bài giảng cơ học lưu chất

Nhưng thường trong thủy lực ta không yêu cầu biết thật chính xác về mỗi trạng thái chuyển động của mỗi hạt chất lỏng lưu hạt mà chỉ biết các trị số trung bình của một đại lượng nào đó ở

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA CÔNG NGHỆ

LỜI NÓI ĐẦU

Bài giảng được biên soạn trên cơ sở tổng hợp nhiều tài liệu của các tác giả nhằm phục vụ việc giảng dạy sinh viên trong các ngành kỹ thuật như: Xây dựng, Thủy công, Công thôn, Kỹ thuật Môi trường, Cơ khí v.v

Nội dung Bài giảng bao gồm 6 chương:

CHƯƠNG 1: MỞ ÐẦU

CHƯƠNG 2: THỦY TĨNH HỌC

CHƯƠNG 3: ÐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG TRONG KHÔNG GIAN 1

CHIỀU

CHƯƠNG 4: TỔN THẤT NĂNG LƯỢNG

CHƯƠNG 5: DÒNG CHẢY QUA LỖ, VÒI DÒNG TIA

CHƯƠNG 6: DÒNG CHẢY ỔN ÐỊNH TRONG ỐNG CÓ ÁP

Ngoài các ngành trên, Bài giảng có thể dùng làm Tài liệu tham khảo cho các ngành học có liên quan

Trong quá trình biên soạn, mặc dù đã có nhiều cố gắng, tuy đã được chỉnh sửa, song không thể tránh khỏi những sai sót; rất mong nhận được sự góp ý của quý đọc giả tham khảo Bài giảng này

MỤC LỤC

CHƯƠNG I MỞ ÐẦU 4

I CHẤT LƯU 4

II KHOA HỌC THỦY LỰC 5

III PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT 5

IV HAI LOẠI LỰC TÁC DỤNG LÊN MỘT THỂ TÍCH CHẤT LỎNG 6

CHƯƠNG II THỦY TĨNH HỌC 7

I ÐỊNH NGHĨA ÁP SUẤT 7

II CÁC TÍNH CHẤT CỦA ÁP SUẤT THỦY TĨNH 7

III PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG CÂN BẰNG 8

IV TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG 8

V MẶT ÐẲNG ÁP 9

VI SỰ CÂN BẰNG CHẤT LỎNG TRỌNG LỰC 9

VII SỰ CÂN BẰNG CỦA CHẤT LỎNG TRONG NHỮNG BÌNH CHỨA CHUYỂN ÐỘNG 15

VIII ÁP LỰC LÊN THÀNH PHẲNG 17

IX TÍNH ÁP LỰC THỦY TĨNH LÊN THÀNH CONG 21

X ÐỊNH LUẬT ARCHIMEDES 24

XI SỰ CÂN BẰNG VẬT RẮN NGẬP HOÀN TOÀN TRONG NƯỚC 24

XII SỰ CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN NỔI TRÊN MẶT TỰ DO CỦA CHẤT LỎNG 25

CHƯƠNG III ÐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG TRONG KHÔNG GIAN MỘT CHIỀU 28 I CHUYỂN ÐỘNG KHÔNG ỔN ÐỊNH VÀ ỔN ÐỊNH 28

II CÁC ÐỊNH NGHĨA CĂN BẢN 28

III NHỮNG YẾU TỐ THỦY LỰC DÒNG CHẢY 29

IV PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC CỦA DÒNG CHẢY ỔN ÐỊNH 30

V PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI CỦA DÒNG NGUYÊN TỐ CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG CHẢY ỔN ÐỊNH 31

VI PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI CỦA DÒNG NGUYÊN TỐ CHẤT LỎNG THỰC CHẢY ỔN ÐỊNH 32

VII Ý NGHĨA CỦA PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI VIẾT CHO DÒNG NGUYÊN TỐ CHẢY ỔN ÐỊNH 33

VIII ÐỘ DỐC THỦY LỰC VÀ ÐỘ DỐC ÐO ÁP CỦA DÒNG NGUYÊN TỐ 34

IX PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI CỦA TOÀN DÒNG (CÓ KÍCH THƯỚC HỮU HẠN) CHẤT LỎNG THỰC CHẢY ỔN ÐỊNH 35

X ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI TRONG VIỆC ÐO LƯU TỐC VÀ LƯU LƯỢNG 38

XI PHƯƠNG TRÌNH ÐỘNG LƯỢNG CỦA TOÀN DÒNG CHẢY ỔN ÐỊNH 40

XII PHÂN LOẠI DÒNG CHẢY 43

CHƯƠNG IV TỔN THẤT NĂNG LƯỢNG 44

I CÁC DẠNG TỔN THẤT NĂNG LƯỢNG 44

II PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA DÒNG CHẤT LỎNG CHẢY ÐỀU 44

III HAI TRẠNG THÁI CHUYỂN ÐỘNG CỦA CHẤT LỎNG 46

IV TRẠNG THÁI CHẢY TẦNG TRONG ỐNG 48

V TRẠNG THÁI CHẢY RỐI TRONG ỐNG 51

VI TÍNH TỔN THẤT DỌC ÐƯỜNG 54

VII CÁC CÔNG THỨC XÁC ÐỊNH TỔN THẤT 58

VIII TỔN THẤT CỤC BỘ 62

CHƯƠNG V DÒNG CHẢY QUA LỖ, VÒI - DÒNG TIA 64

I KHÁI NIỆM CHUNG 65

II DÒNG CHẢY TỰ DO ỔN ÐỊNH QUA LỖ NHỎ THÀNH MỎNG 65

III DÒNG CHẢY NGẬP, ỔN ÐỊNH, QUA LỖ THÀNH MỎNG 68

IV DÒNG CHẢY TỰ DO ỔN ÐỊNH QUA LỖ TO THÀNH MỎNG 70

V DÒNG CHẢY NỬA NGẬP, ỔN ÐỊNH QUA LỖ TO THÀNH MỎNG 72

VI DÒNG CHẢY KHÔNG ỔN ÐỊNH QUA LỖ NHỎ THÀNH MỎNG 73

VII DÒNG CHẢY QUA VÒI 76

VIII PHÂN LOẠI, TÍNH CHẤT DÒNG TIA 79

IX NHỮNG ÐẶC TÍNH ÐỘNG LỰC HỌC CỦA DÒNG TIA 82

CHƯƠNG VI DÒNG CHẢY ỔN ÐỊNH TRONG ỐNG CÓ ÁP 85

I NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ÐƯỜNG ỐNG 85

II TÍNH TOÁN THỦY LỰC VỀ ỐNG DÀI 87

III ĐƯỜNG ỐNG PHỨC TSẠP 93

IV TÍNH TOÁN THỦY LỰC VỀ ỐNG NGẮN TÍNH TOÁN THỦY LỰC VỀ ÐƯỜNG ỐNG CỦA MÁY BƠM LY TÂM 95

BÀI TẬP CHƯƠNG I 99

BÀI TẬP CHƯƠNG II 99

BÀI TẬP CHƯƠNG III: 103

BÀI TẬP CHƯƠNG IV: 105

TỔN THẤT NĂNG LƯỢNG 105

BÀI TẬP CHƯƠNG V: 109

DÒNG CHẢY QUA LỖ, VÒI 109

BÀI TẬP CHƯƠNG VI: 111

DÒNG CHẢY ỔN ÐỊNH, ÐỀU, CÓ ÁP TRONG ỐNG DÀI 111

ÐỀ THI TRẮC NGHIỆM 115

Phụ lục: 119

Có hai loại chất lưu: lỏng và khí

M_ Khối lượng trong thể tích V, kg

g

1

p =−

 , at-1, m2/kgf V: Thể tích ban đầu, m³

dV lượng thay đổi thể tích V, m³

dp lượng thay đổi áp suất, N/m², kgf/m2, at

Môđun đàn hồi thể tích:

P

1E

t

1

=

 ,°C -1

dt _ lượng thay đổi nhiệt độ, °C

t_ Hệ số vì nhiệt thay đổi khi áp suất thay đổi

Hệ số giãn nở của nước tăng khi áp suất tăng, nhưng đối với phần lớn các chất lỏng khác thì t giảm khi áp suất tăng

I.2.5 Có sức căng mặt ngoài

Sinh ra hiện tượng mao dẫn trong ống có đường kính nhỏ Sức căng mặt ngoài phụ thuộc nhiệt độ Sức căng mặt ngoài rất nhỏ so với các lực khác, cho nên phần lớn các hiện tượng thủy lực ta không xét đến

I.2.6 Tính nhớt (ma sát trong)

Khi các chất lỏng chuyển động, giữa chúng có sự chuyển động tương đối, làm sinh ra lực ma sát trong Ðây là nguyên nhân sinh ra tổn thất năng lượng khi chất lỏng chuyển động Ðặc tính này gọi là tính nhớt

Công do lực nhớt sinh ra biến thành nhiệt năng không thu hồi lại được Các lực nhớt sinh ra có liên quan đến lực hút phân tử trong chất lỏng

Ðịnh luật Newton:

dn

duS

T= , N

T _ lực nhớt trên diện tích S của hai lớp chất lỏng, N

S _ diện tích tiếp xúc giữa hai lớp chất lỏng, m2

dn

du

_ gradient vận tốc theo phương n vuông góc hướng dòng chảy, m/(s.m)

_ hệ số đặc trưng cho tính nhớt gọi là hệ số nhớt động lực học, N.s.m-2, Pa.s

Chất lỏng ở trạng thái tĩnh rất gần với chất lỏng lý tưởng

Ðể có kết quả chất lỏng lý tưởng phù hợp chất lỏng thực, người ta dùng thực nghiệm để rút ra hệ số hiệu chỉnh

Ngoài ra một số vấn đề thủy lực, chưa có phương pháp lý luận giải quyết được,

mà phải dùng phương pháp thực nghiệm

II KHOA HỌC THỦY LỰC

II.1 Ðịnh nghĩa

Thủy lực học là môn khoa học cơ sở, nghiên cứu những quy luật cân bằng và chuyển động của chất lỏng Nghiên cứu vận dụng những quy luật ấy để giải quyết các vấn đề kỹ thuật trong thực tiễn sản xuất

II.2 Các lĩnh vực nghiên cứu

Cơ sở lý luận của thủy lực là vật lý, cơ học lý thuyết, cơ học chất lỏng Bản thân thủy lực học lại là cơ sở để nghiên cứu những môn chuyên môn:

- Xây dựng công trình thủy lợi: Thủy điện, Thủy công, Trạm Bơm, Kênh dẫn

- Xây dựng dân dụng: Cầu cảng, Cấp thoát nước, Cầu đường

- Chế tạo máy thủy lực: Bơm, Turbine, Động cơ thủy, Truyền động Thủy lực

III PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT

Trong nghiên cứu thủy lực phải kết hợp chặt chẽ lý thuyết và thực nghiệm

❖ Các nguyên lý cơ bản để giải bài toán thủy lực

- Bảo toàn khối lượng (bảo toàn liên tục)

- Bảo toàn động lượng và moment động lượng (nguyên lý cơ bản cơ học)

- Bảo toàn năng lượng (nguyên lý cơ bản vật lý)

❖ Phương pháp tiến hành như sau:

- Tách riêng bằng tưởng tượng thể tích chứa chất lỏng đang xét Gọi là thể tích kiểm tra Mặt bao quanh thể tích kiểm tra gọi là mặt kiểm tra

- Nghiên cứu tác dụng các lực lên các phần tử đó

- Áp dụng các nguyên lý cơ bản của cơ học và vật lý học đối với toàn bộ khối chất lỏng trong thể tích kiểm tra, coi như toàn bộ khối chất lỏng đó là một hệ thống vật chất do các phần tử chất lỏng tạo nên

Nhờ phương pháp này giúp ta lập được phương trình vi phân của phần tử chất lỏng Nhưng thường trong thủy lực ta không yêu cầu biết thật chính xác về mỗi trạng thái chuyển động của mỗi hạt chất lỏng (lưu hạt) mà chỉ biết các trị số trung bình của một đại lượng nào đó ở trong một thể tích hay mặt cắt

Sự phân tích thứ nguyên nhiều khi cũng giúp ta tìm được dạng gần đúng của các định luật

Trong thủy lực, thực nghiệm đóng vai trò quan trọng Thí nghiệm được làm trên những vật nhỏ gọi là mô hình

Có hai cách khảo sát chuyển động:

- Theo Euler : có vô số quan sát viên ở tại vô số điểm đặt tại dòng chảy Như vậy

ta có u, p, phụ thuộc vào vị trí điểm cố định và thời gian t:

u = f1(x, y, z, t) ; p = f2(x, y, z, t)

- Theo Lagrange: có vô số quan sát viên di chuyển cùng vận tốc với 1 phần tử chất lỏng

+ Ở thời điểm t0: một phần tử chất lỏng A có tọa độ là (a, b, c)

+ Tại thời điểm t: phần tử đó có tọa độ là (x, y, z)

Ta có: x = f1(a, b, c, t) ; y = f2(a, b, c, t); z = f3(a, b, c, t)

Ðây là dạng chuyển động của dòng chảy

IV HAI LOẠI LỰC TÁC DỤNG LÊN MỘT THỂ TÍCH CHẤT LỎNG

Xét một thể tích chất lỏng, chứa trong mặt cong S, những lực tác dụng lên thể tích chất lỏng chia làm hai loại:

❖ Lực khối: là những lực tỷ lệ với khối lượng chất lỏng tác dụng lên mỗi phân tử chất lỏng như: lực quán tính, trọng lực, lực điện từ Thông thường lực khối là trọng lực, trừ một số trường hợp đặc biệt phải xét thêm lực quán tính

