vịtrí điểm ảnh, chiều thứ ba thể hiện màu sắc của nó Ảnh được quéttheo thứ tự hình thành nên đường cong Hilbert chứ không theo hàng

từ trái sang phải như thường lệ để đảm bảo các dữ liệu nén kế tiếpnhau đại diện cho các khối ảnh kế cạnh nhau về vị trí trong ảnh gốc.Trong quá trình quét như vậy, thông tin về màu sắc của mỗi điểmảnh được ghi nhận lại Kết quả cần nén sẽ được chuyển thành mộttập tin có kích thước nhỏ hơn rất nhiều vì chỉ gồm các thông tin vềmàu sắc Phương pháp này thích hợp cho các ảnh có khối cùng tôngmàu lớn cũng như các ảnh dithering

1.3.3 Ứng dụng trong khoa học cơ bản

Có thể nói cùng với lý thuyết tôpô, fractal đã cung cấp cho khoahọc một công cụ khảo sát tự nhiên vô cùng mạnh mẽ, vật lý học

và toán học thế kỷ XX đối đầu với sự xuất hiện của tính hỗn độntrong nhiều quá trình có tính quy luật của tự nhiên Từ sự đối đầu

đó, trong những thập niên tiếp theo đã hình thành một lý thuyếtmới chuyên nghiên cứu về các hệ phi tuyến, gọi là lý thuyết hỗn độn

Sự khảo sát các bài toán phi tuyến đòi hỏi rất nhiều công sức trongviệc tính toán và thể hiện các quan sát một cách trực quan, do đó

sự phát triển của lý thuyết này bị hạn chế rất nhiều Chỉ gần đâyvới sự ra đời của lý thuyết fractal và sự hỗ trợ đắt lực của máy tình,các nghiên cứu chi tiết về sự hỗn độn mới được đẩy mạnh Vai tròcủa fractal trong lĩnh vực này thể hiện một cách trực quan các cư

xử kỳ dị của các tiến trình được khảo sát, qua đó tìm ra được cácđặc trưng hoặc các cấu trúc tương tự nhau trong các ngành khoa họckhác nhau Fractal đã được áp dụng vào nghiên cứu lý thuyết từ tính,

lý thuyết các phức chất trong hoá học, lý thuyết tái định chuẩn vàphương trình Yang & Lee của vật lý, các nghiệm của các hệ phươngtrình phi tuyến được giải dựa trên phương pháp xấp xỉ liên tiếp củaNewton trong giải tích số, Các kết quả thu được giữ vai trò rấtquan trọng trong các lĩnh vực tương ứng

CHƯƠNG 1 LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL

1.4 Fractals trong thiên nhiên

Những hình dáng quen thuộc, có thể bạn chưa bao giờ được nghe,nhưng nó ở xung quanh bạn; những hình dáng lởm chởm, lặp đi lặplại được gọi là Fractals Chúng tồn tại khắp nơi trong thế giới sinhhọc Đó là những giải pháp mà thiên nhiên đã lựa chọn để tồn tại vàthích nghi, phát triển và phát triển liên tục Fractals như lá phổi củachúng ta, thận và các mạch máu cũng vậy, hoa lá, cây cối, các hiệntượng của thời tiết, nhịp đập của trái tim và những tinh chất banđầu của cuộc sống Nhưng cần đến một nhà toán học táo bạo, chỉ ra

nó hoạt động như thế nào Những nỗ lực dũng cảm của Mandelbrotdành cho các giả thuyết của thế kỷ cũ về các hình dạng khác nhaucủa thiên nhiên Ông đã làm sáng tỏ cho mọi người có thể nhận rarằng, các hình dạng phức tạp trong tự nhiên luôn luôn tồn tại, nhưngcông thức thì chưa được tìm thấy Nhiệm vụ của các nhà toán học

