Dưới vi phân tổng quát và ứng dụng (LV01636)

Cho tới nay đã có nhiều khái niệm "đạo hàm suy rộng" đã được đưa ra và thường được gọi dưới cái tên "dưới vi phân" như: dưới vi phân suyrộng của Clark, dưới vi phân Frechet, dưới vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ THỊ BÌNH

DƯỚI VI PHÂN TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Bằng

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận văn, tácgiả đã nhận được sự động viên, giúp đỡ của các bạn bè, đồng nghiệp,người thân, của các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, các thầy, cô phòngSau đại học và của các thầy, cô trực tiếp giảng dạy Tôi xin được cảm

ơn tất cả mọi người đã hỗ trợ tôi để hoàn thành Luận văn này

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến TS TrầnVăn Bằng, người thầy đã định hướng và chỉ bảo tận tình để tôi có thểhoàn thành Luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, 20 tháng 6 năm 2015

Tác giả

Ngô Thị Bình

Lời cam đoan

Luận văn này là kết quả của bản thân tác giả đạt được trong quátrình học tập và nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng

và sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội

2 và của các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy

Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tác giả đã thamkhảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Dưới vi phân tổng quát

và ứng dụng” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, 20 tháng 6 năm 2015

Tác giả

Ngô Thị Bình

Mục lục

Bảng kí hiệu 1

Mở đầu 3

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Một số khái niệm về không gian Banach 6

1.2 Hàm khả vi trên không gian Banach 9

Chương 2 Dưới vi phân tổng quát và ứng dụng 14

2.1 Dưới vi phân tổng quát 14

2.2 Quy tắc tổng mờ 22

2.3 Ứng dụng 29

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

Bảng kí hiệu

R : Tập số thực

R : Tập hợp số thực mở rộng R = R ∪ (+∞)

X : Là không gian Banach

X∗ : Là không gian đối ngẫu của không gian Banach X

X∗∗ : Là không gian liên hợp thứ hai của không gian X

Xβ∗ : Là không gian đối ngẫu của không gian Banach

X với tô pô hội tụ đều trên tập β

BX : Hình cầu đơn vị trên X

SX : Mặt cầu đơn vị trên X

E : Là tập con đóng của X

L : Là không gian con hữu hạn chiều của X

L⊥ Là không gian trực giao của L

f : X → Y : Ánh xạ đơn trị từ X vào Y

k · k : Chuẩn trong không gian Banach X

hx∗, xi : Giá trị của hàm x∗ tại x

β : là một họ các tập con đóng, bị chặn, đối xứng tâm của Xsup : Cận trên đúng

inf : Cận dưới đúng

diam(S) : Đường kính của tập S

cl : Bao đóng

co : Bao lồi

cl co : Bao lồi đóng

l.s.c Nửa liên tục dưới

U, V : Các lân cận

f0(x, d) : Đạo hàm của f theo phương d tại x

DFf (x) : Tập tất cả các dưới đạo hàm nhớt Fréchet

∇f (x) : Đạo hàm Fréchet của f tại x

∇βf (x) : β− đạo hàm của f tại x

∂βf (x) : β− dưới vi phân của f tại x

∂Gf (x) : Dưới vi phân Gâteaux của f tại x

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích không trơn ra đời trong những năm 70 của thế kỷ 20 khinhững nhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho bài toánvới dữ kiện không trơn, như với các dữ kiện Lipschitz hay với các dữkiện chỉ nửa liên tục

Cho tới nay đã có nhiều khái niệm "đạo hàm suy rộng" đã được đưa

ra và thường được gọi dưới cái tên "dưới vi phân" như: dưới vi phân suyrộng của Clark, dưới vi phân Frechet, dưới vi phân Mordukhovich, Cácđạo hàm suy rộng đó đã đáp ứng được phần nào các yêu cầu đặt ra.Dưới vi phân có thể được chia thành hai nhóm lớn: Dưới vi phân

"đơn" và dưới vi phân "ngặt" Dưới vi phân đơn được định nghĩa tạitừng điểm và không đòi hỏi tính chất khả vi của hàm trong lân cận củađiểm đó Thường thì dưới vi phân đơn là sự khái quát hóa của kháiniệm đạo hàm cổ điển (như dưới vi phân Frechet, Gâteaux, Dini )Ngược lại với dưới vi phân đơn, dưới vi phân ngặt đòi hỏi tính khả

vi của hàm trong lân cận của điểm định nghĩa Thông thường, dưới viphân ngặt có thể được biểu diễn như giới hạn của dưới vi phân đơn