❖ Lực bề mặt: là lực từ ngoài tác dụng lên các phần tử chất lỏng qua mặt tiếp xúc, tỷ lệ với diện tích mặt tiếp xúc như: áp lực khí quyển tác dụng lên mặt

tự do của chất lỏng, áp lực piston lên chất lỏng chứa trong xy lanh

CHƯƠNG II THỦY TĨNH HỌC

I ÐỊNH NGHĨA ÁP SUẤT

Do tác dụng của các lực ngoài (lực bề mặt và lực khối) nên trong nội bộ chất lỏng xuất hiện những ứng suất Ta gọi những ứng suất đó là áp suất thủy tĩnh

Xét trên mặt phẳng có diện tích A chịu lực P tác dụng

Áp suất thủy tĩnh trung bình:

kg

 , at 1at = 1kgf/cm2 = 9,81.104 N/m2

Áp suất thủy tĩnh tại mọi điểm theo mọi

phương đều bằng nhau

Gọi X, Y, Z là hình chiếu của gia tốc

lực khối F lên các trục Ox, Oy, Oz

Viết phương trình cân bằng đối với trục Ox

cos

Do dxdydz là vô cùng bé bậc cao hơn vô cùng bé dydz nên có thể bỏ qua

Ta cũng có: AABC.cos(n, x) = AOBC

Khi dxdydz tiến về 0 ta có: px = pn

III PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG CÂN BẰNG

Gọi X là thành phần trên trục Ox

của lực thể tích F tác dụng lên một

đơn vị khối lượng chất lỏng

Ta có thể viết phương trình cân

bằng của hình hộp theo phương x:

0zyxXzy2

xx

ppzy2

xx

p1X0Xx

p1z

0y

p1y

0x

p1x

IV TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG

Hệ phương trình (2_3) có thể viết dưới dạng vi phân toàn phần của p như sau: Nhân những phương trình trong hệ (2_3) riêng biệt với dx, dy, dz rồi cộng vế đối

vế, ta có:

0dzz

pdyy

pdxx

p1ZdzYdy



+







−+



+

pdxx

pdp

Ta được: (Xdx Ydy Zdz) 1dp=0



−+

O

y

x

z

Hay dp=(Xdx+Ydy+Zdz) (2_4)

Ðó là phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng

Tích phân phương trình (2-4), ta được:

p=(X.x+Y.y+Z.z)+C (2_4a)

Để tìm hằng số C của phương trình (2-4a), ta cần tìm trong chất lỏng, tại đó biết trước áp suất; thí dụ tại điểm A (x0, y0) trên mặt thoáng có áp suất là p0 Vì điểm A lấy trong chất lỏng đang xét nên tọa độ và áp suất của A sẽ thỏa phương trình (2-4’):

Hai mặt đẳng áp khác nhau không thể cắt nhau, vì nếu chúng cắt nhau thì tại

cùng một giao điểm, áp suất thủy tĩnh có những trị số khác nhau, điều đó trái với tính chất 2 áp suất thủy tĩnh

trọng lực Trong hệ tọa độ vuông góc mà trục Oz

đặt theo phương thẳng đứng hướng lên trên, thì

đối với lực thể tích F tác dụng lên một đơn vị khối

lượng của chất lỏng trọng lực, ta có:

X = 0 ; Y= 0 ; Z = - g

Trong đó: g là gia tốc trọng trường

Từ phương trình vi phân cơ bản chất lỏng

(2_4), thay các giá trị vào ta được: dp = - gdz

x

pz

p

+

Phương trình vi phân cơ bản của thủy tĩnh học

Ta thấy khi p = const thì z = const

Vậy những mặt đẳng áp của chất lỏng trọng lực là những mặt song song, thẳng góc với trục Oz, hoặc nói cách khác, là những mặt phẳng nằm ngang Mặt tự do của chất lỏng ở đó áp suất p0 = pa cũng là mặt nằm ngang

VI.3 Ðịnh luật bình thông nhau

Nếu hai bình thông nhau chứa đựng chất lỏng khác nhau và có áp suất trên mặt thoáng bằng nhau, độ cao của chất lỏng ở mỗi bình tính từ mặt phân chia hai chất lỏng đến mặt thoáng sẽ tỉ lệ nghịch với trọng lượng đơn vị của

chất lỏng, tức là:

1 2 2

p2 = p0 + 2 h2Vậy ta được: 1h1 = 2h2

Do đó:

1 2 2

VI.4 Ðịnh luật Pascal

Gọi p0 là áp suất tại mặt ngoài của một thể tích chất lỏng cho

trước đứng cân bằng, áp suất tại điểm A ở độ sâu h trong chất lỏng

lực, máy kích, máy tích năng, các bộ phận truyền động v.v

Xét một ứng dụng máy ép thủy lực: Máy gồm hai xy lanh có diện tích khác nhau, thông với nhau, chứa cùng một chất lỏng và có piston di chuyển Piston nhỏ gắn vào đòn bẩy, khi một lực F nhỏ tác dụng lên đòn bẩy, thì lực tác dụng lên piston nhỏ sẽ tăng lên thành áp suất tại xy lanh nhỏ bằng:

p = , trong đó A1 là diện tích xy lanh nhỏ

Theo định luật Pascal:

P A

trong đó: A2 - diện tích mặt piston lớn

Nếu coi A1, P1 là không đổi, khi muốn tăng P2 thì phải tăng A2

VI.5 Áp suất tuyệt đối - Áp suất dư - Áp suất chân không

Người ta gọi áp suất tuyệt đối hoặc áp suất toàn phần là áp suất p xác định bởi công thức cơ bản (2_7) (giá trị áp suất thực tế tại một điểm)

p = p0+ h = ptuyệt

Nếu từ áp suất tuyệt đối ptuyệt ta bớt đi áp suất khí quyển thì hiệu

số đó gọi là áp suất dư pdư hoặc là áp suất tương đối

pdư = ptuyệt - pa (2_10)

Nếu áp suất tại mặt thoáng là áp suất khí quyển pa thì: pdư = h

Như vậy áp suất tuyệt đối biểu thị cho ứng suất nén thực tế tại điểm đang xét, còn

áp suất dư là phần áp suất còn dư nếu trong trị số của áp suất tuyệt đối ta bớt đi trị số áp suất không khí Áp suất tuyệt đối bao giờ cũng là một số dương, còn áp suất dư có thể dương hoặc âm:

p1

pdư > 0 khi ptuyệt > pa

pdư < 0 khi ptuyệt < pa

Trong trường hợp áp suất dư âm thì hiệu số của áp suất khí quyển và áp suất tuyệt đối gọi là áp suất chân không hoặc là chân không

pck = pa - ptuyệt = - pdư (2_11)

