Luận văn thạc sĩ dưới vi phân tổng quát và ứng dụng

Là không gian BanachLà không gian đối ngẫu của không gian Banach X Là không gian liên hợp thứ hai của không gian X Là không gian đối ngẫu của không gian Banach X với tô pô hội tụ đều trê

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ THỊ BÌNH

DƯỚI VI PHÂN TỎNG QUÁT VÀ ỦNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOẤN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Bằng

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận văn, tác giả đã nhận được sự động viên, giúp đỡ của các bạn bè, đồng nghiệp, người thân, của các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, các thầy, cô phòng Sau đại học và của các thầy, cô trực tiếp giảng dạy Tôi xin được cảm

ơn tấ t cả mọi người đã hỗ trợ tôi để hoàn thành Luận văn này

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến TS Trần Văn Bằng, người thầy đã định hướng và chỉ bảo tận tình để tôi có thể hoàn thành Luận văn này

Tôi xin trân trọn g cảm ơn!

Hà Nội, 20 tháng 6 năm 2015

Tác giả

N gô T hị B ình

Lời cam đoan

Luận văn này là kết quả của bản thân tác giả đạt được trong quá trình học tập và nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng

và sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội

2 và của các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy

Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tác giả đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Dưới vi phân tổ n g quát

và ứng dụng” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, 20 tháng 6 năm 2015

Tác giả

N gô T hị B ình

Một số khái niệm về không gian Banach

Hàm khả vi trên không gian Banach

1

Là không gian Banach

Là không gian đối ngẫu của không gian Banach X

Là không gian liên hợp thứ hai của không gian X

Là không gian đối ngẫu của không gian Banach

X với tô pô hội tụ đều trên tập /3

Hình cầu đơn vị trên X Mặt cầu đơn vị trên X

Là tập con đóng của X

Là không gian con hữu hạn chiều của X

Là không gian trực giao của L Ánh xạ đơn trị từ X vào Y Chuẩn trong không gian Banach X

Giá trị của hàm X* tại X

là một họ các tập con đóng, bị chặn, đối xứng tâm của X

Cận trên đúngCận dưới đúngĐường kính của tập s

Bao đóngBao lồi

cl CO : Bao lồi đóng

/ ' {x,d) : Đạo hàm của / theo phương d tại X

D p f (æ) : Tập tấ t cả các dưới đạo hàm nhớt Fréchet

v / ( x ) : Đạo hàm Fréchet của / tại X

v ¿ 7 (x) : ß — đạo hàm của / tại X

dßf (æ) : ß — dưới vi phân của / tại X

dGf (æ) : Dưới vi phân Gâteaux của / tại X

M ở đầu

1 Lí d o ch ọn đ ề tà i

Giải tích không trơn ra đời trong những năm 70 của thế kỷ 20 khi những nhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho bài toán với dữ kiện không trơn, như với các dữ kiện Lipschitz hay với các dữ kiện chỉ nửa liên tục

Cho tới nay đã có nhiều khái niệm "đạo hàm suy rộng" đã được đưa

ra và thường được gọi dưới cái tên "dưới vi phân" như: dưới vi phân suy rộng của Clark, dưới vi phân Frechet, dưới vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy rộng đó đã đáp ứng được phần nào các yêu cầu đặt ra.Dưới vi phân có thể được chia thành hai nhóm lớn: Dưới vi phân

"đơn" và dưới vi phân "ngặt" Dưới vi phân đơn được định nghĩa tại từng điểm và không đòi hỏi tính chất khả vi của hàm trong lân cận của điểm đó Thường thì dưới vi phân đơn là sự khái quát hóa của khái niệm đạo hàm cổ điển (như dưới vi phân Frechet, Gâteaux, Dini )Ngược lại với dưới vi phân đơn, dưới vi phân ngặt đòi hỏi tính khả

vi của hàm trong lân cận của điểm định nghĩa Thông thường, dưới vi phân ngặt có thể được biểu diễn như giới hạn của dưới vi phân đơn