là làm cho cái không nhìn thấy thành nhìn thấy, tìm trật tự trongcái hỗn loạn Benoit Mandelbrot là người phát minh và truyền cảmhứng, một con người tràn đầy tự tin và bản lĩnh, xuất sắc đứng rangoài dòng chảy Mandelbrot có thể nhìn thấy những gì mà ngườikhác còn ngờ vực, cho đến khi ông ta chỉ ra cho họ cái mà họ chưa

hề biết trước đó Bạn có thể nhìn thấy nó ở những đám mây (xemhình 1.5), dãy núi, thậm chí bên bên trong cơ thể con người và cảnhưng hoa văn nghệ thuật xuất hiện trong cuộc sống thường ngàycủa chúng ta.(xem hình ??)

Chìa khóa của hình học Fractals và những gì ẩn dấu với mọi ngườicho đến khi Mandelbrot phân loại chúng, đó là cách nhìn vào sự vật.Nếu bạn chỉ nhìn ra bên ngoài bạn thấy nó rất phức tạp và có lẽchẳng có gì liên quan đến toán học Những gì Mandelbrot chỉ ra sẽkhông phải là những gì bạn nhìn thấy mà là cái nền tảng tạo ra cái

mà bạn nhìn thấy Nó là một quá trình lặp lại vô hạn, điều đó dẫnđến một tính chất cơ bản của Fractals mà các nhà toán học gọi là

“tự đồng dạng ” Tư tưởng chính là luôn luôn khi bạn thu nhỏ hayphóng to một bộ phận nào đó của một đối tượng thì trông vẫn nhưtoàn đối tượng; nếu bạn nhìn một vật thể nào đó trong tỉ lệ, sau đólấy một mảnh nhỏ của nó và phóng to ra thì trông nó gần như lúc

CHƯƠNG 1 LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL

Hình 1.5: Hình đám mây fractal

đầu Cái toàn bộ của Fractals thì cũng giống như một bộ phận, giốngnhư một phần nhỏ hơn tiếp theo, tính chất tương tự của mẫu cứ thếduy trì (xem hình 1.7)

Một trong những ví dụ quen thuộc nhất là sự tự đồng dạng củacây Nếu ta nhìn vào mỗi nhánh, cành chẻ ra từ mỗi nhánh của cây,cũng là những gì bạn nhìn thấy trong mỗi cành, là sự tương tự trongtoàn bộ cái cây , từ gốc cho đến ngọn, khuôn mẫu của các nhánh

là như nhau Và cứ thế, mô hình của các cành giống hệt nhau trongkhắp cây theo cách đó đến tận ngọn.(xem hình 1.8)

Chúng ta nhìn thấy sự tự đồng dạng ở khắp nơi, từ các cây san hôdưới lòng biển tới bề mặt của mặt trăng (hình 1.9)

Nhưng sự quyến rũ của Mandelborot với những hình dạng bấtthường đã đưa ông ta đối đầu trực tiếp với toán học truyền thốnghàng thế kỷ trước Trong toán học truyền thống mọi thứ phải trơn

và mềm mại Nhưng những gì Mandelbrot mở ra là khám phá độ thô

CHƯƠNG 1 LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL

Hình 1.6: Những hình ảnh Fractal trong đời sống hằng ngày

ráp, chúng ta sử dụng toán học để xây dựng kim tự tháp, để nghiêncứu quỹ đạo chuyển động của các hành tinh, vân vân Chúng ta trởnên quen thuộc với các mô hình nào đó mà liên quan tới toán học,

có thể thiết kế Phần lớn những gì con người làm ra như là đườngthẳng, đường tròn và những hình dáng hình học hoản hảo Nhữnggiả định cơ bản rằng đối với toán học cổ điển tất cả mọi thứ phảicực kỳ chuẩn mực , nghĩa là bạn làm mọi thứ phải thẳng, các đườngtròn, các tam giác, các bề mặt phẳng Toán học cổ điển là thực sựhọc những gì mà chúng ta tự tạo ra thuộc đối tượng của toán học cổđiển