❖ Chú ý:

a Nói đến áp suất chân không có nghĩa là áp suất tuyệt đối nhỏ hơn áp suất không khí, chứ không có nghĩa là không còn phần tử vật chất nào

b Áp suất chân không lớn nhất: pckMax = pa (ptuyệt = 0)

c Khi p0 = pa thì pdư = h và áp suất dư tại mặt thoáng pdư = 0

VI.6 Ý nghĩa của phương trình cơ bản của thủy tĩnh học

- H gọi là cột nước thủy tĩnh, độ cao đo áp tuyệt đối hoặc dư

Vậy phương trình cơ bản thủy tĩnh học nói rằng: trong một môi trường chất lỏng đứng cân bằng, cột nước thủy tĩnh đối với bất kỳ một điểm nào là một hằng số

- z gọi là vị năng đơn vị

- h =



p gọi là áp năng đơn vị

- H gọi là thế năng đơn vị

Vậy phương trình cơ bản của thủy tĩnh học nói rằng: thế năng đơn vị của chất lỏng đứng cân bằng là một hằng số đối với bất kỳ điểm nào trong chất lỏng; thế năng đơn vị chính là cột nước thủy tĩnh

Hai đầu để hở, đo áp suất pdư , pck tại một

điểm hoặc đo độ chênh áp suất tại hai điểm Chất

lỏng đựng trong ống có thể nước, cồn hoặc thủy

ngân khác với chất lỏng cần đo

Trong nhiều trường hợp người ta cần biết

không phải chỉ hiệu số áp suất pB - pA tại hai điểm,

mà còn cần biết hiệu số những độ cao đo áp giữa

hai điểm, tức là cần biết:

B A

A

pz

pz

h

Khi độ chênh lệch áp suất lớn hoặc nhỏ quá người ta dùng một áp kế đo chênh

có hai chất lỏng, cấu tạo bởi một ống thủy tinh hình chữ U, trong đó có đựng một lượng thích hợp của chất lỏng có trọng lượng đơn vị bằng ’ khác với trọng lượng đơn vị  của nước và không hòa tan với nước

Những đầu trên của ống U đều nối với những điểm A và B bởi những ống nối thông mà người ta kiểm tra kỹ không còn chút bọt khí nào, cũng như kiểm tra bản thân

áp kế (thường người ta đặt những khóa R và R’ ở đầu trên của những nhánh thuộc ống

=



' A A A

pz

=



' B B B

pz

Giữa A’ và B’, trong chất lỏng có trọng lượng riêng bằng ’, ta có thể viết được:

'

pz'

p

' A ' B ' B

+

VI.7.5 Áp kế kim loại

Những áp kế này thường dùng để đo áp suất khá lớn Ðộ chính xác của chúng rõ ràng không bằng áp suất dùng chất lỏng và thường được kiểm nghiệm bằng một máy ép tiêu chuẩn

VI.8 Biểu đồ phân bố áp suất

Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học chứng tỏ rằng đối với một chất lỏng trọng lực nhất định, trong điều kiện áp suất tại mặt tự do p0 cho trước, áp suất p là hàm số bậc nhất của độ sâu h

Như vậy trong hệ tọa độ p, h, phương trình (2_7) được biểu diễn bằng một đường thẳng Ðể giản đơn việc trình bày ta giả thiết p0 = pa khi đó pdư = .h

Ta chọn hệ trục tọa độ có trục h thẳng đứng hướng xuống dưới và trục p đặt nằm ngang Sự biểu diễn bằng đồ thị hàm số trong hệ tọa độ nói trên gọi là đồ phân bố áp suất thủy tĩnh theo đường thẳng đứng tức là theo những điểm trên đường thẳng đứng đó

Trước tiên ta xét đến đường biểu diễn áp suất dư pdư = .h theo đường thẳng đứng; đường biểu diễn này là một đường thẳng, do đó chỉ cần xác định hai điểm là vẽ được.

Với h = 0 (ở mặt tự do), ta có: pdư = 0 Nên: O(0, 0) Với h = H1 ta có: pdư = .h1 Nên: A’(H1, H1)

Ta được hai điểm O và A’, tam giác OAA’ chính là đồ phân bố áp suất dư Dùng

đồ phân bố áp suất dư, ta có thể xác định áp suất dư p tại một điểm có độ sâu h bất kỳ Muốn có đồ phân bố áp suất tuyệt đối ta chỉ cần tịnh tiến đường OA’ theo phương thẳng góc với Oh một đoạn p0 và được đường O”A” Ðồ phân bố áp suất tuyệt đối là hình thang vuông góc OO”A”A

❖ Chú ý:

1 Ta có thể thay trục nằm ngang p bằng trục



p

, khi đó cả hai trục đều là đơn vị

độ dài, áp suất lúc đó có thể biểu thị độ dài cột nước; trong thực tiễn, ta cũng thường vẽ biểu đồ phân bố với tọa độ như vậy để tính áp lực Ðồ phân bố với tọa độ như thế gọi là biểu đồ áp lực Lúc đó biểu đồ áp lực dư được biểu diễn bởi hàm số: pd =h

 và đồ áp lực tuyệt đối được biểu diễn bởi hàm số: p = p +h



 0 Rõ ràng lúc đó đường thẳng biểu diễn có độ dốc bằng 450

2 Do tính chất áp suất tại một điểm phải thẳng góc với mặt chịu áp lực tại điểm

đó, nên đồ phân bố áp suất cũng như đồ áp lực đối với một đường thẳng bao giờ cũng

là một tam giác vuông hoặc hình thang vuông Trong trường hợp vẽ biểu đồ áp lực trên đường thẳng nghiêng hoặc đường thẳng gãy không khó khăn gì Trong trường hợp này

đồ áp lực cũng là tam giác vuông hoặc hình thang vuông

3 Còn vẽ đồ phân bố áp suất trên đường cong ta phải biểu diễn bằng đồ thị trị số

áp suất tại từng điểm theo phương trình cơ bản rồi nối lại thành đường cong của đồ phân

là trạng thái tĩnh tương đối của chất lỏng; nó xuất hiện khi bình chứa chất lỏng chuyển

động với một gia tốc không đổi Lực khối tác dụng vào chất lỏng không chỉ có trọng lực

mà còn có lực quán tính Ta nghiên cứu hai trường hợp tĩnh tương đối của chất lỏng:

VII.1 Sự cân bằng của chất lỏng đựng trong bình chuyển động thẳng với gia tốc

không đổi

Trường hợp này thường gặp ở các xe chở dầu, nước Giả thiết rằng bình chứa

đang chuyển động thẳng với gia tốc không đổi a nhanh dần Chất lỏng chịu tác dụng

của hai lực khối: trọng lực G = mg và lực quán tính R= - ma, trong đó m là khối lượng

của phần tử chất lỏng (Như vậy, mỗi phần tử sẽ chịu tác dụng của trọng lực đơn vị g và lực quán tính đơn vị a) Với hệ tọa độ như hình vẽ, hình chiếu X, Y, Z của các lực khối

nghiêng; ta có một họ các mặt đẳng áp song song lập thành một góc  đối với mặt nằm ngang theo tg =

ga

Từ phương trình (2_4), ta có thể viết:

dp = (- adx - gdz) Sau khi tích phân ta được: p = - ax - gz + C

Tại I (x = 0, z = H), có p = p0 (p0 là áp suất tại mặt thoáng)