Những khái niệm này không ngừng phát triển và ngày càng tỏ ra có nhiều ứng dụng trong giải tích phi tuyến và lý tuyết tối ưu Tuy nhiên vẫn còn rất nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần được tiếp tục tìm hiểu

3 N h iệ m v ụ n g h iên cứu

Hệ thống tổng hợp các kiến thức về dưới vi phân tổng quát cùng một

số ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi

4 Đ ố i tư ợ n g và p h ạ m v i n g h iên cứu

Đối tượng: Dưới vi phân tổng quát và ứng dụng

Phạm vi: Nghiên cứu trong lớp hàm nửa liên tục dưới

5 P h ư ơ n g p h áp n g h iên cứu

Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến

đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm và lý thuyết tối ưu

6 N h ữ n g đ ó n g g óp củ a L uận văn

Tìm hiểu về khái niệm dưới vi phân tổng quát Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà khoa học nghiên cứu và công bố về dưới vi phân tổng quát và ứng dụng

Mục này trình bày những khái niệm, tính chất về không gian Banach

và không gian liên hợp Cho X là không gian vectơ trên tập số thực M

Đ ịnh nghĩa 1.1 ([lj, trang 11-12) Một chuẩn trong X , kí hiệu là II ■ II,

là một ánh xạ từ X vào M thỏa mãn các tiên đề sau:

Với mọi Víí, V € X và a € M

(i) ||ri|| > 0 (với ||ri|| là số thực không âm)

(ii) ||'u|| = 0 nếu u = 0

(iii) ||cra|| = Io;I ||rí||

(iv) ||ri + u|| < ||ri|| + \\v\\ (bất đẳng thức tam giác ).

Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn II • II xác định trong

không gian ấy được gọi là một không gian định chuẩn, kí hiệu (X, II • II)

hay đơn giản là X

M ệnh đề 1.2 ([1], trang 12) Cho X là không gian định chuẩn với

chuẩn II • II Với Vx , y € X , đặt

d ( x , y ) = ||x - y II Khi đó d là một metric trên X

Đ ịnh nghĩa 1.3 ([1J, trang 21) Cho X là không gian định chuẩn với

chuẩn II • II Nếu X với khoảng cách d ( x , y ) = 11a: — y II là một không gian metric đủ, khi đó X gọi là không gian Banach

Nếu không nói gì thêm trong luận văn này, không gian Banach được

kí hiệu là X Chuẩn trong không gian Banach được kí hiệu là II • 11^- hay

II • II Hình cầu đơn vị (đóng) và mặt cầu đơn vị trong X kí hiệu lần

2 Cho íì c Mfc là tập con đo được Lebesgue Khi đó không gian tuyến

tính Lp(íì) (1 < p < oo) tấ t cả các hàm số thực đo được X = x(t)

trên íì sao cho f fí \x(t)\pdt < 00 với chuẩn II2;II = ( f fí \x(t)\pd ty ^ p

là không gian Banach Không gian tuyến tính L°°(íì) tấ t cả các

hàm số thực đo được X = x ịt) trên íì sao cho esssupn |m(í)I < +00 với chuẩn IIXII = supn |m(í) I là không gian Banach.

3 Không gian tuyến tính lp (1 < p < 00) tấ t cả các dãy số thực X =

(z(z)) sao cho chuỗi k W |P hội tụ với chuẩn ||a;|| = (

là không gian Banach Không gian tuyến tính l°° tấ t cả các dãy

số thực X = (z(z)) sao cho sup^ |rc(z) I < +00 với chuẩn IIXII =

supị |z(z)| là không gian Banach

4 Không gian tuyến tính Cịa, b] các hàm thực liên tục trên một đoạn

[a, b] với chuẩn ||a;|| = max |rc(í)I là không gian Banach.

Đ ịnh nghĩa 1.5 ([1J, trang 61) Cho X là không gian định chuẩn với

chuẩn II • II ■ Anh xạ tuyến tính liên tục X* : X —> K gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên X

Nếu X* : X —> K là một phiếm hàm tuyến tính liên tục và X G X thì giá trị của X* tại X được kí hiệu là (x*, x), nghĩa là (x*, x) = (x*, x )

Đ ịnh lý 1.6 ([3J, Định lý 2.6, trang 78 ) Không gian đối ngẫu X * của không gian định chuẩn X với chuẩn xác định bởi

là một không gian Banach.