Những gì tạo ra trong tự nhiên, những thứ đã tồn tại trước khichúng ta có mặt ở hành tinh này như cây cối, thực vật, mây, và cáchiện tượng thời tiết, những thứ đó vượt ra ngoài toán học cổ điển.Đến những năm 70s khi Benoit Mandelbrot giới thiệu một môn hìnhhọc mới, một trật tự ẩn dấu trong cái hỗn độn và có thể viết côngthức để mô tả chúng như hình đám mây, bông hoa và cà cây cối, kể

cả bộ não con người cũng có thể dùng công thức để mô tả (hình 1.10)Câu hỏi lớn đặt ra là Tại sao đến tận những năm 1970 chúng tamới biết đến nó Trước khi người ta viết cuốn sách “Fractals hình học

CHƯƠNG 1 LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL

Hình 1.7: Tập Mandelbrot

của tự nhiên” thì Fractals đã tồn tại trong các bức tranh cổ của Nhậtnhư Hokusai và nhiều người nhận ra rằng toán học rất gần với nghệthuật chỉ là họ sử dụng ngôn ngữ khác mà thôi

Vào những năm 1940, một nhà khoa học người Anh Lewis, son đã quan sát có sự thay đổi khác biệt lớn giữa các lần đo khác nhauthì độ dài của bờ biển thay đổi cực lớn, nó phụ thuộc vào cái thước

Richard-đo của bạn dài thế nào và bạn kiên nhẫn ra sao Nếu bạn Richard-đo đường

bờ biển của nước Anh với cái thước 1 dặm, bạn sẽ đo bằng nhiều cáithước, và bạn đo được nhiều dặm Nếu bạn đo bằng cái thước ngắnhơn, kết quả sẽ dài hơn Cứ mỗi lần bạn sử dụng cái thước ngắn hơn, bạn nhận được một số dài hơn Mandelbrot nhận ra rằng vết lõmngày càng nhỏ và đường Kock Curve chính là cái chúng ta cần, để

mô phỏng đường bờ biển ông viết một bài báo nổi tiếng trên tạp chíSclence gọi là“độ dài của đường bờ biển nước Anh”, đường bờ biểntrong thuật ngữ hình học, Mandelbrot gọi là một Fractal (xem hình

CHƯƠNG 1 LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL

Hình 1.8: Cây Fractal trong thiên nhiên

Hình 1.9: Hình ảnh cây san hô và bề mặt trăng

1.11)

CHƯƠNG 1 LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL

Hình 1.10: Bộ não người

Hình 1.11: Bờ biển nước Anh

Chương 2

Những kiến thức cơ bản

Tới tận bây giờ chúng ta vẫn chưa có một định nghĩa chính xác cho

“Fractals” Nhưng những ý tưởng nền tảng đằng sau nó được dựatrên sự tự đồng dạng Nói một cách nôm na sự tự đồng dạng nghĩa

là một bộ phận thì đồng dạng với cái toàn bộ Dựa trên ý tưởng nàyHutchinson [20] đã giới thiệu về tập tự đồng dạng

2.1 Hê hàm lặp và Fractal (attractor) của nó

Fractals là các tập hợp hoặc thực thể mà khi ta phóng đại thì nótrông giống như cũ Một mảnh nhỏ của những tập như thế thì đồngdạng với cả mảnh Những tập như vậy gọi là “tự đồng dạng” Trongluận văn này chúng ta sẽ nghiên cứu các Fractals trong không gian

R2 Chúng ta nghiên cứu một lớp các tự đồng dạng của IF S hoặc

áp dụng liên tục nhiều lần các ánh xạ Ở chương này đưa ra các kháiniệm cơ bản về tập tự đồng dạng và các đồ thị lân cận mà chúng ta

sẽ sử dụng trong các chương tiếp theo Một trong những khái niệm

cơ bản và quan trọng nhất về Fractals là IF S và tính duy nhất củatập compact mà nó bất biến đối với IF S [20, 22]

CHƯƠNG 2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

2 f là ánh xạ đồng dạng nếu :

k f (x) − f (y) k= r k x − y kvới r là số dương

3 f là ánh xạ affine nếu :

f (x) = Ax + vvới A là ma trận vuông, v là vector tịnh tiến trong Rd.

