Dưới vi phân hàm lồi và ứng dụng docx

Luận văn Đề tài: Dưới vi phân hàm lồi và ứng dụng... và ứng dụng của nó, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Dưới vi phân củahàm lồi và ứng dụng”.2.. Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu c

Luận văn

Đề tài: Dưới vi phân hàm lồi và

ứng dụng

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS NguyễnNăng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫntác giả trong quá trình thực hiện luận văn

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trườngĐại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trongnhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích

đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên

và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, ngày 15 tháng 8 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh

Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tácgiả dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm.

Hà Nội, ngày 15 tháng 8 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh

Mở đầu 1

1.1 Định nghĩa tập lồi và các tính chất 3

1.2 Định nghĩa hàm lồi và các tính chất 5

1.2.1 Hàm lồi 5

1.2.2 Các phép toán về hàm lồi 8

1.2.3 Tính liên tục của hàm lồi 9

2 Dưới vi phân hàm lồi 12 2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 12

2.2 Một số phép toán dưới vi phân 19

3 Ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi 25 3.1 Một số tính chất cơ bản 25

3.2 Một số ví dụ 28

ii

Rn không gian Euclid n- chiều trên tập số thực

domf miền hữu hiệu của f

epif trên đồ thị của f

int Ω phần trong của Ω

ri Ω phần trong tương đối của Ω

cone Ω nón lồi sinh bởi Ω

N (¯x, Ω) nón pháp tuyến của Ω tại ¯x

f0(x; v) đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v

của f tại x theo hướng v

∂f (x) dưới vi phân của f tại x

và ứng dụng của nó, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Dưới vi phân củahàm lồi và ứng dụng”.

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu các kết quả đạt được về dưới vi phân của hàm lồi

và một số ứng dụng vào bài toán tối ưu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Việc nghiên cứu luận văn với nhiệm vụ hệ thống, làm rõ khái niệmdưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất, từ đó trình bày ứng dụngcủa nó trong một số bài toán

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Dưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất

- Ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến

đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích, giải tích lồi,giải tích đa trị, tối ưu hoá

6 Những đóng góp của đề tài

-Trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về dưới vi phâncủa hàm lồi và một số tính chất Nghiên cứu ứng dụng của dưới vi phânhàm lồi trong một số bài toán

Định lý 1.1.3 Một tập trong Rn là lồi khi và chỉ khi nó chứa tất cả các

tổ hợp lồi của các phần tử của nó A là tập lồi trong Rn khi và chỉ khi:

1 − λm = λ1 + + λm−1 > 0

λi

1 − λm ≥ 0 (i = 1, , m − 1)Vì

m−1

P

i=1

λi 1−λm = 1 nên theo giả thiết quy nạp y =

m−1

P

i=1

xi ∈ AVới y ∈ A và xm ∈ A ta có 1 − λm > 0

và (1 − λm) + λm = 1 ⇒ x = (1 − λm)y + λmxm ∈ A

Định nghĩa 1.2.2 Hàm f : S → R được gọi là lồi nếu trên đồ thị của

nó là một tập lồi trong S × R Nếu dom f 6= ∅ và f (x) > −∞ với mọi

x ∈ S ta nói hàm f là chính thường

Ví dụ 1.2.1 a) Hàm

f : R → R

f (x) = x2epi f = (x; µ) ∈ R × R; f(x) = x2 ≤ µ

là tập lồi trong R × R ⇒ f là hàm lồi

b) Hàm

f : R → R

f (x) = x3không là hàm lồi vì

epi f = (x; µ) ∈ R × R; f(x) = x3 ≤ µ không lồi trong R × R

Ví dụ 1.2.2 Hàm chỉ δ(./A) của tập lồi A ⊂ Rn là hàm lồi

δ(x/A) :=

(

0 khi x ∈ A+∞ khi x /∈ A

Định lý 1.2.1 Giả sử A là một tập lồi trong Rn, hàm f : A →(−∞; +∞] Khi đó, f lồi trên A khi và chỉ khi:

