KHẢO SÁT TRẠNG THÁI NHIỆT CỦA MẶT ĐƯỜNG BÊ TÔNG XI MĂNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN pptx

KHẢO SÁT TRẠNG THÁI NHIỆT CỦA MẶT ĐƯỜNG BÊ TÔNG XI MĂNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ThS.. TRỊNH VĂN QUANG Bộ môn Kỹ thuật Nhiệt Khoa Cơ khí Trường Đại học Giao thông Vận tải Tóm

KHẢO SÁT TRẠNG THÁI NHIỆT CỦA MẶT ĐƯỜNG BÊ TÔNG XI MĂNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

ThS NGUYỄN ĐĂNG KHOÁT

PGS TS TRỊNH VĂN QUANG

Bộ môn Kỹ thuật Nhiệt Khoa Cơ khí

Trường Đại học Giao thông Vận tải

Tóm tắt: Bài báo trình bày cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để đánh giá

trạng thái nhiệt của mặt đường bê tông xi măng dưới tác động của thay đổi nhiệt độ không khí

và bức xạ măt trời

Summary: The paper presents the way to use the finite element method to study thermal

state of the concrete surface of the road under impact of the varying air temperature and solar

radiation

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Bài toán trạng thái nhiệt mặt đường đến nay đã có nhiều tác giả nghiên cứu [1], [2], Với

mục đích mở rộng các phương pháp tính nhiệt, bài viết trình bày cách sử dụng phương pháp

(phương pháp) phần tử hữu hạn (PTHH) trong tính nhiệt, để xác định nhiệt độ và đưa ra các nhận

định về trạng thái nhiệt của tấm bê tông (BT) dưới tác động của các yếu tố khí hậu thay đổi

CT 2

II PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT

2.1 Giới hạn bài toán, dữ liệu ban đầu

+ Khảo sát tấm BT dày L = 0,3m, dài và rộng 7,5m đặt trên nền đất; BT có hệ số dẫn nhiệt

k = 1,265W/m0C; khối lượng riêng ρ = 2200kg/m3; nhiệt dung riêng c = 1215J/kg0C; mặt trên

toả nhiệt với không khí với h = 7,89W/m20C, và hấp thụ tia mặt trời với ε = 0,65 Nền đất có:

kN = 0,52W/m0C; ρN = 2050kg/m3; cN = 1840J/kgđộ Ở độ sâu đủ lớn nền đất có nhiệt độ không

đổi là 28,8oC Nhiệt độ không khí TK, bức xạ mặt trời E trong ngày tháng 6 thay đổi theo số liệu

của ngành khí tượng, bảng 1, tốc độ gió trung bình w = 2,4 m/s

Bảng 1

C)

(

E(W/m 2 ) 0 34,89 209,3 407,0 610,5 779,2 895,5 930,4 872,2 744,3 593,1 401,2

C)

(

Truyền nhiệt qua tấm BT có bề dày nhỏ hơn rất nhiều so với bề rộng và dài, được mô tả bởi

phương trình vi phân dẫn nhiệt một chiều: ρ.c T k 22

T

∂ ∂ (1); với x là bề dày tính từ mặt trên

Điều kiện biên toả nhiệt và bức xạ tại mặt trên x=0, là: ( m K

T

x

∂

∂ ) (2) Với T, Tm và

TK tương ứng là nhiệt độ trong tấm bê tông, nhiệt độ bề mặt và không khí (oC), τ là thời gian (s),

x là chiều sâu kể từ mặt tấm (m), q dòng bức xạ mặt trời (W/m2)