Những khái niệm này không ngừng phát triển và ngày càng tỏ ra cónhiều ứng dụng trong giải tích phi tuyến và lý tuyết tối ưu Tuy nhiênvẫn còn rất nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần được tiếp tục tìm hiểu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống tổng hợp các kiến thức về dưới vi phân tổng quát cùng một

số ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trìnhHamilton-Jacobi

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Dưới vi phân tổng quát và ứng dụng

Phạm vi: Nghiên cứu trong lớp hàm nửa liên tục dưới

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến

đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm và lýthuyết tối ưu

6 Những đóng góp của Luận văn

Tìm hiểu về khái niệm dưới vi phân tổng quát Tổng hợp, hệ thốngmột số kết quả đã được các nhà khoa học nghiên cứu và công bố vềdưới vi phân tổng quát và ứng dụng

1.1 Một số khái niệm về không gian Banach

Mục này trình bày những khái niệm, tính chất về không gian Banach

và không gian liên hợp Cho X là không gian vectơ trên tập số thực RĐịnh nghĩa 1.1 ([1], trang 11-12) Một chuẩn trong X, kí hiệu là k · k,

là một ánh xạ từ X vào R thỏa mãn các tiên đề sau:

Với mọi ∀u, v ∈ X và α ∈ R

(i) kuk ≥ 0 (với kuk là số thực không âm)

(ii) kuk = 0 nếu u = 0

(iii) kαuk = |α| kuk

(iv) ku + vk ≤ kuk + kvk (bất đẳng thức tam giác )

Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn k · k xác định trongkhông gian ấy được gọi là một không gian định chuẩn, kí hiệu (X, k · k)hay đơn giản là X

Mệnh đề 1.2 ([1], trang 12) Cho X là không gian định chuẩn vớichuẩn k · k Với ∀x, y ∈ X, đặt

d (x, y) = kx − yk Khi đó d là một metric trên X

Định nghĩa 1.3 ([1], trang 21) Cho X là không gian định chuẩn vớichuẩn k · k Nếu X với khoảng cách d (x, y) = kx − yk là một khônggian metric đủ, khi đó X gọi là không gian Banach

Nếu không nói gì thêm trong luận văn này, không gian Banach được

kí hiệu là X Chuẩn trong không gian Banach được kí hiệu là k · kX hay

k · k Hình cầu đơn vị (đóng) và mặt cầu đơn vị trong X kí hiệu lầnlượt là các tập hợp

BX := {x ∈ X : kxk ≤ 1}, SX := {x ∈ X : kxk = 1}

Một số ví dụ về không gian Banach

Ví dụ 1.4 ([3],[4],[9]) Ta có:

1 Không gian tuyến tính Rk với chuẩn kxk = Pk

i=1|x(i)| là khônggian Banach

2 Cho Ω ⊂ Rk là tập con đo được Lebesgue Khi đó không gian tuyếntính Lp(Ω) (1 ≤ p < ∞) tất cả các hàm số thực đo được x = x(t)

trên Ω sao cho RΩ|x(t)|pdt < ∞ với chuẩn kxk = RΩ|x(t)|pdt
1/p

là không gian Banach Không gian tuyến tính L∞(Ω) tất cả cáchàm số thực đo được x = x(t) trên Ω sao cho esssupΩ|x(t)| < +∞với chuẩn kxk = supΩ|x(t)| là không gian Banach

3 Không gian tuyến tính lp (1 ≤ p < ∞) tất cả các dãy số thực x =(x(i)) sao cho chuỗi

là không gian Banach Không gian tuyến tính l∞ tất cả các dãy

số thực x = (x(i)) sao cho supi|x(i)| < +∞ với chuẩn kxk =supi|x(i)| là không gian Banach

4 Không gian tuyến tính C[a, b] các hàm thực liên tục trên một đoạn

[a, b] với chuẩn kxk = max

Định nghĩa 1.5 ([1], trang 61) Cho X là không gian định chuẩn vớichuẩn k · k Ánh xạ tuyến tính liên tục x∗ : X → R gọi là một phiếmhàm tuyến tính liên tục xác định trên X