Bởi vì epi f lồi ∀(x, r) ∈ epi f ; ∀(y, s) ∈ epi f ; ∀λ ∈ (0; 1) nên

λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) = (λx + (1 − λ)y; λr + (1 − λ)s) ∈ epif

(x, r) ∈ epi f ; (y, s) ∈ epif ⇒ f (x) ≤ r; f (y) ≤ s

⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ≤ λr + (1 − λ)s

⇒ (λx + (1 − λ)y; λr + (1 − λ)s) ∈ epi f

⇒ λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epi f

Do dom f lồi nên nếu f (xi) < +∞ (i = 1, , m) thì f

Định lý 1.2.3 Hàm thuần nhất dương f : Rn → (−∞; +∞] là lồi khi

và chỉ khi

f (x + y) ≤ f (x) + f (y) (∀x, y ∈ Rn) (1.3)

Chứng minh ⇒ / Hàm thuần nhất dương f là lồi Lấy x, y ∈ Rn

Vậy epi f đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng

Suy ra: λ(x1, r1) + (1 − λ)(x2, r2) ∈ epi f (với ∀λ ∈ [0; 1])

Nên epi f là lồi, suy ra f là hàm lồi

1.2.2 Các phép toán về hàm lồi

Định lý 1.2.4 Cho f là một hàm lồi f : Rn → (−∞; +∞] và ϕ là mộthàm lồi ϕ : R → (−∞; +∞] không giảm, khi đó h = ϕ(f (x)) cũng lồi.Chứng minh Với ∀x1, x2 ∈ Rn; λ ∈ (0; 1)

h((1 − λ)x1 + λx2) = ϕ(f (1 − λ)x1 + λx2)

≤ ϕ((1 − λ)f (x1) + λf (x2))

≤ (1 − λ)ϕ(f (x1)) + λϕ(f (x2))

≤ (1 − λ)h(x1) + λh(x2)(do f lồi và ϕ không giảm)

Từ đó suy ra h lồi

Định lý 1.2.5 Cho fi (i = 1, , m) là hàm lồi chính thường trên Rnkhi đó f1 + f2 + + fm là một hàm lồi trên Rn

f1 + f2: lồi không chính thường nếu A ∩ B = ∅

Định lý 1.2.6 Cho C là một tập lồi trong Rn+1 và đặt

f ((1 − λ)x + λy) = inf {µ|((1 − λ)x + λy, µ) ∈ C}

Suy ra f lồi (theo mệnh đề 1.2.1)

1.2.3 Tính liên tục của hàm lồi

Định nghĩa 1.2.4 Cho X là không gian định chuẩn

1) Ta nói rằng f là hàm Lipschitz trên tập D ⊂ X, nếu tồn tại số k sao

|f (x) − f (x0)| ≤ kkx − x0k, ∀x, x0 ∈ D

2) Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x ∈ X, nếu tồn tại số

ε > 0 sao cho f là Lipschitz trên B(x, ε) ∩ D

3) Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên D, nếu nó Lipschitz địaphương tại mọi điểm của D

Mệnh đề 1.2.2 Một hàm lồi chính thường f trên Rn là liên tục tại mỗiđiểm trong của miền hữu hiệu của nó

Định lý 1.2.7 Cho một hàm lồi chính thường f trên Rn Ta có cáckhẳng định sau là tương đương:

i) f là liên tục tại điểm x0 ∈ Rn;

ii) f là bị chặn trên tại lân cận của x0 ∈ Rn;

iii) int(epi f ) 6= ∅;

iv) int(dom f ) 6= ∅ và f là Lipschitz trên mỗi tập bị chặn chứa trongint(domf );

v) int(domf ) 6= ∅ và f là liên tục trên int(domf )

Chứng minh [(i) ⇒ (ii)] Nếu f là liên tục tại một điểm x0 thì tồn tạimột lân cận U của x0 thỏa mãn f (x) < f (x0) + 1 với mọi ∀x ∈ U [(ii) ⇒ (iii)] Từ giả thiết suy ra tồn tại lân cận U của x0 và c > 0 saocho f (x) ≤ c, ∀x ∈ U Đặt

