Luận văn dưới vi phân tổng quát và ứng dụng

Một số khái niệm về không gian BanachHàm khả vi trên không gian Banach 1... Lí do chọn đề tà i Giải tích không trơn ra đời trong những năm 70 của thế kỷ 20 khi những nhà điều khiển học m

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ THỊ BÌNHm

DƯỚI VI PHÂN TÓNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán gỉảỉ tích

Mã sổ: 60 4601 02

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Bằng

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn th àn h Luận văn, tác giả đã nhận được sự động viên, giúp đỡ của các bạn bè, đồng nghiệp, người thân, của các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, các thầy, cô phòng Sau đại học và của các thầy, cô trực tiếp giảng dạy Tôi xin được cảm

ơn tấ t cả mọi người đã hỗ trợ tôi để hoàn th àn h Luận văn này

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h nhất đến TS Trần Văn Bằng, người thầy đã định hướng và chỉ bảo tậ n tình để tôi có thể hoàn th àn h Luận văn này

Tôi x in trâ n trọ n g cảm ơn!

Hà Nội, 20 tháng 6 năm 20ỉ 5

Tác giả

N g ô T h ị B ìn h

Lời cam đoan

Luận văn này là kết quả của bản th ân tác giả đạt được trong quá trình học tập và nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng

và sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội

2 và của các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy

Trong khi nghiên cứu, hoàn th àn h bản Luận văn này tác giả đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Dưới v i p h ân tổ n g quát

v à ứ n g d ụ n g ” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, 20 tháng 6 năm 2015

Tác giả

N g ô T h ị B ìn h

Một số khái niệm về không gian Banach

Hàm khả vi trên không gian Banach

1

B ảng kí hiệu

X ** : Là không gian liên hợp th ứ hai của không gian X

X với tô pô hội tụ đều trên tập /3

/ : X —>■ Y : Ánh xạ đơn trị từ X vào Y

(x*, x) : Giá trị của hàm X* tại X

cl со : Bao lồi đóng

и, V : Các lân cận

D Ff (X) : Tập tấ t cả các dưới đạo hàm nhớt Fréchet

d ß f (x) : ß — dưới vi phân của / tại X

dGf (x) : Dưới vi phân G âteaux của / tại X

2

M ở đầu

1 Lí do chọn đề tà i

Giải tích không trơn ra đời trong những năm 70 của thế kỷ 20 khi những nhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho bài toán với dữ kiện không trơn, như với các dữ kiện Lipschitz hay với các dữ kiện chỉ nửa liên tục

Cho tới nay đã có nhiều khái niệm "đạo hàm suy rộng" đã được đưa

ra và thường được gọi dưới cái tên "dưới vi phân" như: dưới vi phân suy rộng của Clark, dưới vi phân Frechet, dưới vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy rộng đó đã đáp ứng được phần nào các yêu cầu đặt ra.Dưới vi phân có thể được chia th àn h hai nhóm lớn: Dưới vi phân

"đơn" và dưới vi phân "ngặt" Dưới vi phân đơn được định nghĩa tại từng điểm và không đòi hỏi tính chất khả vi của hàm trong lân cận của điểm đó Thường th ì dưới vi phân đơn là sự khái quát hóa của khái niệm đạo hàm cổ điển (như dưới vi phân Frechet, Gâteaux, Dini )Ngược lại với dưới vi phân đơn, dưới vi phân ngặt đòi hỏi tính khả

vi của hàm trong lân cận của điểm định nghĩa Thông thường, dưới vi phân ngặt có thể được biểu diễn như giới hạn của dưới vi phân đơn

Những khái niệm này không ngừng phát triển và ngày càng tỏ ra có nhiều ứng dụng trong giải tích phi tuyến và lý tuyết tối ưu Tuy nhiên vẫn còn rất nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần được tiếp tục tìm hiểu

3 N h iệm vụ nghiên cứu

Hệ thống tổng hợp các kiến thức về dưới vi phân tổng quát cùng một

số ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi

4 Đ ối tư ợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Dưới vi phân tổng quát và ứng dụng

Phạm vi: Nghiên cứu trong lớp hàm nửa liên tục dưới

4

5 P hư ơng pháp n ghiên cứu

Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến

đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm và lý thuyết tối ưu

6 N h ữ ng đ óng góp của Luận văn

Tìm hiểu về khái niệm dưới vi phân tổng quát Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà khoa học nghiên cứu và công bố về dưới vi phân tổng quát và ứng dụng

1.1 M ột số khái n iệm về không gian B anach

Mục này trình bày những khái niệm, tính chất về không gian Banach

và không gian liên hợp Cho X là không gian vectơ trên tập số thực R

Đ ịn h n g h ĩa 1.1 ([!], trang 11-12) Một chuẩn trong X , kí hiệu là II • II,

là một ánh xạ từ X vào R thỏa mãn các tiên đề sau:

Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn II • II xác định trong

không gian ấy được gọi là một không gian định chuẩn, kí hiệu (X, II • II)

hay đơn giản là X

M ệ n h đ ề 1.2 (|EL], trang 12) Cho X là không gian định chuẩn với chuẩn II • II Với Vx , y e X , đặt

d { x , y ) = ||x - y II.