Định nghĩa 2.2 Một họ hữu hạn các ánh xạ co {f1, f2, , fm},với m ≥ 2 được gọi là hệ hàm lặp ký hiệu là IFS (Iterated Func-tion System)

Chú ý 2.3 1 Ánh xạ đồng dạng là co nếu r < 1

2 Ánh xạ affine là co nếu modun của mọi giá trị riêng của matrận A nhỏ hơn 1 Trong trường hợp này, modun lớn nhất củacác giá trị riêng của ma trận A gọi là nhân tử co và ký hiệu

là r

3 Nếu ánh xạ affine trong Rd được viết dưới dạng

f (x) = rU x + vvới U là ma trận trực giao, thì nó được gọi là ánh xạ đồngdạng

Như vậy ánh xạ đồng dạng là trường hợp riêng của ánh xạ affine.Định lý nổi tiếng sau đây nói về mỗi một IF S thì có một tập bấtbiến compact

Định lý 2.4 [20, 22] Cho {f1, f2, , fm} là một IFS, sẽ có mộttập compact khác rỗng F sao cho F =

m

[

i=1

fi(F )

Tập F này được gọi là Fractals hoặc attractor của IF S

Chúng ta sử dụng ký hiệu F cho các phép biến đổi trong khônggian của tất cả các tập compact trong Rd với khoảng cách Hausdorff

CHƯƠNG 2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

tới chính nó được địng nghĩa bởi

với B là tập compact bất kỳ trong Rd

Định lý 2.5 [20, 22] Cho {f1, f2, , fm} là một IFS Với mọitập compact B, ta có

lim

n→∞Fn(B) = F,với F là attractor của F

Định lý này cung cấp thuật toán để tạo ra các attractors (xem 3.8trong [25])

2.2 Địa chỉ của Fractal

u = {i1i2 in}, đặt fu = fi1fi2 fin, Fu = fu(E), Fu gọi là mảnhcon bậc n của F Độ dài của u được ký hiệu là |u| = n Nhân tử cocủa ánh xạ co fu trong Rd ký hiệu là ru , ru = ri1ri2 rin trong đó

σ được gọi là ánh xạ dịch chuyển

Định lý 2.7 Giả sửF là một Fractal của IFS {fi}, i = 1, 2, , m.Cho u = i i i ∈ In, và F = f (E), thì với u = i i ∈

CHƯƠNG 2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

∞

\

i=1

Fi1i2 in

thì π(I∞) = F Hơn nữa, với mọi i ∈ {1, 2, , m}, π◦σi = fi◦π

Chú ý 2.8 Ta định nghĩa u = uu nếu u ∈ I∗ và u 6= ∅ Khi

đó π(u) là điểm cố định duy nhất của fu

Chứng minh

Vì fu là co, nó có điểm duy nhất Theo định lý 2.7, π(u) =π(uu) = fu(π(u)) Vậy π(u) là điểm cố định của fu 2Cho x tùy ý, với mọi y bất kỳ trong Fractal F được biểu diễn dướidạng:

y = lim

n→∞fi1 in(x)với u = (in)∞n=1 ∈ I∞ thì u được gọi là địa chỉ của điểm y

Bây giờ chúng ta giải thích về từ và địa chỉ trong Fractal Fractal

F của hệ hàm IF S, {f1, f2, , fm} bao gồm các mảnh copy nhỏ

Fi = fi(F ) của chính nó, mỗi Fi bao gồm những mảnh copy nhỏhơn Fij = fi(fj(F )), tiếp theo Fij lại bao gồm những mảnh copynhỏ hơn nữa Fijk = fi(fj(fk(F ))), và cứ thế Với bất kỳ số nguyên