V = (x, α) ∈ Rn+1| x ∈ U, α > c ,

ta có V ⊂ epif và V là tập mở, nên ta suy ra int(epif ) 6= ∅

[(iii) ⇒ (iv)] Nếu int(epif ) 6= ∅ thì tồn tại một tập mở U và mộtkhoảng mở I ⊂ R thỏa mãn U × I ⊂ epif , do đó U ⊂ domf , tức làint(domf ) 6= ∅ Xét tập compact bất kì C ⊂ int(domf ) và lấy B làhình cầu đơn vị trong Rn Với mỗi r > 0, tập C + rB là compact, và

họ những tập đóng {(C + rB)\int(domf ), r > 0} có một giao là rỗng

Trong biểu diễn của tính compact của C + rB một họ con hữu hạn củanhững họ này phải có một giao bằng rỗng, do đó với r > 0 ta phải có(C + rB)\int(domf ) = ∅, nghĩa là (C + rB) ⊂ int(domf ) Bởi Mệnh đề1.2.2 hàm f là liên tục trên int(domf ) Kí hiệu µ1 và µ2 là cực đại vàcực tiểu của f trên C + rB Lấy x, x0 là hai điểm phân biệt trong C vàlấy z = x + r(x − x

x, x0 thỏa mãn x ∈ C, x0 ∈ C

|f (x) − f (x0)| ≤ k kx − x0k ,điều này chứng minh cho tính Lipschitz của f trên C

(iv) ⇒ (v) và (v) ⇒ (i) : là rõ ràng

Dưới vi phân hàm lồi

Định nghĩa 2.1.1 Cho f là hàm lồi chính thường trên Rn; vectơ x∗ ∈

Rn được gọi là vectơ dưới gradient của f tại điểm x0 nếu

f (x) − f (x0) ≥ hx∗, x − x0i ∀x ∈ Rn (2.1)Tập tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của ftại x0 và được kí hiệu là ∂f (x0)

Hàm f được gọi là dưới khả vi tại x0 nếu ∂f (x0) 6= ∅

12

Nhận xét 2.1 Rõ ràng rằng x∗ ∈ Rn là một dưới gradient của f tại điểm

x0 nếu và chỉ nếu tồn tại α ∈ R sao cho hàm affine x → hx∗, xi + αkhông trội hơn f khắp nơi và bằng f (x0) tại điểm x0

Định lý 2.1.1 Cho f : Rn → R là lồi và x ∈ domf, thì

Bổ đề 2.1 Với một hàm lồi chính thường bất kì luôn tồn tại hàm nonafin Nếu x0 ∈ int(domf ) thì tồn tại hàm non afin đúng của f tại x0Định lý 2.1.2 Cho f là hàm lồi chính thường trong Rn Với bất kì tập

bị chặn C ⊂ int(domf ) thì tập ∪

x∈C∂f (x) là khác rỗng và bị chặn Đặcbiệt ∂f (x0) là khác rỗng và bị chặn tại mỗi x0 ∈ int(domf )

Chứng minh Lấy x0 ∈ int(domf ) Khi đó f có hàm non afin đúng tại

x0 có nghĩa là tồn tại một hàm afin h sao cho h(x) ≤ f (x) ∀x ∈ Rn vàh(x0) = f (x0), suy ra h(x) = hx∗, x − x0i + f (x0); x∗ ∈ ∂f (x0) do đó

∂f (x0) 6= ∅; ∀x0 ∈ int(domf )

Lấy C là tập bị chặn C ⊂ int(domf ), khi đó ∃r > 0, C +rB ⊂ int(domf ).Với B là kí hiệu hình cầu đơn vị trong Rn Cố định x ∈ C ta có

hx∗, y − xi + f (x) ≤ f (y) ∀y ∈ Rn; x∗ ∈ ∂f (x)Nhưng theo định lý 1.2.7 thì tồn tại γ > 0 thỏa mãn

|f (x) − f (y)| ≤ γ ky − xk ; ∀y ∈ C + rB

Do đó |hx∗, y − xi| ≤ γ ky − xk với ∀y ∈ C + rB tức là

|hx∗, ui| ≤ γ kuk với ∀u ∈ B

ở đó mỗi h ∈ Q0 có dạng h(x) = ha, xi − α với kak ≤ γ

Ta xét một số ví dụ về dưới vi phân hàm lồi

Ví dụ 2.1.5 Cho f : Rn → R là một hàm thuần nhất dương, nghĩa làmột hàm lồi f : Rn → R thỏa mãn f(λx) = λf(x), λ > 0 Khi đó