VII.2 Sự cân bằng của chất lỏng đựng trong bình hình trụ tròn quay đều quanh

trục thẳng đứng qua tâm bình

Trường hợp đúc các vật quay ly tâm là một ví dụ về bình quay Lực tác dụng lên mỗi phần tử chất lỏng bao gồm: trọng lực G = mg và lực quán tính ly tâm F= m2r, trong đó  là tốc độ góc, r là khoảng cách từ vị trí phần tử chất lỏng ta xét đến trục quay Theo tọa độ như trên hình vẽ, lấy m = 1, hình chiếu

X, Y, Z của các lực khối lên các trục là:

2

12x2 +

2

1 2y2 - gz = C

Ðây là phương trình của những mặt paraboloid

tròn xoay có trục quay Oz Vậy mặt đẳng áp trong trường

hợp này là một họ các mặt paraboloid với các trị số C

1  =g(z - z0)

Theo (2_4) ta có thể viết:

dp = (2xdx + 2ydy - gdz) Sau khi tích phân ta được:

Do đó: p = ( 2 2

r2

VIII.1 Thành phẳng có dạng bất kỳ

VIII.1.1 Trị số áp lực

Cần xác định áp lực P của chất lỏng tác dụng lên một diện tích phẳng A có hình dạng bất kỳ đặt nghiêng đối với mặt thoáng một góc

 Áp lực dP tác dụng lên một vi phân diện tích dA,

mà trọng tâm của nó đặt ở độ sâu h tính bằng:

dA h p pdA

zdA A

p dA z

dA p dA z

A h

OY =Như vậy: P = (p0 + hC)A (2_12)

Ta thấy rằng biểu thức (p0 + hC) là áp suất tuyệt đối tại trọng tâm C của diện tích phẳng

Như vậy: Áp lực thủy tĩnh của chất lỏng tác dụng lên diện tích phẳng, ngập trong chất lỏng bằng tích số của áp suất tuyệt đối tại trọng tâm diện tích phẳng đó với diện tích ấy Nếu p0 = pa, áp lực dư tác dụng lên diện tích phẳng nói trên bằng:

P = hCA (2_13) Trong thực tiễn kỹ thuật, nhiều khi mặt phẳng cần xét chịu áp lực thủy tĩnh về một phía, còn phía kia của mặt phẳng lại chịu áp lực của không khí; trong trường hợp

đó mặt phẳng chỉ chịu áp lực dư mà thôi vì áp lực không khí truyền từ mặt thoáng đến mặt phẳng đã cân bằng với áp lực không khí tác dụng vào phía khô của mặt phẳng Vì vậy, trong những trường hợp tương tự, chỉ cần tính áp lực dư theo (2_13)

Áp lực dư thủy tĩnh tác dụng lên đáy phẳng của bình chứa là trường hợp riêng của áp lực thủy tĩnh tác dụng lên mặt phẳng Nếu diện tích đáy A và độ sâu h của đáy giữ không đổi thì áp lực chất lỏng lên đáy bình bằng: P = hCA, không phụ thuộc hình dạng bình

hC h

zD

zC z

dP

D C dA



yD yC y

z

y

P

VIII.1.2 Vị trí của tâm áp lực

Ðiểm đặt áp lực gọi là tâm áp lực Tùy theo áp lực là áp suất tuyệt đối hay là áp suất dư mà tâm áp lực gọi là tâm áp lực tuyệt đối hay tâm áp lực dư Phương pháp xác định vị trí tâm áp lực trong hai trường hợp đều giống nhau Ở đây chỉ nêu lên phương pháp xác định vị trí tâm áp lực dư Ta gọi D (z, y) là tâm áp lực dư; cần xác định tọa độ

zD và yD của điểm D

a) Xác định z D

Moment của áp lực P đối với trục Oy bằng:

M = PzD = hCAzD (i) Tổng số moment đối với trục Oy của áp lực lên các diện tích vi phân bằng:

y A

A A

I dA

z hzdA

I 2 là moment quán tính của diện tích A đối với trục Oy

Cân bằng (i) (ii) ta được:

C y

C

y D

Az

I Ah

b) Xác định y D Tương tự như lúc xác định zD, ta viết moment cho trục Oz:

M = PyD = 

A

pydA Thay P theo (2_ 13) và ta biết hC = zCsin và p = h = zsin ta có:

Az

zydA y



= (2_15a)

Trong thực tiễn hay gặp trường hợp diện tích A có hình dạng đối xứng đối với trục song song với Oz, khi đó điểm D nằm trên trục đối xứng, ta chỉ cần xác định zDkhông cần tính yD

VIII.2 Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy đặt nằm ngang

Trong thực tiễn kỹ thuật, ta thường gặp trường hợp áp lực nước lên thành phẳng

có dạng hình chữ nhật Thí dụ áp lực lên cửa cống, bờ kè, việc xác định áp lực và điểm đặt áp lực có thể áp dụng những công thức ở trên

a) Áp lực chất lỏng lên thành phẳng chữ nhật có đáy nằm ngang và đặt nghiêng một góc , có đáy rộng b, chiều cao h; đáy trên của hình chữ nhật đặt ở độ sâu h 1 , đáy dưới đặt ở độ sâu h 2

Áp suất tại mặt tự do bằng áp suất không khí p0 = pa

• Tính áp lực

Ta có: A = bh =



−sin

hh

hh

2

hh

C

+

=Thay các giá trị vào công thức (2_13), ta được

1 2

hsin2

b

hhsin

h

C

3 1 2 3

0

sin

hh12

b12

2 1 2 2

3 1 3 2 D

hh

hhsin3

2z

nằm ngang và đặt nghiêng một góc , có đáy rộng b,

chiều cao h; đáy trên của hình chữ nhật đặt ở ở mặt

bP





hsin3

ZD

c) Áp lực chất lỏng lên thành phẳng chữ nhật có đáy nằm ngang và đặt vuông góc = 90°, có đáy rộng b, chiều cao h; đáy trên của hình chữ nhật đặt ở độ sâu h 1 , đáy dưới đặt ở độ sâu h 2

Áp suất tại mặt tự do bằng áp suất không khí p0 = pa

Từ (2_17) và (2_18) ta được:

1 2

2 hh2

b

2 1 2 2

3 1 3 2

3

2

h h

h h h

d) Áp lực chất lỏng lên thành phẳng chữ nhật có đáy nằm ngang và đặt vuông góc

=90°, có đáy rộng b, chiều cao h; đáy trên của hình chữ nhật đặt ở mặt thoáng h 1 =

b

P= 

(2_23)

h3

2

IX TÍNH ÁP LỰC THỦY TĨNH LÊN THÀNH CONG

Nếu thành cong có hình dạng bất kỳ, thì áp lực nguyên tố không hợp lại được thành một áp lực tổng hợp duy nhất Trong một số trường hợp riêng, như mặt trụ tròn xoay có đường sinh đặt nằm ngang hoặc thẳng đứng, nhưng áp lực nguyên tố đồng quy hoặc song song, do đó có được một áp lực tổng hợp duy nhất