n chúng ta có thể xem xét tập In của các từ u = i1i2 in từ tập chỉ

số I = {1, 2, , m} Định nghĩa fu = fi1fi2 fin và Fu = fu(F ),Chúng ta có F = S

{Fu | u ∈ In} Khi n ra vô hạn, suy ra ánh

xạ liên tục π : I∞ −→ F Tập I∞ là tập các từ với độ dài vô hạn

u ∈ In gọi là một từ có độ dài n, và u gọi là địa chỉ của mảnh

Fu = fu(F )

Trong hình 2.1 tam giác Sierpinski, mảnh bị mất là F31, F321, F332

và F21 Có một số điểm trong tam giác Sierpinski có hai địa chỉ nhưđiểm M có hai địa chỉ là 12 và 21, điểm A chỉ có một địa chỉ 1

CHƯƠNG 2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

Hình 2.1: Địa chỉ của Fractals

2.3 Chiều Hausdorff

Với mục đích trả lời cho câu hỏi : “Fractal lớn như thế nào? khi nàohai fractals giống nhau theo một nghĩa nào đó? ” Độ đo Lebesguekhông thể có một câu trả lời hoàn chỉnh cho những câu hỏi trên vìchúng thường bằng 0 Một vài độ đo được được giới thiệu nhưng vớicác tập tự đồng dạng hoặc tự đồng dạng affine thì độ đo Hausdorff

và chiều Hausdorff được nghiên cứu phổ biến hơn [14, 22, 23] Chúng

ta nhắc lại một số thuật ngữ cơ bản

Một lực lượng các tập con hữu hạn Ui của Rd gọi là δ - baocủa tập E ⊂ Rd nếu E ⊂

∞

S

i=1

Ui và |Ui| ≤ δ với mọi i ở đây

|Ui| = max{k x − y k |x, y ∈ Ui} Với mọi s, δ > 0, E ⊂ Rdchúng ta định nghĩa

δ−→0Hsδ(E) tồn tại với mỗi E ∈

Rd, giói hạn này được gọi là s- chiều của độ đo Hausdorff của E, kýhiệu hởi Hs(E)

Một số tính chất cơ bản của độ đo Hausdorff

CHƯƠNG 2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Hs(.) là độ đo Borel thông thường trong Rd Nghĩa là

(a) với mọi tập con A ⊂ Rd và tập Borel B ⊂ Rd,

3 Nếu f : E −→ Rd là một 2-Lipschitz, tức là ∃ c1, c2 sao cho

c1|x − y| ≤ |f (x) − f (y)| ≤ c2|x − y|, ∀x, y ∈ E,

thì

cs1Hs(E) ≤ Hs(f (E)) ≤ cs2Hs(E).

4 Với mọi E ⊂ Rd, tồn tại một số s0 sao cho Hs(E) = ∞ với mọi

s < s0 và Hs(E) = 0 với mọi s > s0.

Định nghĩa 2.9 Với mọi E ⊂ Rd, số s0 = inf{s : Hs(E) = 0} = sup{s : Hs(E) = ∞} được gọi là chiều Hausdorff của E,

ký hiệu bởi dimH E.

Một số tính chất cơ bản về chiều Hausdorff là:

1 Tính đơn điệu: Nếu E1 ⊂ E2 thì dimH E1 ≤ dimH E2.

2 Chiều của một tập mở khác rỗng: Nếu E ⊂ Rd là một tập mởkhác rỗng thì dimH E = d.

3 2-Lipschitz bất biến : Nếu f : E −→ Rd là 2-Lipschitz thìdimH E = dimH f (E) Cụ thể, nếu f là một đồng cấu thìdimH E = dimH f (E).