V í dụ 1.7 ([3J, trang 108, 110) Không gian đối ngẫu của Lp(£l) lp (1 <

p < 00) lần lượt là không gian L?(íì), lq với q là số mũ liên hợp của p,

X \\ = sup - L—-

xyo 1 +

tức l à l / p + l / ợ = l Đặc biệt không gian đối ngẫu của tương

ứng là L ° ° { n ) ,r

Đ ịnh nghĩa 1.8 ([1], trang 73) Không gian liên hợp của không gian

X* gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và

kí hiệu X** Như vậy X ** = (x * y

Đ ịnh nghĩa 1.9 ([1J, trang 85) Không gian định chuẩn X gọi là không

gian phản xạ, nếu X = X**.

V í dụ 1.10 ([3, 9J) Các không gian Lp(íì), lp (1 < p < 00) là các không gian phản xạ

Theo Định lỷ |l.6[ nếu X phản xạ thì X là một không gian Banach.

Đ ịnh nghĩa 1.11 Không gian Banach X được gọi là tách được nếu

nó có một tập con đếm được trù mật

V í dụ 1.12 ([9], trang 103) Các không gian ư (1 < p < oo),C[a,b]

là không gian tách được; các không gian L°°(íì), l°° không tách được.

1.2 H àm k h ả v i tr ê n k h ô n g g ia n B a n a ch

Mục này trình bày khái niệm các đạo hàm cổ điển: đạo hàm theo

phương, đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet Cho X , Y là các không gian Banach trên trường số thực M, / : X —> Y là một ánh xạ.

Đ ịnh nghĩa 1.13 ([2j Định nghĩa 1.5) Cho d € X và X € X Nếu giới

han lim rìz+tá)-/(rì có ¿ ao theo phương d tai X, kí hiêu / ' (x, d)

iịO 1

Đ ịn h n g h ĩa 1.14 ([2j Định nghĩa 1.6) Cho X G X là một điểm cố định Ánh xạ F : X —> Y được gọi là khả vi Găteaux tại X nếu tồn tại

với mỗi h G X , trong đó t —> 0 trong K

Ánh xạ A được gọi là đạo hàm Gâteaux của F tại X và giá trị của

nó tại h được kí hiệu là A (h) = dF (x, h).

Từ định nghĩa trên, đạo hàm Gâteaux của một ánh xạ từ X vào Y

tại X G X là một ánh xạ tuyến tính từ X vào Y Chú ý rằng nếu F

là một ánh xạ tuyến tính thì dF (x, h) = F (h) hay dF (z) = F với

G X

Nếu / là một hàm trên X , hay / : X —> K và / khả vi Gâteaux tại

G X, thì

df {x, h) = | / ( X + th)

và với mỗi X G X cố định, df (x, h) là một hàm tuyến tính của h G X.

N h ậ n x é t 1.15 Nếu đạo hàm Gâteaux tồn tại thì nó là duy nhất Từ định nghĩa của đạo hàm thông thường có thể suy rộng cho một ánh xạ

từ một không gian Banach vào một không gian Banach Điều này dẫn đến khái niệm đạo hàm Fréchet

Đ ịn h n g h ĩa 1.16 Ánh xạ / được gọi là khả vi Fréchet (hay đơn giản là

khả vi) tại X G X nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục A : X —> Y

sao cho

y II f { x + h) - f ( x ) - Ah

Khi đó A được gọi là đạo hàm Fréchet của / tại X và kí hiệu là D f ( x )

hay v / ( x )

Khi Y = K thì đạo hàm (nếu tồn tại) của hàm / được xác định bởi

một phần tử của X* G X* và biểu thức định nghĩa thường được viết là:

y f { x + h) - f { x ) - ( x \ h ) = 0

h —>0 11 h 11

N hận x é t 1.17 Nếu đạo hàm Fréchet tồn tại thì nó là duy nhất

Đ ịnh lý 1.18 Nếu một ánh xạ có một đạo hàm Fréchet tại một điểm

thì nó có đạo hàm Gâteaux tại điểm đó và cả hai đạo hàm bằng nhau.