2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn

1 Rời rạc miền nghiệm

Bề dày tấm bê tông được rời rạc thành 12 phần tử (PT) ký hiệu 1,2,3, mỗi PT dài

là l = 0,3m/12 = 0,025m, và 13 nút ký hiệu 1,2,3,…,13 Nền đất chọn một PT thứ 13, dài l và

nút 14, hình 1

Hình 1 Sơ đồ rời rạc lớp bê tông thành các PTHH

2 Chọn hàm nội suy

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

=

l l

x x 1 N N

N i j (3); với l là chiều dài của một PT, x là toạ độ trong phần tử, nên nhiệt độ là T=NiTi+NjTj=[ ]N{ }T (4); Ti và Tj là nhiệt độ tại hai

nút của PT Đạo hàm của hàm nội suy [B], gradient nhiệt độ [g] là

l

1 x

N x

N x

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

=

∂

T

T 1 1 l

1 T x

N T x

N x

T

j

1 j

j i

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

=

∂

CT 2

3 Thiết lập phương trình đặc trưng của phần tử

Có nhiều phương pháp thiết lập Phương trình ma trận đặc trưng của phần tử Trong tính

nhiệt, phương pháp Biến phân (Rayleigh Ritz) và Galerkin là hai phương pháp quan trọng nhất

vì cho kết quả chính xác như nhau Ở đây chọn phương pháp Galerkin, lấy hàm trọng số là hàm

nội suy Ni

Phương pháp Galerkin yêu cầu (1) thoả: dV 0

τ

T ρc x

T k

2

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

∫ (7) Lấy tích phân từng phần số hạng đầu của (7) có

x

N x

T k dS x

T k N dydz x

T kd N dV x

T x k N

V

i S

i V

i V

∂

∂

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

đối lưu, bức xạ Điều kiện biên (2) tr

(8)

(T T )dS h

N qdS N dS

S i ∂

T k

S i −

−

−

=

∂

∫

∫

∫ (9)

CT 2

(4), (8) và (9) vào (7) sắp xếp lại sẽ được:

Thay

x

N x

N k τ

τ T dV N

S i

S i j

S i j V

j i j

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂ +

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

∂

iết (10) gọn dạng ma trận là

τ

T

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

∂

∂ (11)

(1 trận đặc trưng của phần tử t

dung,[ ]=[ ∫ ( [ ] [ ] ) ]

V

T N N ρ.c

C dV (12); [K] là ma trận độ cứng, [ ] ( [ ] [ ]T ) ( [ ] [ ]T )

K =⎡ k B B dV+ h N N dS⎤

(13); {f} là véc tơ tải nhiệt,{ }f =− [ ]N qdS h[ ]N TKdS

S T S

T

∫

ạn (SPHH) hay PTHH

phương pháp SP Theo phương pháp SPHH thì

4 Rời rạc theo thời gian

Có thể rời rạc (11) bằng phương pháp Sai phân hữu h

a Rời rạc theo thời gian bằng HH

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧ Δ

−

≈

⎭

⎬

⎩

⎨∂

+

τ τ

P

T

… (11) trở thành:

{ [ ] [ ] }{ }p 1 { [ ] [ ] }{ }p ( { }p 1 { }p)

f ξ) (1 f

ξ Δτ T K ξ)Δ

(1 C T

K ξ.Δτ

(15) Trong đó Δτ là bước thời gian ứng với hai thời điểm liên tiếp p và (p+1); ξ= 0÷1 là tham

số tùy chọn: ξ= 0÷1 Nếu lấy ξ=1 không cần điều kiện hạn chế chọn bước thời gian Δτ

b Rời rạc bằng phương pháp PTHH: Có các phương pháp số dư trọng số khác nhau để rời

rạc (11) theo thời gian Dùng Galerkin, hàm trọng số là hàm nội suy bậc nhất của thời gian

Nτ:Nτ =[N p N +1] (16), phương pháp Galerkin yêu cầu (11) thoả:

[ ] [ ]K{ } { }T f 0

τ

T C N

Δτ

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

∂

∂

∫ dτ (17) Thay (4), (5) và (16) vào (17), biến đổi được: [ ] [ ]

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ +

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

+ +

p 1 p 1

p

f

f T

T 2 1

1 2 3

K 2 T

T 1 1

1 1 Δτ

Dẫn tới {[ ] [ ]} {[ ] [ ]} (f f )Δτ

2

1 T K Δτ C T

K Δτ

C + p+1 = − P + p + p+1 (19)