Khi đố d, là một metric trên X

Đ ịn h n g h ĩa 1.3 ([TỊ, trang 21) Cho X là không gian định chuẩn với

chuẩn II • II Nếu X với khoảng cách d ( x , y ) = ||x — y II là m ột không gian metric đủ, khi đó X gọi là không gian Banach

Nếu không nói gì thêm trong luận văn này, không gian Banach được

kí hiệu là X Chuẩn trong không gian Banach được kí hiệu là II • \\x hay

II • II Hình cầu đơn vị (đóng) và mặt cầu đơn vị trong X kí hiệu lần

tính LP(Q) (1 < p < oo) tấ t cả các hàm số thực đo được X = x{t)

trên Q sao cho f n \x(t)\pdt < oo với chuẩn ||:r|| = (f n \x(t)\pd t ) 1^

là không gian Banach Không gian tuyến tính L°°(Q) tấ t cả các

hàm số thực đo được X = x ( t ) trên Q sao cho esssupn |rr(í)Ị < +00

với chuẩn \\x\\ = supn |rr(í)I là không gian Banach.

3 Không gian tuyến tính ỉp (1 < p < 00) tấ t cả các dãy số thực X =

(z(i)) sao cho chuỗi |z (ỉ)|p hội tụ với chuẩn ||x|| = Ị |z ( i ) r

là không gian Banach Không gian tuyến tính ỉ°° tấ t cả các dãy

số thực X = (z(i)) sao cho supị|:r(i)| < +00 với chuẩn \\x\\ =

supỂ |rr(í) Ị là không gian Banach

4 Không gian tuyến tính C[a, 0] các hàm thực liên tục trên một đoạn

[a, 0] với chuẩn \\x\\ = max \x(t)\ là không gian Banach.

Đ ịn h n g h ĩa 1.5 ([1], trang 61) Cho X là không gian định chuẩn với

chuẩn II • II Ánh xạ tuyến tính liên tục X* : X —> R gọi là một phiếm

hàm tuyến tính liên tục xác định trên X

Nếu X* : X —>■ R là một phiếm hàm tuyến tính liên tục và X £ X thì

giá trị của X* tại X được kí hiệu là x), nghĩa là x)=(x*, x )

Đ ịn h lý 1.6 ([3], Định lý 2.6, trang 78 ) Không gian đối ngẫu X* của

không gian định chuẩn X với chuẩn xác định bởi

là một không gian Banach.

V í dụ 1.7 ([BJ, trang 108, 110) Không gian đối ngẫu của L P(Q) ỉp (1 <

p < 00) lần lượt là không gian L q(Q), ỉq với q là số mũ liên hợp của p,

[a,b]

tức l à l / p + l / ợ = l Đặc biệt không gian đối ngẫu của ^ ( n ) , ỉ1 tương ứng là L ° ° ( Q ) ,r

Đ ịn h n g h ĩa 1.8 ([ĨJ, trang 73) Không gian liên hợp của không gian

X* gọi là không gian ỉiên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và

kí hiệu X** Như vậy X ** = (X*)*.

Đ ịn h n g h ĩa 1.9 ([Ị|, trang 85) Không gian định chuẩn X gọi là không

gian phản xạ, nếu X = X**.

V í dụ 1.10 (ỊHHSỊ) Các không gian LP(Q), ỉp (1 < p < 00) là các không

gian phản xạ

Theo Định lý 1^6, nếu X phản xạ thì X là một không gian Banach.

Đ ịn h n gh ĩa 1.11 Không gian Banach X được gọi là tách được nếu

nó có một tập con đếm được trù mật

V í dụ 1.12 ([9], trang 103) Các không gian L p (1 < p < 00),C[a,b]

là không gian tách được; các không gian L°°(Q), ỉ00 không tách được

1.2 H àm khả vi trên không gian B anach

Mục này trìn h bày khái niệm các đạo hàm cổ điển: đạo hàm theo

phương, đạo hàm G âteaux, đạo hàm Fréchet Cho X , Y là các không gian Banach trên trường số thực R, / : X Y là một ánh xạ.