Nếu x∗ : X → R là một phiếm hàm tuyến tính liên tục và x ∈ X thìgiá trị của x∗ tại x được kí hiệu là hx∗, xi, nghĩa là hx∗, xi=(x∗, x) Định lý 1.6 ([3], Định lý 2.6, trang 78 ) Không gian đối ngẫu X∗ củakhông gian định chuẩn X với chuẩn xác định bởi

kx∗k = sup

x6=0

|hx∗, xi|

kxk

là một không gian Banach

Ví dụ 1.7 ([3], trang 108, 110) Không gian đối ngẫu của Lp(Ω) lp (1 <

p < ∞) lần lượt là không gian Lq(Ω), lq với q là số mũ liên hợp của p,

tức là 1/p + 1/q = 1 Đặc biệt không gian đối ngẫu của L1(Ω), l1 tươngứng là L∞(Ω), l∞.

Định nghĩa 1.8 ([1], trang 73) Không gian liên hợp của không gian

X∗ gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và

kí hiệu X∗∗ Như vậy X∗∗ = (X∗)∗

Định nghĩa 1.9 ([1], trang 85) Không gian định chuẩn X gọi là khônggian phản xạ, nếu X = X∗∗

Ví dụ 1.10 ([3, 9]) Các không gian Lp(Ω), lp (1 < p < ∞) là các khônggian phản xạ

Theo Định lý 1.6, nếu X phản xạ thì X là một không gian Banach.Định nghĩa 1.11 Không gian Banach X được gọi là tách được nếu

nó có một tập con đếm được trù mật

Ví dụ 1.12 ([9], trang 103) Các không gian Lp (1 ≤ p < ∞), C[a, b]

là không gian tách được; các không gian L∞(Ω), l∞ không tách được

1.2 Hàm khả vi trên không gian Banach

Mục này trình bày khái niệm các đạo hàm cổ điển: đạo hàm theophương, đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet Cho X, Y là các khônggian Banach trên trường số thực R, f : X → Y là một ánh xạ

Định nghĩa 1.13 ([2] Định nghĩa 1.5) Cho d ∈ X và x ∈ X Nếu giới

Định nghĩa 1.14 ([2] Định nghĩa 1.6) Cho x ∈ X là một điểm cốđịnh Ánh xạ F : X → Y được gọi là khả vi Gâteaux tại x nếu tồn tạimột ánh xạ A : X → Y thỏa mãn

lim

t→0

F (x + th) − F (x)

t − A (h) = 0với mỗi h ∈ X, trong đó t → 0 trong R

Ánh xạ A được gọi là đạo hàm Gâteaux của F tại x và giá trị của

nó tại h được kí hiệu là A (h) = dF (x, h)

Từ định nghĩa trên, đạo hàm Gâteaux của một ánh xạ từ X vào Ytại x ∈ X là một ánh xạ tuyến tính từ X vào Y Chú ý rằng nếu F

là một ánh xạ tuyến tính thì dF (x, h) = F (h) hay dF (x) = F với

từ một không gian Banach vào một không gian Banach Điều này dẫnđến khái niệm đạo hàm Fréchet

Định nghĩa 1.16 Ánh xạ f được gọi là khả vi Fréchet (hay đơn giản làkhả vi ) tại x ∈ X nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục A : X → Ysao cho

lim

h→0

kf (x + h) − f (x) − Ahk

Khi đó A được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x và kí hiệu là Df (x)hay ∇f (x).

Khi Y = R thì đạo hàm (nếu tồn tại) của hàm f được xác định bởimột phần tử của x∗ ∈ X∗ và biểu thức định nghĩa thường được viết là:

Ví dụ 1.20 Chuẩn trên một không gian Hilbert H là chuẩn trơnFréchet Thật vậy, do

Hàm này khả vi Gâteaux (có đạo hàm bằng 0) nhưng không khả viFréchet tại (0, 0)