(19) yêu cầu Δτ phải chọn đủ nhỏ để nghiệm hội tụ Có thể tìm nghiệm Tp+1 từ (15) hoặc (19)

5 Tính các số hạng trong phương trình ma trận đặc trưng của phần tử một chiều

a Ma trận nhiệt dung phần tử [C] Thay các số liệu của bê tông và nền đất tính được

- Bê tông :[ ] ⎥ (20); - Nền đất: (21)

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

−

22276 11138

11138 22276

12 1

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

31434 15717

15717 31434 13

C

b Ma trận độ cứng phần tử [K]: - Các PT 1, 2÷12 và 13 tương ứng là

[ ] ⎢⎡ ⎥⎤+ ⎢⎡ ⎥⎤=⎢⎡− − ⎥⎤

−

−

=

50,6 50,6 50,6 58,49 0 0 0 1 hA 1 1 1 1 l

Ak

−

−

=

50,6 50,6 1

1 1 1 l

Ak

−

−

=

20,8 20,8

-20,8 -20,8 1

1

1 1 l

Ak

K13 (24) Với A là diện tích truyền nhiệt, A = 1m2

c Véc tơ phụ tải nhiệt {f}: (25); (26)

{ }

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧ +

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

=

0

qA A hT 0

1 A hT 0

1 qA

K

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

= 0

0

f 2-13

6 Lắp ghép các phần tử

- Ma trận nhiệt dung toàn hệ:

[ ]

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

41434 15717 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

15717 63710 11138 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 11138 44552 11138 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 11138 44552 11138 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 11138 44552 11138 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 11138 44552 11138 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 11138 44552 11138 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 11138 44552 11138 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 11138 44552 11138 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 11138 44552 11138 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 11138 44552 11138 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11138 44552 11138 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11138 22276 11138

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11138 22276

C

(27)

- Ma trận độ cứng toàn hệ [K], véc tơ phụ tải tổng {f}, sau khi áp đặt điều kiện biên tại lớp nền có TN =T14= 28,8 sẽ được các ma trận (28) và (29) dưới đây

CT 2

7 Giải hệ phương trình

Vì số liệu cho theo giờ (bảng 1), tức Δτ = 3600s, nên chọn (15) để giải sẽ thuận tiện hơn (19) Từ (15) suy ra: { }T P+1 ={ [ ]C +Δτ[ ]K }−1 *( [ ]C{ }T p +Δτ{ }f p+1) (30) Lấy {T}p=0 =28,8oC, thay (25), (26) và (27) vào (30), lập trình và giải (30) trên Matlab qua

192 thời điểm Kết quả được lập thành bảng và đồ thị

[ ]

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

71.4 -50.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-50.6 101.2 -50.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 -50.6 101.2 -50.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 -50.6 101.2 -50.6 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 -50.6 101.2 -50.6 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -50.6 101.2 -50.6 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 -50.6 101.2 -50.6 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 -50.6 101.2 -50.6 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 -50.6 101.2 -50.6 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 -50.6 101.2 -50.6 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 -50.6 101.2 -50.6 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -50.6 101.2 50.6

-0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -50.6 58.49

K

(28)

{ }

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡ +

=

28,8 599,04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 q 7,89.T K

f

( (29)

III KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ CÁC NHẬN XÉT

3.1 Diễn biến và thay đổi nhiệt độ tại 14 nút sau 192 thời điểm

Diễn biến và thay đổi nhiệt độ tại 14 nút sau 192 giờ thể hiện trên hình 2 và 3 Từ đó rút ra

các nhận xét:

1 Thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại 14 nút là 14 đường dao động, gồm 8 chu kỳ tương

ứng 8 ngày đêm Từ chu kỳ 5 trở đi, dao động trong các chu kỳ tuân theo cùng một quy luật,

nhiệt độ tại mỗi nút ở cùng thời điểm tương ứng trong ngày đã hội tụ tới giá trị ổn định

2 Kể từ chu kỳ thứ năm, có thể chọn nhiệt độ tại 24 thời điểm liên tiếp để đại diện cho thay

đổi nhiệt độ trong tấm bê tông qua một ngày đêm điển hình mùa hè Ở đây chọn từ thời điểm