∂f (x0) = {x∗ ∈ Rn| hx∗, x0i = f (x0), hx∗, xi ≤ f (x), ∀x} (2.2)

Thật vậy, sử dụng dưới vi phân hàm lồi ta tính dưới vi phân của hàmtrên.

hx∗, x − x0i = hx∗, xi − hx∗, x0i ≤ f (x) − f (x0)

Do vậy x∗ ∈ ∂f (x0)

Nhận xét 2.2 Nếu ta thêm vào điều kiện f (−x) = f (x) ≥ 0 thì điềukiện hx∗, xi ≤ f (x) tương đương với |hx∗, xi| ≤ f (x), ∀x ∈ Rn

Ví dụ 2.1.6 Cho C là một tập lồi đóng trong Rn, và

f (x) = minky − xk với y ∈ C

Kí hiệu πC(x) là hình chiếu của x trên C, nên ta có: kπC(x) − xk =minky − xk với y ∈ C và hx − πC(x), y − πC(x)i ≤ 0, ∀y ∈ C Khi đó

ở đó NC(x0) kí hiệu nón pháp tuyến của C tại x0 và B(0, 1) là hình cầuEuclide đơn vị

Nón pháp tuyến NC(x0) của một tập lồi C ∈ Rn tại một điểm x0 ∈ Rn

được xác định bởi công thức

NC(x0) =

({x∗ ∈ Rn : hx∗, x − x0i ≤ 0, ∀x ∈ C} nếu x0 ∈ C,

∅ nếu x0 ∈ C./

Thật vậy, lấy x0 ∈ C, ta có f (x0) = 0 Khi đó x∗ ∈ ∂f (x0) kéo theo

hx∗, x − x0i ≤ f (x), ∀x ∈ Rn Do vậy, trong trường hợp đặc biệt thì

- Với trường hợp x0 ∈ C, khi đó/

hx∗, x0 − πC(x0)i ≤ kπC(x0) − x0k

Suy ra hx∗, x0 − πC(x0)i = kπC(x0) − x0k, và do đó x∗ = x0 − πC(x0)

kx0 − πC(x0)k.Ngược lại, từ

hx∗, x0 − πC(x0)i = kπC(x0) − x0k = f (x0)và

hx∗, x − πC(x)i ≤ kx − πC(x)k = f (x)

Định nghĩa 2.1.3 (Đạo hàm theo hướng) Cho f : Rn → R; x0 ∈ Rn

sao cho f (x0) < +∞ Nếu với mỗi u ∈ Rn mà giới hạn

u ∈ Rn, dưới vi phân ∂f (x0) là compact và

f0(x0, u) = max {hx∗, ui | x∗ ∈ ∂f (x0)} (2.6)

Chứng minh (i) Chứng minh tồn tại

f0(x0, u) = lim

λ→0 +

f (x0 + λu) − f (x0)

λLấy λ2 > λ1 > 0 Vì f là hàm lồi nên:

bị chặn trên ở trên U Khi đó, bởi (i), có f0(x0; u) ≤ f (x0 + u) − f (x0),theo đó f0(x0; u) cũng bị chặn trên ở trên U , và do vậy là hữu hạn và liêntục trên Rn Điều kiện (2.5) khi đó kéo theo rằng ∂f (x0) là đóng, và do

đó compact vì nó bị chặn bởi Định lý 2.1.2 Trong tính thuần nhất của

f0(x0; u), một hàm affine (affine minorant) mà đạt được tại điểm đó phải

có dạng hx∗, ui, với hx∗, ui ≤ f0(x0; u), ∀u, nghĩa là bởi (ii), x∗ ∈ ∂f (x0).Bởi hệ quả 2.1, ta có f0(x0, u) = max {hx∗, ui |x∗ ∈ ∂f (x0)}

Cho hàm f : Rn → R lồi, chính thường và λ > 0, ta có ∂(λf)(x) =λ∂f (x) Thật vậy với x ∈ domf , do f lồi, chính thường và λ > 0 thì λf

cũng là lồi, chính thường và x ∈ dom(λf ).