Xét trường hợp thành cong S, một mặt tiếp xúc không khí một mặt tiếp xúc nước (Nếu hai mặt tiếp xúc chất lỏng thì ta tính từng mặt rồi tổng hợp lại)

Xét một phân tố diện tích dS chịu áp lực dP Sau đó tính cho toàn diện tích S Vì

dS vô cùng bé nên coi là phẳng Do đó ta có:

dP = hdS trong đó h là độ sâu trọng tâm dS

ZD=hD

Chiếu dP lên 3 trục:

dPX = dPcos(dp, Ox) = hdScos(dp, Ox)

dPY = dPcos(dp, Oy) = hdScos(dp, Oy)

dPZ = dPcos(dp, Oz) = hdScos(dp, Oz)

Tích phân các phương trình trên ta có:

z

P (dSz thuộc mặt phẳng xOy vuông góc Oz)

Giải tương tự như thành phẳng bất kỳ, ta được:

ShP

ShP

z

y Cy y

x Cx x

(2_25)

Trong đó: Cx, Cy là trọng tâm hình chiếu Sx và Sy

= 

Sz z

hdS

V thể tích hình trụ đáy dưới hình cong, đáy trên hình

chiếu hình cong S lên mặt thoáng chất lỏng

Những công thức trên cho ta tìm ba thành phần PX, PY, PZ của áp lực P lên thành

cong vì vậy ta có:

2 Z 2 Y 2

P

P= + + (2_26) Phương, chiều của áp lực thủy tĩnh:

Ta nghiên cứu thêm vật áp lực và phương của PZ:

Vật áp lực là thể tích giới hạn bởi thành cong mà ta xét, bốn mặt bên thẳng đứng,

tì lên mép thành cong và kéo dài đến khi cắt mặt tự do hoặc một phần kéo dài của mặt

tự do của chất lỏng Trọng lượng của vật áp lực biểu thị thành phần thẳng đứng PZ của

vật áp lực P Trong trường hợp mặt cong là mặt trụ có đường sinh nằm ngang, vật áp

lực thường biểu thị bởi mặt cắt thẳng đứng của thể tích nói trên và là diện tích giới hạn

bởi đường cong chịu lực, hai đường cong thẳng đứng đi qua hai đầu đường cong và gặp mặt tự do hoặc phần kéo dài của mặt tự do

Sau đây là ba trường hợp vật áp lực:

1 Vật áp lực có chất lỏng ngay trên mặt cong: có thể chất lỏng chiếm toàn thể vật áp lực hoặc chỉ chiếm một phần của vật áp lực, trong cả hai trường hợp này PZ đều hướng xuống dưới Ta quy ước khi PZ hướng xuống dưới, vật áp lực mang dấu +

2 Vật áp lực không có chất lỏng ở ngay trên mặt cong: có thể chất lỏng hoàn toàn

không có trong vật áp lực hoặc có thể chiếm một phần vật áp lực, trong cả hai trường hợp này, PZ đều hướng lên trên Ta quy ước khi PZ hướng lên trên, vật áp lực mang dấu -

3 Mặt cong có hình dạng phức tạp, làm cho vật áp lực cũng phức tạp: thí dụ mặt cong ABCD Theo định nghĩa về vật áp lực nói trên, diện tích  của mặt cắt thẳng đứng của vật áp lực gồm hai bộ phận: 1 và 2; 1 là diện tích của hình BDE và 2 là diện tích của hình ACEb Ðể xác định hướng và các

phần PZ1 ứng với 1 và PZ2 ứng với 2 ta có thể phân

toàn bộ đường cong phức tạp thành nhiều đoạn đơn

giản để ta trở về hai trường hợp đơn giản nói trên

Thí dụ đoạn BDE phân thành hai đoạn BD và DE;

vật áp lực đối với BD là hình BDdb và theo quy ước nói

trên mang dấu +, còn vật áp lực ứng với DE là hình DEbd

mang dấu -, tổng số đại số của hai diện tích BDdb và

DEbd cho ta diện tích BDE với dấu + Ta cũng chia đường

cong ECA thành hai đoạn EC và CA rồi cũng tìm vật áp

lực ứng với từng đoạn, kèm theo dấu tương ứng, sau cùng cộng đại số những diện tích của vật áp lực thì tìm được diện tích ACEb với dấu -

Nguyên tắc dùng vật áp lực nói trên để tìm phương hướng cho thành phần PZ áp dụng cho những trường hợp mà áp suất dư tác dụng vào mặt cong lớn hơn số không: Pdư

Lực PZ1 tác dụng lên phần trên bằng trọng lượng của vật áp lực abedc và hướng thẳng đứng xuống dưới: theo quy ước về dấu của vật áp lực thì mang dấu +

PZ1 = + VabedcLực PZ2 tác dụng lên phần dưới bằng trọng lượng của vật áp lực abefc và hướng thẳng đứng lên trên: theo quy ước về dấu của vật áp lực thì mang dấu -

PZ2 = - Vabefc

Tổng áp lực thẳng đứng PZ tác dụng lên toàn bộ mặt kín của cdfe bằng:

PZ = PZ1 + PZ2 = (Vabedc - Vabefc) = Vcdef = - W- Dấu trừ thể hiện lực đẩy nổi luôn hướng lên

XI SỰ CÂN BẰNG VẬT RẮN NGẬP HOÀN TOÀN TRONG NƯỚC

Trên cơ sở Ðịnh luật Archimedes, nghiên cứu sự cân bằng của một vật rắn nói chung không đồng chất ngập hoàn toàn trong chất lỏng, vật rắn chịu tác dụng của hai lực thẳng đứng: trọng lực G đặt tại trọng tâm C của vật rắn, hướng xuống dưới và sức đẩy Archimedes PZ đặt tại tâm đẩy D, tức là tại trọng tâm vật đó khi coi vật là đồng chất, hướng lên trên

Muốn vật đó đứng cân bằng tức là không chìm xuống, không nổi lên, không tự quay thì hai lực PZ và G phải bằng nhau, và đặt cùng trên một đường thẳng đứng Vị trí của hai điểm C và D ảnh hưởng đến tính chất cân bằng của vật rắn

1 Trong trường hợp C ở thấp hơn D thì sự cân bằng là ổn định vì nếu đẩy dịch khỏi vị trí cân bằng thì dưới tác dụng của ngẫu lực lập bởi PZ và G vật lại trở về vị trí