154 đến 177

3.2 Đặc tính thay đổi nhiệt độ trong tấm bê tông qua một ngày đêm điển hình tháng 6

Đặc tính thay đổi nhiệt độ được biểu thị trên hình 4 và 5 Có thể rút ra nhận xét sau:

1 Thay đổi nhiệt độ tại mặt trên cùng là hàm chu kỳ, không biểu thị là hàm số cosin của

thời gian τ, nhưng càng vào sâu trong tấm BT, dạng dao động nhiệt độ càng tiến tới hình sin

2 Thời điểm nhiệt độ đạt cực đại chậm dần từ mặt trên cùng qua các lớp giữa, muộn nhất

là mặt dưới cùng Phân bố nhiệt độ tại mọi thời điểm trong ngày luôn là đường cong, hình 5

Hình 2 Toàn cảnh diễn

biến nhiệt độ sau 192 giờ

Hình 3 Thay đổi nhiệt

độ 14 nút sau 192 giờ

Hình 4 Thay đổi nhiệt

độ tấm BT 1 ngày đêm

Hình 5 Phân bố nhiệt độ tại các thời điểm

CT 2

3.3 Trao đổi nhiệt của tấm bê tông

Trao đổi nhiệt của tấm BT với môi trường trong một ngày đêm điển hình thể hiện trên hình

6 Có thể thấy: Trong một ngày đêm, tấm BT nhận nhiệt trong 11 tiếng, từ 7h sáng đến 17h

chiều (q > 0), thải nhiệt trong 13 tiếng, từ 18h đến 6h sáng hôm sau (q < 0) Tốc độ nhận nhiệt

tăng rất nhanh vào buổi sáng, giảm vào chiều Nhiệt nhận lớn nhất lúc 11,12 h Tốc độ toả nhiệt

toả nhiệt ra môi trường khá đồng đều

Đương nhiệt độ trung bình tuyến tính TTB

Miền bi nén Miền bi kéo

Đường cong nhiệt độ thực

Thiêt diên phẳng Thiêt diện phẳng sau biến dạng

Tm1

Tm2

L

CT 2

3.4 Nhận định về biến dạng nhiệt cục bộ của tấm BT

Hình 6 Lượng nhiệt tấm BT trao đổi với môi trường trong một ngày đêm

Hình 7

a Biến dạng nhiệt cục bộ : Theo lý thuyết biến dạng nhiệt [2], [3], khi phân bố nhiệt độ là

đường cong, thì trong vật liệu sẽ xuất hiện biến dạng nhiệt cục bộ εT và ứng suất nhiệt riêng σT Nếu εT > εKth (εKth là biến dạng kéo tới hạn), (hoặc σT > [σ] ([σ] là ứng suất cho phép)), vật liệu

sẽ bị rạn nứt, phá huỷ Biến dạng nhiệt cục bộ xác định bởi εT = βTΔT (26); với βT là hệ số giãn

nở nhiệt, ΔT là chênh lệch nhiệt độ cục bộ: ΔT(x) = TTB(x) – T(x) (27); với T(x) là nhiệt độ thực, là đường cong, TTB(x) là đường nhiệt độ trung bình tuyến tính, đó là đường thẳng song song với thiết diện phẳng sau biến dạng [2],[3], hình 7, xác định bởi: x

L

T T T

m1 TB

−

−

= (28); Tm1 , Tm2 là trị số nhiệt độ trung bình tuyến tính hai tại mặt 1 và 2 của tấm BT Từ (26) thấy, khu vực có TTB(x)>T(x), sẽ bị kéo, ngược lại, khu vực có TTB(x)<T(x) sẽ bị nén, hình 7

b Đặc điểm các miền bị kéo và bị nén xuất hiện trong tấm bê tông: Do phân bố nhiệt độ

trong tấm BT luôn là đường cong, nên trong tấm BT luôn xuất hiện các miền bị kéo và nén Một

số trong các kết quả tính toán được thể hiện trên đồ thị, hình 8÷11 Có thể rút ra các nhận xét:

1 Nơi phân cách giữa hai miền bị kéo và bị nén là vị trí có ΔT=0 Vị trí này thay đổi liên tục, nghĩa là miền bị kéo và nén trong tấm BT trong ngày biến đổi liên tục và luân phiên nhau

2 Từ 7h sáng đến 13h chiều, lớp mặt trên dày 5cm tấm BT bị nén do nhận nhiệt rất mạnh

từ môi trường (ΔT<0) Lớp kế tiếp dày 15 - 20cm bị kéo do ΔT>0 , lớp dưới cùng dày bị nén

3 Từ 13h chiều, phần trên tấm BT bị kéo do tốc độ nhận nhiệt giảm Sau 16h miền bị kéo thu hẹp lại còn khoảng 5cm tại mặt trên cho đến 4h sáng, sau đó chuyển sang bị nén Các lớp kế tiếp bị nén từ sau 18h đến 6h sáng hôm sau

c Biến dạng nhiệt cục bộ trong tấm bê tông: Biến dạng nhiệt cục bộ (BDCB) tại các vị trí

trong tấm BT theo thời gian trong ngày, với βT = 10-5 [4], được thể hiện trên các hình 12 ÷ 15

Biến dạng kéo tới hạn εKth phụ thuộc vào nhiều yếu tố và loại bê tông, ở đây lấy giả định theo

[4], BT mác 200 có εKth = 2,4.10-4 Từ các đồ thị có thể rút ra các nhận xét sau:

1 Các lớp trong tấm BT luôn bị kéo, nén luân phiên nhau và thay đổi liên tục trong một

ngày đêm, có thể gây nên hiện tượng mỏi nhiệt

2 Biến dạng nhiệt cục bộ do bị kéo lớn nhất tại bề mặt εT = 0,5467.10-4 vào lúc 18h nhỏ

hơn biến dạng kéo tới hạn, hình 14, nên không gây rạn nứt phá huỷ, nhưng do bị kéo, nén luân

phiên gây mỏi nhiệt, lâu dần bề mặt rất dễ bị rạn nứt

Hình 8 Lúc 10h Hình 9 Lúc 12h trưa Hình 10 Lúc 16 giờ Hình 11 Lúc 20h

Hình 12 BDCB lúc 6h Hình 13 BDCB lúc10h Hình 14 BDCB lúc18h Hình 15 BDCB lúc 22h CT 2

IV KẾT LUẬN

Việc khảo sát trạng thái nhiệt tấm BT bằng phương pháp PTHH, cho phép rút ra kết luận sau:

- Với cùng bước thời gian, kích thước hình học phần tử của cùng một bài toán [2], khảo sát

bằng phương pháp PTHH cho các kết quả chính xác như phương pháp SPHH, các nhận định

hoàn toàn phù hợp nhau

- Phương pháp PTHH có ưu điểm không phải tính thể tích, diện tích phân tố như phương

pháp SPHH

- Phương pháp PTHH có thể áp dụng cho các vật thể có hình dạng bất quy tắc nên khả

năng tính toán mở rộng hơn so với phương pháp SPHH

Tài liệu tham khảo

[1] Trần Đình Bửu, Nguyễn Quang Chiêu Khai thác và sửa chữa đường ô tô, NXB ĐH-THCN 1984 [2] Trịnh Văn Quang Kết quả tính toán trạng thái nhiệt của tấm bêtông dưới tác động của điều kiện khí

hậu thay đổi Tạp chí Cầu Đường Việt nam Số 11,12, 2001

[3] С.А.Фрид.температурные напряжения в бетонных и железобетонных конструкциях

гидротехнических сооружений государствнное Энергетическое издтелЬство Москва 1959

[4] Lê Văn Cung Khống chế nhiệt độ đập bê tông Thác bà Báo cáo Hội nghị KHXD 1985

[5] RW Lewis, P.Nithiharasu and Seetharamu Fundametals of The Finite Element Method for heat and

fluid flow John Wiley & Sons, Ltd 2004♦

CT 2