∂f1(x) + ∂f2(x) ⊂ ∂(f1 + f2)(x)Hơn nữa, nếu tồn tại một điểm a ∈ domf1 ∩ domf2 và một trong haihàm là liên tục ta có được bao hàm thức ngược lại

Chứng minh Giả sử với p1 ∈ ∂f1(x); p2 ∈ ∂f2(x) theo định nghĩa ta có:

f1(y) ≥ f1(x) + hp1, y − xi ∀y ∈ Rn,

f2(y) ≥ f2(x) + hp2, y − xi ∀y ∈ Rn.Cộng vế với vế ta thu được (f1+ f2)(y) ≥ (f1+ f2)(x) + hp1 + p2, y − xi

Do đó p1 + p2 ∈ ∂(f1 + f2) nên ta có ∂f1(x) + ∂f2(x) ⊂ ∂(f1 + f2)(x)

Ngược lại, nếu p ∈ ∂(f1 + f2)(x0) thì hệ

U = (a + U ) − a ⊂ domf1− domf2 = A(D), nghĩa là 0 ∈ intA(D) Theo

đó, bởi Định lý 2.2.1 thì tồn tại t ∈ Rn thỏa mãn

ht, x − yi + [f1(x) + f2(y) − f1(x0) − f2(x0) − hp, x − x0, i] ≥ 0 (2.7)với ∀(x, y) ∈ domf1 × domf2

Với (x, y) /∈ domf1 × domf2 thì rõ ràng (2.7) đúng, suy ra

ht, x − yi + [f1(x) + f2(y) − f1(x0) − f2(x0) − hp, x − x0, i] ≥ 0với ∀x ∈ Rn và ∀y ∈ Rn

Lấy y = x0 ta được

hp − t, x − x0i ≤ f1(x) − f1(x0), ∀x ∈ Rn,nghĩa là p − t ∈ ∂f1(x0)

Tiếp theo lấy x = x0 ta được

ht, y − x0i ≤ f2(y) − f2(x0), ∀y ∈ Rn,nghĩa là t ∈ ∂f2(x0)

Rõ ràng, δC là lồi Ta tính dưới vi phân tại một điểm x ∈ C

Ta có p ∈ ∂δC(x) nếu và chỉ nếu δC(y) − δC(x) ≥ hp, y − xi với ∀y ∈ Rn

Điều này rõ ràng thỏa mãn với y /∈ C nên ta chỉ xét với y ∈ C.

Vì vậy với p là dưới gradient của δC(.) tại x thì điều kiện cần và đủlà

Chứng minh Lấy p ∈ ∂g(Ax0).

Bởi định nghĩa ta có hy − Ax0, pi ≤ g(y) − g(Ax0) với ∀y ∈ Rm

Và

hAx − Ax0, pi ≤ g ◦ A(x) − g ◦ A(x0), ∀x ∈ Rn,

0, ATp ≤ g ◦ A(x) − g ◦ A(x0) ∀x ∈ Rn

Vì vậy ATp ∈ ∂(g ◦ A)(x0) ⇒ AT∂g(Ax0) ⊂ ∂(g ◦ A)(x0) (AT kí hiệu

ma trận chuyển vị của ma trận A)