Định lý 1.22 (Smulyan, [9], Định lý 1.4, trang 3) Cho (X, k.k) làkhông gian Banach với không gian đối ngẫu X∗ Khi đó chuẩn k.k khả

vi Fréchet tại x ∈ SX khi và chỉ khi với mọi dãy fn, gn ∈ SX∗, fn(x) → 1

và gn(x) → 1 ta đều có kfn − gnk → 0

Ví dụ 1.23 Chuẩn kxk = P∞

i=1|x(i)| trong không gian Banach l1

không trơn Fréchet

Thật vậy, với mọi x = (x(i)) ∈ Sl1 Ta định nghĩa fn, gn ∈ Sl∞ bởi:

Định lý 1.24 ([9], Hệ quả 3.3, trang 51) Cho X là không gian Banachtách được Khi đó X có chuẩn tương đương trơn Fréchet khi và chỉ khi

X∗ tách được

Ví dụ 1.25 Các không gian Lp(Ω) (1 < p < ∞) là không gian cóchuẩn tương đương trơn Fréchet vì nó và không gian đối ngẫu của nótách được.Tổng quát hơn, mọi không gian Banach phản xạ tách đượcđều có chuẩn tương đương trơn Fréchet.

Định nghĩa 1.26 ([2], Hàm số Lipschitz) Hàm số f được gọi là chitz địa phương tại x ∈ X hay Lipschitz ở gần x, nếu tồn tại lân cận

Lips-U của x, số k > 0 sao cho

∀u, v ∈ U |f (u) − f (v)| ≤ k ku − vk (1.1)Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập Y ⊂ X nếu f Lipschitzđịa phương tại mọi u ∈ Y

Hàm f được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz k trên tập nếu 1.1đúng với mọi u, v ∈ Y

2.1 Dưới vi phân tổng quát

Cho X là không gian Banach thực với hình cầu đơn vị đóng B và

X∗ là không gian đối ngẫu của X Kí hiệu đường kính của tập S ⊂ X

là số

diam(S) := sup {kx − yk : x, y ∈ S} Cho hàm f : X → R Ta gọi

domf := {x ∈ X : f (x) ∈ R},

epif := {(x, λ) ∈ X × R : x ∈ X, λ ≥ f (x)}

tương ứng là miền hữu hiệu và trên đồ thị của f Hàm f được gọi làchính thường (proper) nếu domf 6= ∅.

Tập mức compac của hàm f là tập mà Lc(f ) = {x : f (x) ≤ c} với

3 β được định hướng tăng, tức là nếu B1, B2 ∈ β thì B1 ∪ B2 ∈ β

Ví dụ 2.2 (Một số borno cơ bản) Cho X là một không gian địnhchuẩn thực

i) Họ F gồm tất cả mọi tập con đóng, bị chặn, đối xứng tâm của X

là một borno trên X và gọi là borno Fréchet

ii) Họ W H gồm tất cả mọi tập con compac yếu, đối xứng tâm của

X là một borno trên X và gọi là borno Hadamard yếu

iii) Họ H gồm tất cả mọi tập con compac, đối xứng tâm của X làmột borno trên X và gọi là borno Hadamard

iv) Họ G gồm tất cả mọi tập con hữu hạn, đối xứng tâm của X làmột borno trên X và gọi là borno Gâteaux

Từ nay về sau ta luôn giả thiết β là một borno trên không gian địnhchuẩn thực X Kí hiệu Xβ∗ là không gian đối ngẫu của X và được trang

bị tô pô hội tụ đều trên tập thuộc β, tức là: dãy các phiếm hàm tuyếntính liên tục (theo chuẩn) trong X∗ được gọi là hội tụ tới phiếm hàmtuyến tính liên tục x∗ ∈ X∗ trong Xβ∗ nếu x∗n hội tụ đều về x∗ trên mọitập con B ∈ β.

Định nghĩa 2.3 Borno β được gọi là lồi nếu với mọi B ∈ β ta có baolồi đóng co clB ∈ β

Ví dụ 2.4 Borno Fréchet trên R là một borno lồi

Định nghĩa 2.5 ([9], trang 10) Hàm f : X → R được gọi là nửa liêntục dưới (l.s.c.) nếu với mọi λ ∈ R, tập {x ∈ X : f (x) ≤ λ} là tậpđóng

Định lý 2.6 ([8], trang 10) Cho X là không gian Banach, f là hàmchính thường trên X Khi đó ta có các khẳng định a) -d) sau đây làtương đương

a) Hàm f nửa liên tục dưới

b) Trên đồ thị epif là tập đóng trong X × R

c) Với mọi x ∈ X, với mọi ε > 0 đều tồn tại một lân cận V của xsao cho f (y) > f (x) − ε với mọi y ∈ V

d) Với mọi dãy xn hội tụ tới x trong X, ta có

g) Nếu f l.s.c và E ⊂ X là tập compac thì f đạt giá trị lớn nhấttrên E.