Đ ịn h n g h ĩa 1.13 (ỊỊ2ỊI Định nghĩa 1.5) Cho d £ X và X £ X Nếu giới hạn lim f(x+td)-f(x) c5 đạo hàm theo phương d tại X, kí hiệu / ' (X, d)

Đ ịn h n g h ĩa 1.14 ( p | Định nghĩa 1.6) Cho X €: X là m ột điểm cố định Ánh xạ F : X —> Y được gọi là khả vi Gâteaux tại X nếu tồn tại

một ánh xạ Ả : X —> Y thỏa mãn

với mỗi h £ X , trong đó t —>■ 0 trong R

Ánh xạ Ả được gọi là đạo hàm G âteaux của F tạ i X và giá trị của

nó tại h được kí hiệu là Ả (h) = dF ( x , h )

Từ định nghĩa trên, đạo hàm G âteaux của một ánh xạ từ X vào Y tại X G X là một ánh xạ tuyến tính từ X vào Y Chú ý rằng nếu F

là một ánh xạ tuyến tính thì d F ( x, h) = F (h) hay dF (X) = F với

Vz G X

Nếu / là một hàm trên X , hay / : X R và / khả vi G âteaux tại

Ух G X , thì

và với mỗi X £ X cố định, df (x, h ) là một hàm tuyến tính của h G X

N h ậ n x é t 1.15 Nếu đạo hàm G âteaux tồn tại thì nó là duy nhất Từ

định nghĩa của đạo hàm thông thường có thể suy rộng cho một ánh xạ

từ một không gian Banach vào một không gian Banach Điều này dẫn đến khái niệm đạo hàm Fréchet

Đ ịn h n g h ĩa 1.16 Ánh xạ / được gọi là khả vi Fréchet (hay đơn giản là

khả vi) tại X G X nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục Ả : X Y

Khi đó A được gọi là đạo hàm Fréchet của / tại X và kí hiệu là D f ( x )

Khi Y = R thì đạo hàm (nếu tồn tại) của hàm / được xác định bởi một phần tử của X* e X* và biểu thức định nghĩa thường được viết là:

N h ậ n x é t 1.17 Nếu đạo hàm Fréchet tồn tại thì nó là duy nhất

Đ ịn h lý 1.18 Nếu một ánh xạ có một đạo hàm Fréchet tại một điềm

thì nó có đạo hàm Gâteaux tại điểm đó và cả hai đạo hàm bằng nhau.

Đ ịn h n g h ĩa 1.19 (fniỊ|, trang 2) Ta nói chuẩn ||.|| của X là khả vi

Fréchet hay là chuẩn trơn Fréchet nếu ||.|| là hàm khả vi Fréchet tại mọi X e S ỵ (nhờ tính thuần nhất của chuẩn ta suy ra chuẩn trơn

Fréchet sẽ khả vi Fréchet tại mọi X ^ 0).

V í d ụ 1.20 Chuẩn trên một không gian Hilbert H là chuẩn trơn

Hàm này khả vi G âteaux (có đạo hàm bằng 0) nhưng không khả vi Fréchet tại (0,0)

Đ ịn h lý 1.2 2 (Smulyan, [9J, Định lý 1.4, trang 3) Cho (X , ||.||) là không gian Banach với không gian đối ngẫu X * Khỉ đó chuẩn ||.|| khả

vi Fréchet tại X G S x khi và chỉ khi với mọi dẫy f n , g n € S x * , f n ( x ) —> 1

và gn(x) 1 ta đều có \\fn - gn II -> 0

không trơn Fréchet

T h ật vậy, với mọi X = (æ(î)) G Sị 1 Ta định nghĩa f n , 9 n £ Si°° bởi:

Đ ịn h lý 1.24 ( [9J, Hệ quả 3.3, trang 51) Cho X là không gian Banach tách được Khi đó X có chuẩn tương đương trơn Fréchet khi và chỉ khi X* tách được.

12

V í d ụ 1.25 Các không gian LP(Q) (1 < p < oo) là không gian có

chuẩn tương đương trơn Fréchet vì nó và không gian đối ngẫu của nó tách được.Tổng quát hơn, mọi không gian Banach phản xạ tách được đều có chuẩn tương đương trơn Fréchet

Đ ịn h n g h ĩa 1.26 ([2], Hàm số Lipschitz) Hàm số / được gọi là Lips-

chitz địa phương tại X € X hay Lipschitz ở gần nếu tồn tại lân cận

u của X, số k > 0 sao cho

2.1 Dưới vi phân tổ n g quát

Cho X là không gian Banach thực với hình cầu đơn vị đóng B và

X* là không gian đối ngẫu của X. Kí hiệu đường kính của tập s c X

là số

diam(S') := su p { ||x — y\\ : x , y £ S } Cho hàm / : X —>■ R Ta gọi

d o m / := {x £ X : f ( x ) e R},

ep i/ := {(x, Ằ) Ễ I X R : ĩ Ễ I , A > f { x ) }

14

tương ứng là miền hữu hiệu và trên đồ thị của / Hàm / được gọi là chính thường (proper) nếu d o m / Ф 0.