2 Trường hợp C ở cao hơn D thì sự cân bằng là không ổn định vì nếu đẩy vật dịch khỏi vị trí cân bằng thì ngẫu lực lập bởi PZ và G làm cho vật lộn ngược đi xa vị trí

cũ và chiếm vị trí cân bằng ổn định

3 Trường hợp C và D trùng nhau nghĩa là trong trường hợp vật đồng chất thì vật

ở trạng thái cân bằng phiếm định, nghĩa là vật đứng cân bằng với bất kỳ vị trí ban đầu nào

Vật rắn không ở trạng thái cân bằng nếu PZ  G, nếu PZ < G thì vật chìm, nếu PZ

Ta nghiên cứu điều kiện cân bằng ổn định của vật nổi khi C ở cao hơn D Trước hết ta định nghĩa một số yếu tố:

- Mớn nước là giao tuyến của vật nổi với mặt nước

- Mặt nổi là mặt phẳng có chu vi là đường mớn nước

- Trục nổi là đường thẳng góc với mặt nổi qua tâm vật nổi

Các định nghĩa trên đây ứng với vật nổi cân bằng Khi vật nổi nghiêng đi thì tâm đẩy D cũng thay đổi vị trí đến D’ Giao điểm của trục nổi với phương của lực đẩy nổi mới gọi là tâm định khuynh M Khi góc nghiêng  của trục nổi và đường thẳng đứng nhỏ hơn 15o thì có thể coi như tâm đẩy D di chuyển trên một cung tròn tâm M bán kính

là khoảng cách từ M đến D

Ðoạn MD còn gọi là bán kính định khuynh và ký hiệu là 

Khoảng cách từ M đến C, gọi là độ cao

định khuynh, ký hiệu hM = MC

Khoảng cách từ C đến D ký hiệu là e

Ta có: hM =  - e; trị số này có thể

dương, âm hoặc bằng không

Ta xét các trường hợp có thể xảy ra sau

khi vật nổi bị nghiêng

- Khi M cao hơn C (hM > 0) ngẫu lực

do G và P tạo nên có xu hướng làm vật nổi trở

lại trạng thái cân bằng lúc đầu, ta có vật nổi

ổn định

- Khi M thấp hơn C (hM < 0) ngẫu lực

có xu hướng làm vật nổi càng nghiêng đi, ta có vật nổi không ổn định

- Khi M trùng với C (hM = 0) trường hợp này không tạo nên ngẫu lực mà hợp lực luôn luôn triệt tiêu, ở mọi vị trí vật đều cân bằng, do đó sau khi bị nghiêng, vật nổi vẫn

ở trạng thái nghiêng mà không trở lại vị trí cân bằng ban đầu ta có vật nổi cân bằng phiếm định

Như vậy, sự cân bằng ổn định của vật nổi được xác định không phải bởi vị trí tương ứng giữa C và D mà giữa C và M; điều kiện để vật nổi được ổn định là hM>0 Muốn xác định hM, trước hết ta cần tính ra bán kính định khuynh  Sau đây là cách suy diễn công thức tính 

Giả sử ta quay vật nổi đi một góc nhỏ , lúc đó một thể tích W1 thoát ra khỏi mặt chất lỏng và một thể tích W2 chìm vào trong chất lỏng Vì thể tích W chìm trong chất lỏng của vật nổi vẫn giữ không đổi, nên W1= W2 Giả thử lực đẩy Archimedes PZ = W

bị buộc chặt vào điểm D trong khi vật bị quay đi góc ; khi đó ta phải bổ sung vào hai lực P1 và P2 bằng nhau: P1= W1 là trọng lượng khối W1 và lực P2 = W2 là lực đẩy của chất lỏng vào khối W2 Trên thực tế ba lực trên không có, mà chỉ tồn tại lực đẩy P’Z=PZđặt tại tâm đẩy D’ Rõ ràng lực P’Z tương đương với ba lực PZ, P1 và P2 Nếu ta đặt tại D’ lực P”Z = P’Z nhưng ngược chiều nhau thì hai lực cân bằng nhau Như vậy hệ thống bốn lực P”Z, PZ, P1 và P2 là một hệ thống lực cân bằng vì tổng số những hình chiếu của bốn lực đó lên một trục bất kỳ bằng không và tổng moment những lực đó đối với một trục bất kỳ cũng bằng không

Moment của lực PZ và P”Z bằng:

M(PZ , P”Z)= PZ.a = PZ sin = Wsin

Moment của P1 đối với trục quay bằng: =  

1 1

1)(

A

dP x P M

Trong đó tích phân phải lấy đối với toàn bộ diện tích A của mặt nổi

Từ sự cân bằng của những moment của bốn lực nói trên, ta viết được:

M( P1, PZ”) = M( P1, P2) hay



=

A

dA x

I W

dA x

I 2 là moment quán tính của mặt nổi đối với trục quay, W là thể tích chất lỏng bị choán chỗ

Biết vị trí C, D của một vật nổi cho trước, tức là đã biết trị số CD = e, ta tính ra được hM theo hM =  - e, trong đó  tính theo (2_27)

Trong kỹ thuật đóng tàu, thuyền thường lấy hM = 0.3 đến 1.5m tùy theo hình dạng kích thước, công dụng của tàu

CHƯƠNG III ÐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG TRONG

KHÔNG GIAN MỘT CHIỀU

I CHUYỂN ÐỘNG KHÔNG ỔN ÐỊNH VÀ ỔN ÐỊNH

Trong khi nghiên cứu sự chuyển động của chất lỏng chúng ta sẽ dần dần đưa ra nhiều cách phân loại nhằm đi sâu vào từng mặt của chuyển động Ở đây chúng ta phân loại chuyển động ra chuyển động không ổn định và ổn định

Ta gọi chuyển động không ổn định là chuyển động mà các yếu tố chuyển động phụ thuộc thời gian, tức là:

II CÁC ÐỊNH NGHĨA CĂN BẢN

II.1 Ðịnh nghĩa về đường dòng

Trước khi định nghĩa về đường dòng ta khảo sát lại khái niệm quen thuộc đó là quỹ đạo Quỹ đạo là đường đi của một phần tử chất lỏng trong không gian Khái niệm này ta quen thuộc trong vật lý, cơ học

Ðường dòng là đường cong tại một thời điểm cho trước, đi qua các phần tử chất lỏng có vectơ lưu tốc là những tiếp tuyến của đường ấy Có thể vẽ đường dòng trong môi trường chất lỏng như sau: tại một thời điểm t phần tử M có tốc độ u, cũng ở thời điểm đó, phần tử chất lỏng M1 ở sát cạnh phần tử M và nằm trên véctơ u, có tốc độ u1, tương tự cũng ở thời điểm trên ta cũng có M2 và u2 MI và uI Ðường cong C đi qua các điểm M 1 , M 2 M I lấy tốc độ u 1 , u 2 u I làm tiếp tuyến chính là một đường dòng ở thời điểm t.