Từ nay về sau chúng ta luôn xét các hàm với giá trị thực mở rộng,nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) và chính thường(proper)

Định nghĩa 2.7 (Hàm β−khả vi) Cho hàm f xác định trên X, ta nóirằng f là β-khả vi tại x và có β- đạo hàm là ∇βf (x) nếu f (x) hữu hạn

và :

t−1 f (x + tu) − f (x) − t βf (x) , u
→ 0khi t → 0 đều theo u ∈ V với mọi V ∈ β

Ta nói rằng hàm f là β−trơn tại x nếu ∇βf : X → Xβ∗ liên tục tronglân cận của x

Dễ dàng để kiểm tra rằng một hàm lồi là β−trơn tại x khi và chỉkhi f là β−khả vi trên một lân cận lồi của x Sau đây ta sẽ định nghĩaβ−dưới đạo hàm nhớt và β−trên đạo hàm nhớt

Định nghĩa 2.8 ([7], Định nghĩa 2.1) Cho f : X → R là hàm nửaliên tục dưới và f (x) < +∞ Ta nói rằng f là β−dưới khả vi nhớt và

x∗ là một β−dưới đạo hàm nhớt của f tại x nếu tồn tại một hàm g làLipschitz địa phương, sao cho g là β−trơn tại x, ∇βg (x) = x∗ và f − gđạt cực tiểu địa phương tại x Ta kí hiệu tập tất cả các β−dưới đạohàm nhớt của f tại x là Dβ−f (x) và gọi là β−dưới vi phân nhớt của ftại x

Cho f : X → R là hàm nửa liên tục trên và f (x) > −∞ Ta nóirằng f là β−trên khả vi nhớt và x∗ là một β−trên đạo hàm nhớt của f

tại x nếu tồn tại một hàm g Lipschitz địa phương, sao cho g là β−trơntại x, ∇βg (x)=x∗ và f − g đạt cực đại địa phương tại x Ta kí hiệutập tất cả các β−trên đạo hàm nhớt của f tại x là Dβ+f (x) và gọi làβ−trên vi phân nhớt của f tại x.

Nhận xét 2.9 ([7], Nhân xét 2.3 ) Bằng cách cộng thêm hằng số ta cóthể giả thiết rằng hàm β−trơn g trong định nghĩa nêu trên luôn thỏamãn g (x) = f (x)

Nhận xét 2.10 ([7], Nhân xét 2.4 ) Để ý rằng ta cũng có định nghĩaβ−dưới vi phân theo giới hạn ∂βf (x) của f tại x như sau: Phần tử

x∗ ∈ ∂βf (x) nếu với bất kì ε > 0 và mọi V ∈ β, đều ∃η > 0 sao cho

t−1(f (x + th) − f (x)) − hx∗, hi > −ε ∀t ∈ (0, η) , h ∈ V

Ta có thể kiểm tra rằng Dβ−f (x) ⊂ ∂βf (x) Ví dụ sau đây là mộttrường hợp ở đó có bao hàm thức thực sự

Ví dụ 2.11 Cho f : Rn → R (n ≥ 2) là liên tục, giả sử rằng f khả

vi Gâteaux nhưng không khả vi Fréchet (hay không khả vi Hadamardyếu) tại 0 (chẳng hạn f : R2 → R xác định bởi f (x, y) = xy3/ x2 + y4
khi (x, y) 6= (0, 0) và f (0, 0) = 0 tại (0, 0)) Đặt g(h) := −|f (h)−f (0)−

∇Gf (0)h| Khi đó g là liên tục đều địa phương và

1 ∂Gg (0) = {0} ;

2 DGg (0) = ∅

Chứng minh Ta có thể kiểm tra trực tiếp rằng ∇Gg (0) = 0 , do đó

∂Gg (0) = {0} Do ta có DGg (0) ⊂ ∂Gg (0) nên hoặc khẳng định (2)