Tập mức compac của hàm / là tập m à L c ( / ) = {x : f (x) < c} với

3 ß được định hướng tăng, tức là nếu ß i, B 2 £ ß th ì B\ и B 2 € ß.

V í d ụ 2.2 (Một số borno cơ bản) Cho X là một không gian định

chuẩn thực

i) Họ F gồm tấ t cả mọi tập con đóng, bị chặn, đối xứng tâm của X

là một borno trên X và gọi là borno Fréchet.

ii) Họ W H gồm tấ t cả mọi tập con compac yếu, đối xứng tâm của

X là một borno trên X và gọi là borno Hadamard yếu.

iii) Họ H gồm tấ t cả mọi tập con compac, đối xứng tâm của X là một borno trên X và gọi là borno Hadamard.

iv) Họ G gồm tấ t cả mọi tập con hữu hạn, đối xứng tâm của X là một borno trên X và gọi là borno Gâteaux.

Từ nay về sau ta luôn giả thiết ß là một borno trên không gian định chuẩn thực X Kí hiệu Xß là không gian đối ngẫu của X và được trang

bị tô pô hội tụ đều trên tập thuộc /3, tức là: dãy các phiếm hàm tuyến

tính liên tục (theo chuẩn) trong X* được gọi là hội tụ tới phiếm hàm

tuyến tính liên tục X* G X* trong X ß nếu x*n hội tụ đều về X* trên mọi

tập con В G ß.

Đ ịn h n g h ĩa 2.3 в от о ß được gọi là lồi nếu với mọi в £ ß ta có bao lồi đóng cocLB G ß.

V í d ụ 2.4 Borno Fréchet trên R là một borno lồi

Đ ịn h n g h ĩa 2.5 ([9J, trang 10) Hàm / : X —>■ R được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c.) nếu với mọi A e R, tập {x G X : f ( x ) < A} là tập

đóng

Đ ịn h lý 2.6 ([8], trang 10) Cho X là không gian Banach, f là hàm chính thường trên X Khi đó ta có các khẳng định a) -d) sau đây là tương đương

a) Hàm / nửa liên tục dưới.

g) Nếu f l s с và E с X là tập compac thì f đạt giá trị lớn nhất trên E.

Từ nay về sau chúng ta luôn xét các hàm với giá trị thực mở rộng,

nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) và chính thường(proper)

Đ ịn h n g h ĩa 2.7 (Hàm ß —khả vi) Cho hàm / xác định trên X , ta nói rằng / là ß -khả vi tại X và có ß- đạo hàm là v ^ / (x) nếu / (x) hữu hạn

và :

r 1 ( / (x + t u ) ~ f (X) - t ( v ßf ( z ) , u) ) 0

khi t —>■ 0 đều theo и G V với mọi V G ß.

Ta nói rằng hàm / là ß —trơn tại X nếu v ^ / : X —ì Xß liên tục trong

lân cận của X.

Dễ dàng để kiểm tra rằng một hàm lồi là ß —trơn tại X khi và chỉ khi / là ß —khả vi trên một lân cận lồi của X Sau đây ta sẽ định nghĩa

ß —dưới đạo hàm nhớt và ß —trên đạo hàm nhớt.

Đ ịn h n g h ĩa 2.8 ([7], Định nghĩa 2.1) Cho / : X —>■ R là hàm nửa

liên tục dưới và / (я) < +00 Ta nói rằng / là ß —dưới khả vi nhớt và X* là một ß —dưới đạo hàm nhớt của / tại X nếu tồn tại một hàm g là

Lipschitz địa phương, sao cho g là ß —trơn tại X, v ßg (X) = X* và / — g

đ ạt cực tiểu địa phương tại X Ta kí hiệu tập tấ t cả các ß —dưới đạo hàm nhớt của / tại X là Dß f ( x ) và gọi là ß —dưới vi phẫn nhớt của /

tại X.

Cho / : X R là hàm nửa liên tục trên \ â f (x) > —00 Ta nói rằng / là ß —trên khả vi nhớt và X* là một ß —trên đạo hàm nhớt của /