CHƯƠNG 2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

Định nghĩa này giữ vai trò quan trọng trong lý thuyết hình họcFractals hiện đại nhưng không có tính thực tiễn vì việc xác định sốchiều theo định nghĩa này rất phức tạp ngay cả với trường hợp tập

A rất đơn giản Do đó, xuất phát từ định nghĩa này, Mandelbrot đãđưa ra khái niệm số chiều fractal tổng quát dễ xác định hơn với badạng đặc biệt áp dụng cho từng loại đối tượng (tập A) cụ thể Sauđây chúng tôi sẽ trình bày các định nghĩa về các dạng đặc biệt đó,đồng thời chỉ ra mối liên hệ giữa chúng với định nghĩa số chiều củaHausdorff

CHƯƠNG 2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

Hình vuông thì được hợp bởi bốn hình vuông (N=4) nhỏ đồngdạng với chính nó, có tỉ lệ bằng nửa (r=1/2) hình vuông ban đầu

1 = 4.(12)s suy ra s = 2

Khối lập phương thì được hợp bởi 8 khối lập phương (N=8) nhỏđồng dạng với chính nó, có tỉ lệ bằng nửa (r=1/2) khối lập phươngban đầu

1 = 8.(12)s suy ra s = 3

Tam giác Sierpinski thì được hợp bởi 3 mảnh(xem hình 2.3) (N=3)nhỏ đồng dạng với chính nó, có tỉ lệ bằng nửa (r=1/2) tam giác banđầu

Hình 2.3: Tam giác Sierpinski - gasket

1 = 3.( 1

2 )

ssuy ra s = ln 3

ln 2 ≈ 1.58496

Ta định nghĩa chính xác chiều tự đồng dạng như sau:

Định nghĩa 2.10 Cho trước một cấu trúc tự đồng dạng được chiathành N phần, hệ số thu nhỏ của mỗi phần so với cấu trúc banđầu là r Ký hiệu Ds là đại lượng xác định bởi:

Ds = ln N

ln 1/rKhi đó Ds được gọi là số chiều tự đồng dạng của cấu trúc đó

CHƯƠNG 2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

Ví dụ 2.11 Xét một hình vuông được chia thành 9 hình vuôngnhỏ với tỷ lệ đồng dạng là 1/3 Khi đó số chiều tự đồng dạng củahình vuông ban đầu được xác định bởi:

Ds = ln 9

ln 1 1/3

Ds = ln 27

ln 1 1/3

= ln 3

ln 2 = 1.58496

∪fi(V ) ⊂ Vvà

fi(V ) ∩ fj(V ) = ∅, ∀i 6= j ∈ {1, 2, , n}.

Khi đó tập V gọi là tập mở tương ứng của S

3.2 Mối liên hệ giữa chiều Hausdorff và chiều tự đồng dạng

Điều kiện OSC quyết định sự chờm nhau của các mảnh con Fi củafractalF Nếu một IF S thỏa mãn điều kiện OSC thì chiều Hausdorff

và chiều tự đồng dạng của attractor là trùng nhau

Định lý 3.2 (see [23]) Nếu ci ∈ (0; 1) là hệ số co của fi với

i = 1 n Giả sử hệ hàm IFS {f1, f2, , fn} thỏa mãn điều kiện

mở thì khi đó chiều Hausdoff của Fractal của IF S bằng số chiều

tự đồng dạng, kí hiệu là s và được tính bởi công thức:

n

X

i=1

csi = 1

CHƯƠNG 3 ÁNH XẠ LÂN CẬN

3.3 Thuật toán kiểm tra sự phân cách giữa các mảnh

Tuy nhiên không dễ dàng để kiểm tra điều kiện mở Năm 1992 Bandt

va Graf đã giới thiệu một tiêu chuẩn đại số tương đương với OSC [8].Cho hệ hàm IFS {f1, f2, , fn}, địa chỉ u, v ∈ I∗ , u = u1u2 . và

v = v1v2 ., với uk, vk ∈ I, k ∈ N Nếu N = {h = fu−1fv|u, v ∈

I∗, u1 6= v1} Thì công thức đại số của điều kiện mở được trình bày

Lặp lại quá trình này để nhận được những ánh xạ thuộc khônggian lân cận U của id tới khi mọi ánh xạ chạy ra ngoài tập mở U.Điều này được khẳng định bởi bổ đề sau :