Ngược lại, xét bất kì p ∈ ∂(g ◦ A)(x0) Khi đó hệ

Ax − y = 0, g(y) − g(Ax0) − hp, x − x0i < 0, x ∈ Rn, y ∈ Rm,

là vô nghiệm Định nghĩa D = Rn× domg, B(x, y) = Ax − y Khi đó cómột điểm b ∈ ImA ∩ int(domg) ta có b ∈ intB(D), nên bởi Định lý 2.2.1thì tồn tại t ∈ Rm thỏa mãn

ht, Ax − yi + g(y) − g(Ax0) − hp, x − x0i ≥ 0, (2.8)với ∀(x, y) ∈ D

Định nghĩa 2.2.2 Một tập con G của R × R được gọi là đơn điệu khi

hx∗ − y∗, x − yi ≥ 0 ở đó (x, x∗), (y, y∗) ∈ G

Một ánh xạ đa trị T : R ⇒ 2R là một toán tử đơn điệu nếu đồ thị củanó

G(T ) = {(x, x∗) ∈ R × R : x∗ ∈ T (x)} ,

là một tập đơn điệu Một tập đơn điệu được gọi là đơn điệu cực đại nếu

nó là cực đại trong họ của những tập con đơn điệu của R × R Ta nóirằng một toán tử đơn điệu T là đơn điệu cực đại khi đồ thị của nó làmột tập đơn điệu cực đại

Định lý 2.2.4 Nếu f là hàm lồi và liên tục trên R, thì ánh xạ dưới viphân của nó là đơn điệu cực đại

Chứng minh Để chứng minh ∂f là cực đại theo định nghĩa ta sẽ chứngminh rằng với y, y∗ ∈ R mà y∗ ∈ ∂f (y), thì tồn tại x ∈ R và x/ ∗ ∈ ∂f (x)thỏa mãn hy∗ − x∗, y − xi < 0 Để đơn giản chứng minh ta có thể thaythế f bởi hàm lồi liên tục g được xác định bởi g(x) = f (x + y) − hy∗, xi

Ta thấy rằng khi x∗ ∈ ∂g(x) nếu và chỉ nếu x∗ + y∗ ∈ ∂f (x + y) Vìvậy, nếu y∗ ∈ ∂f (y) thì 0 // ∈ ∂g(0) và nếu tồn tại x∗ và x với x∗ ∈ ∂g(x)thỏa mãn hx∗, xi < 0, thì với z = x + y và z∗ = x∗ + y∗ ta có z∗ ∈ ∂f (z)

và hy∗ − z∗, y − zi = hx∗, xi < 0 Giả sử rằng y = 0 và y∗ = 0, ta muốnthu được x ∈ R và x∗ ∈ ∂f (x) thỏa mãn hx∗, xi < 0

Ta biết rằng khi 0 không là một cực tiểu toàn cục của f , thì tồn tại mộtđiểm x1 ∈ R thỏa mãn f(0) > f(x1) Xét hàm lồi h(t) = f (tx1), 0 ≤

t ≤ 1 Khi đó đạo hàm theo hướng tại một điểm t0 ∈ (0; 1) rõ ràng bằng

f0(t0x1; x1) Giả sử lượng này là không âm với mỗi t0, bởi một dạng củađịnh lý giá trị trung bình, điều này có thể kéo theo rằng h(0) ≤ h(1),điều này là mâu thuẫn

Vì vậy lượng này âm với 0 < t0 < 1, nên bởi tính thuần nhất ( vàlấy x = t0x1), ta có f0(x, x) < 0 Bởi Định lý 2.2.1(iii), phải tồn tại

x∗ ∈ ∂f (x) thỏa mãn hx∗, xi = f0(x, x) < 0 Chứng minh được hoànthành

Ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi

Cho f : R → Rn là một hàm bất kì, C là tập tùy ý nào đó trong Rn,một điểm x ∈ C ∩ domf được gọi là một cực tiểu toàn cục của f trên Cnếu −∞ < f (x) ≤ f (x) ∀x ∈ C

Điểm x ∈ C được gọi là cực tiểu địa phương của f trên C nếu tồn tạimột lân cận U (x) của x sao cho −∞ < f (x) ≤ f (x) ∀x ∈ C ∩ U (x)

Ta kí hiệu tập các nghiệm cực tiểu toàn cục của f (x) trên C là

arg min

x∈C f (x)Tương tự tập các nghiệm cực đại toàn cục của f (x) trên C là

Chứng minh Giả sử x là điểm cực tiểu địa phương của f trên C, khi đótồn tại lân cận U (x) của x sao cho f (x) ≤ f (x) ∀x ∈ C ∩ U (x)

25