Đ ịnh nghĩa 1.19 ([10], trang 2) Ta nói chuẩn ||.|| của X là khả vi

Fréchet hay là chuẩn trơn Fréchet nếu ||.|| là hàm khả vi Fréchet tại

mọi X £ S x (nhờ tính thuần nhất của chuẩn ta suy ra chuẩn trơn

Fréchet sẽ khả vi Fréchet tại mọi Ï 7^ 0)

V í dụ 1.20 Chuẩn trên một không gian Hilbert H là chuẩn trơn

Hàm này khả vi Gâteaux (có đạo hàm bằng 0) nhưng không khả vi Fréchet tại (0, 0)

Đ ịnh lý 1.22 (Smulyan, [9J, Định lý 1.4, trang 3) Cho (X, ll-ll) ỉà

không gian Banach với không gian đối ngẫu X* Khi đó chuẩn ||.|| khả

vi Fréchet tại X G S x khi và chỉ khi với mọi dẫy f n, gn £ S x *, fn{x) —> 1

và gn(x) —> 1 ta đều có \\fn — gn II —> 0.

V í dụ 1.23 Chuẩn ||a;|| = X X i 1^)1 trong không gian Banach l1

không trơn Fréchet

T hật vậy, với mọi X = (z(z)) G Sịi Ta định nghĩa f n, gn G Si°o bởi:

fn{x)(i) =

{sign(z(z)), nếu i Ỷ n nếu i = n,

sign(a:(z)), nếu i Ỷ n

— 1, nếu ỉ = n.

Khi đó f n(x) -> 1 ,gn{x) -> 1 và ||/ n - gnIU = 2 Theo Định lý 1.22

chuẩn trên /1 không khả vi Fréchet tại X Từ đây ta có điều phải chứng

minh

Đ ịnh lý 1.24 ([9], Hệ quả 3.3, trang 51) Cho X ỉà không gian Banach

tách được Khi đó X có chuẩn tương đương trơn Fréchet khi và chỉ khi X* tách được.

V í dụ 1.25 Các không gian Lp(íì) (1 < p < 00) là không gian có

chuẩn tương đương trơn Fréchet vì nó và không gian đối ngẫu của nó tách được.Tổng quát hơn, mọi không gian Banach phản xạ tách được đều có chuẩn tương đương trơn Fréchet

Đ ịnh nghĩa 1.26 ([2j, Hàm số Lipschitz) Hàm số / được gọi là Lips-

chitz địa phương tại X £ X hay Lipschitz ở gần X , nếu tồn tại lân cận

ư của X , số k > 0 sao cho

Vu, v £ ư \f (u) — f (v)\ < k \\u — v\ (1.1)

Hàm / được gọi là Lipschitz địa phương trên tập Y c X nếu / Lipschitz địa phương tại mọi u G Y.

Hàm / được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz k trên tập n ếu Ị i r đúng với mọi u, V G Y

2.1 D ư ới v i p h ân tổ n g q u át

Cho X là không gian Banach thực với hình cầu đơn vị đóng B và

X* là không gian đối ngẫu của X Kí hiệu đường kính của tập s c X

tương ứng là miền hữu hiệu và trên đồ thị của / Hàm / được gọi là

chính thường (proper) nếu d o m / Ỷ

0-Tập mức compac của hàm / là tập mà L c ( /) = {x : f (x) < c} với

c là hằng số

Đ ịnh nghĩa 2.1 Một borno ( bornoỉogy ) ¡3 trên X là một họ các tập

con đóng, bị chặn, đối xứng tâm của X thỏa mãn các tiên đề sau

1 X bằng hợp của tấ t cả các tập thuộc /3, tức là X = u A;

2 /3 kín đối với phép nhân với một vô hướng, tức là: nếu A £ (3, A € K thì XA € ¡3]

3 /3 được định hướng tăng, tức là nếu B i, B 2 G /3 thì Bị u B 2 G /3.