Mệnh đề 3.4 [?, Bổ đề 4.1] Cho đồng cấu fi = rAi(x + ai), với

r ∈ (0, 1), và Ai là ma trận trực giao Cho U là không gian lâncận của id trong không gian các tự đồng cấu được định nghĩa bởi:

CHƯƠNG 3 ÁNH XẠ LÂN CẬN

Hình 3.1: Ánh xạ lân cận

Vị trí tương đối của mảnh F1 và mảnh F2 tương đương với vị trí

tương đối của mảnh F và mảnh f1−1f2(F ) Định nghĩa 3.5 khá tổng

quát dùng cho các Fractals với các hàm co trong IF S có các hệ số

fu−1fv, ru,v = rv

ru.Chúng ta nói 2 mảnh Fu, Fv là lân cận nếu

và Wang [?] mà phụ thuộc vào sự tồn tại của một tập mở khi nhân

tử co của ánh xạ co trong IFS là giống nhau, ta chọn các từ u và v có

độ dài như nhau, u, v ∈ In, u = u1u2 , v = v1v2 , u1 6= v1, ru,v

CHƯƠNG 3 ÁNH XẠ LÂN CẬN

= 1 Như vậy định nghĩa 3.5 là sự mở rộng định nghĩa bởi Bandt[12]

khi ánh xạ co giống nhau Ánh xạ h ∈ V được gọi là ánh xạ lân cận

Chúng ta lưu ý rằng nghịch đảo của ánh xạ lân cận là ánh xạ lân

cận vì khi h = fu−1fv thì h−1 = fv−1fu và 2 điều kiện trên vẫn thỏa

mãn Khi tập hợp các ánh xạ lân cận là hữu hạn thì tập tự đồng

dạng F gọi là Fractal hữu hạn Khái niệm này đã được nghiên cứu

một cách kỹ càng bởi Lau, Ngai, Hui [?], Bandt và Hui [?] và gần

đây Bandt và Mesing [12] Ở [12] Bandt đưa ra một định nghĩa rất

rõ ràng Mỗi kiểu là tương quan vị trí giữa hai mảnh giao nhau của

Fractal Những kiểu này được diễn tả ở ánh xạ lân cận và đồ thị lân

r iru,v.Bây giờ chúng ta giải thích thuật toán đệ quy để nhận được các

ánh xạ lân cận và vẽ được đồ thị của nó

Chương 4

N-gon fractals và Tiling fractals

Trong chương này chúng tôi đưa ra một số kết quả chính của luậnvăn, trình bày cách xây dựng các ánh xạ co với hệ số co là số phứcdựa trên những kiến thức về đồ thị lân cận đã trình bày ở chương 3,đồng thời giới thiệu một số tập tự đồng dạng mà là tiling



=

cosβ sin β



Từ hình vẽ 4.1 ta có:

CHƯƠNG 4 N-GON FRACTALS VÀ TILING FRACTALS

Hình 4.1: Minh họa phép quay góc α tâm 0



=

cos α cos β − sin α sin β sin α cos β + cos α sin β

 x y



= Rα.

x y



= Rα.M(đpcm)

2Mệnh đề 4.2 Phép quay tâm I(x0; y0) góc α là ánh xạ

 x y

+

(x0 − x0cos α + y0sin α) (y0 − x0 sin α − y0cos α)