V í dụ 2.2 (Một số borno cơ bản) Cho X là một không gian định

chuẩn thực

i) Họ F gồm tấ t cả mọi tập con đóng, bị chặn, đối xứng tâm của X

là một borno trên X và gọi là borno Fréchet.

ii) Họ W H gồm tấ t cả mọi tập con compac yếu, đối xứng tâm của

X là một borno trên X và gọi là borno Hadamard yếu.

iii) Họ H gồm tấ t cả mọi tập con compac, đối xứng tâm của X là một borno trên X và gọi là borno Hadamard.

iv) Họ G gồm tấ t cả mọi tập con hữu hạn, đối xứng tâm của X là một borno trên X và gọi là borno Găteaux.

Từ nay về sau ta luôn giả thiết ¡3 là một borno trên không gian định chuẩn thực X Kí hiệu X p l ầ không gian đối ngẫu của X và được trang

bị tô pô hội tụ đều trên tập thuộc ß , tức là: dãy các phiếm hàm tuyến tính liên tục (theo chuẩn) trong X * được gọi là hội tụ tới phiếm hàm tuyến tính liên tục X* G X * trong Xß nếu x*n hội tụ đều về X* trên mọi tập con B G ß

Đ ịnh nghĩa 2.3 Borno ß được gọi là lồi nếu với mọi B G ß ta có bao

lồi đóng co d B G ß

V í dụ 2.4 Borno Fréchet trên K là một borno lồi.

Đ ịnh nghĩa 2.5 ([9], trang 10) Hàm / : X —> K được gọi là nửa liên

tục dưới (l.s.c.) nếu với mọi A G K, tập {x G X : f ( x ) < A} là tập

đóng

Đ ịnh lý 2.6 ([8J, trang 10) Cho X là không gian Banach, f là hàm

chính thường trên X Khi đó ta có các khẳng định a) -d) sau đây là tương đương

a) Hàm Ị nửa liên tục dưới.

b) Trên đồ thị e p i/ là tập đóng trong A x K

c) Với mọi X G X , với mọi £ > 0 đều tồn tại một lăn cận V của X

sao cho f ( y ) > f ( x ) — £ với mọi y G V.

d) Với mọi dãy x n hội tụ tới X trong X , ta có

g) Nếu f l.s.c và E c X là tập compac thì f đạt giá trị lớn nhất trên E.

Từ nay về sau chúng ta luôn xét các hàm với giá trị thực mở rộng,

nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) và chính thường (proper)

Đ ịnh nghĩa 2.7 (Hàm ß —khả vi) Cho hàm / xác định trên X , ta nói

rằng / là ß-kha vi tại X và có ß- đạo hàm là v ß f (æ) nếu / (æ) hữu hạn

và :

t ~1 ( / (X + tu) - f (z) - t { v ßỉ ( z ) , u)) 0khi t —> 0 đều theo U € V với mọi V € ß

Ta nói rằng hàm / là ß —trön tại X nếu v ^ / : X —> Xß liên tục trong

lân cận của X

Dễ dàng để kiểm tra rằng một hàm lồi là ß —trơn tại X khi và chỉ

khi / là ß —khả vi trên một lân cận lồi của X Sau đây ta sẽ định nghĩa

ß —dưới đạo hàm nhớt và ß —trên đạo hàm nhớt.

Đ ịnh nghĩa 2.8 ([7J, Định nghĩa 2.1) Cho / : X —> M là hàm nửa

liên tục dưới và / (æ) < Too Ta nói rằng / là ß —du0i khả vi nhớt và

X* là một ß —dudi đạo hàm nhớt của / tại X nếu tồn tại một hàm g là Lipschitz địa phương, sao cho g là ß —trơn tại X , v ßg (æ ) = X* và / — g

đạt cực tiểu địa phương tại X Ta kí hiệu tập tấ t cả các ß —dưới đạo

hàm nhớt của / tại X là Dß f ( x ) và gọi là ß —dudi vi phân nhớt của /

tại X

Cho / : X —> M là hàm nửa liên tục trên và / (æ) > — oo Ta nói

rằng / là ß —trcn khả vi nhớt và X* là một ß —trcn đ ạ o hàm nhớt của /