Do vận tốc có thể thay đổi đối với thời gian, nên khái niệm đường dòng có liên quan chặt chẽ đến thời gian, ứng với những thời điểm khác nhau ta có những đường dòng khác nhau

Theo định nghĩa về đường dòng ta thấy hai đường dòng không thể giao nhau hoặc tiếp xúc nhau Trong chuyển động ổn định, vì các yếu tố chuyển động không thay đổi theo thời gian nên đường dòng đồng thời lại là quỹ đạo của những phần tử chất lỏng trên đường dòng ấy

II.2 Dòng nguyên tố và dòng chảy

Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đường cong kín giới hạn một diện tích vô cùng nhỏ d, tất cả các đường dòng đi qua các điểm trên đường cong kín đó tạo thành một mặt có dạng ống gọi là ống dòng Khối lượng chất lỏng chuyển động ở trong không gian giới hạn bởi ống dòng gọi dòng nguyên tố Do tính chất không giao nhau của những đường dòng, chất lỏng không thể xuyên qua ống dòng mà đi ra hoặc đi vào dòng nguyên tố

Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đường cong kín giới hạn bởi một diện tích hữu hạn  bao gồm vô số diện tích d vô cùng nhỏ, tạo nên

vô số dòng nguyên tố Tập hợp những dòng nguyên tố đó gọi là dòng chảy Môi trường chất lỏng chuyển động có thể coi là môi trường liên tục bao gồm vô số dòng nguyên tố, tức là môi trường đó có thể coi là môi trường liên tục bao gồm vô số dòng nguyên tố, môi trường đó gọi là một dòng chảy

Nghiên cứu tính chất động học và động lực học của chất lỏng chuyển động, ta có thể dùng hai mẫu chuyển động như sau:

1 Môi trường chất lỏng chuyển động coi như tập hợp vô số dòng nguyên tố; nghiên cứu theo mẫu này, ta dễ dàng đi đến công thức tính toán cho dòng chảy có kích thước hữu hạn Ðó là bài toán một thứ nguyên (còn gọi là bài toán một chiều) và cũng là phương pháp thường dùng để suy ra những công thức tính toán

2 Môi trường chất lỏng chuyển động coi như là tập hợp vô số phần tử chất lỏng Nghiên cứu mẫu này, ta thường đi đến những phương trình vi phân, nhưng khó tích phân để đi đến những công thức tính toán cho dòng chảy thực tế, có kích thước cụ thể Ðó là bài toán ba chiều Phương pháp này có ý nghĩa rất lớn về mặt lý thuyết cũng như về phương pháp nghiên cứu

III NHỮNG YẾU TỐ THỦY LỰC DÒNG CHẢY

III.1 Mặt cắt ướt: A, dA (m 2 )

Mặt cắt thẳng góc với tất cả các đường dòng gọi là mặt cắt ướt hay mặt ướt Mặt cắt ươt có thể là phẳng khi các đường dòng là những đường thẳng song song, và có thể cong khi các đường dòng không song song

III.2 Chu vi ướt: P W (m)

Chu vi ướt là bề dài của phần tiếp xúc giữa chất lỏng và thành rắn

III.4 Lưu lượng: Q, dQ (m 3 /s)

Là thể tích chất lỏng đi qua một mặt cắt ướt nào đó trong một đơn vị thời gian Giả sử ta có một diện tích phẳng dA, tốc độ u của chất lỏng đi qua diện tích lập với pháp tuyến của diện tích một góc  Thể tích chất lỏng dW đi qua trong thời gian dt

rõ ràng bằng thể tích hình trụ đáy dA, dài udt tức bằng tích số đáy dA với chiều cao udtcos

udA dQ

III.5 Lưu tốc trung bình mặt cắt

Lưu tốc trung bình của dòng chảy tại mặt cắt là tỷ số lưu lượng Q đối với diện tích A của mặt cắt ướt đó, ký hiệu bằng v, đơn vị đo bằng m/s, cm/s

IV PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC CỦA DÒNG CHẢY ỔN ÐỊNH

Chất lỏng chuyển động một cách liên tục, nghĩa là trong môi trường chất lỏng chuyển động không hình thành những vùng không gian trống không, không chứa chất lỏng Tính chất liên tục đó có thể biểu thị bởi biểu thức toán học gọi là phương trình liên tục

Trên một dòng nguyên tố ta lấy hai mặt cắt AA và BB có diện tích tương ứng là d1 và d2 với lưu tốc tương ứng u1 và u2

Sau thời gian dt, thể tích chất lỏng ở trong dòng nguyên tố giới hạn bởi hai mặt cắt AA và BB có vị trí mới là thể tích của dòng giới hạn bởi hai mặt cắt A’A’ và B’B’ Ngoài ra trong chuyển động ổn định, hình dạng của dòng nguyên tố không thay đổi theo thời gian, đồng thời chất lỏng không xuyên qua ống dòng mà đi ra hay đi vào dòng nguyên tố

Trong dòng nguyên tố không có chỗ trống, đối với chất lỏng không nén được thì thể tích chất lỏng trong đoạn dòng nguyên tố giới hạn bởi hai mặt cắt ướt AA và BB phải là một trị hằng số không đổi, tức là:

u1

u2

dA1

dA2

2 1

2 2 1 1

A A

dA u dA

Theo (3_5) có thể dựa vào lưu tốc trung bình mặt cắt ướt v1 và v2 tương ứng với mặt cắt ướt A1 và A2 , do đó phương trình (3_8) viết thành:

v1.A1 = v2.A2 (3_9)

Ðó là phương trình liên tục của dòng chảy ổn định của chất lỏng không nén được,

nó đúng cho cả chất lỏng lý tưởng lẫn chất lỏng thực tế Từ công thức (3_4) có thể biến đổi (3_9) thành:

Q1 = Q2 hay Q = const (3_10)

V PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI CỦA DÒNG NGUYÊN TỐ CHẤT

LỎNG LÝ TƯỞNG CHẢY ỔN ÐỊNH

Ðịnh luật Ðộng năng: “Sự biến thiên động năng của một khối lượng nhất định khi

nó di động trên một quãng đường, bằng công của các lực tác dụng lên khối lượng đó, cũng trên quãng đường đó”

Trong dòng chảy ổn định của chất lỏng lý tưởng, ta xét một đoạn dòng nguyên tố

giới hạn bởi mặt cắt 1-1 và 2-2 có diện tích tương ứng d1 và d2 Ta cũng chọn trục chuẩn nằm ngang Ox; như vậy mặt cắt 1-1 có trọng tâm ở độ cao z1 đối với trục chuẩn,

áp suất thủy động lên mặt cắt đó là p1 lưu tốc là u1; mặt cắt 2-2 có trọng tâm ở độ cao z2đối với trục chuẩn, áp suất thủy động lên mặt cắt đó là p2 lưu tốc là u2

Sau một thời gian vô cùng nhỏ t, các phần tử chất lỏng của mặt cắt ướt 1-1 đã

di động được một quãng đến vị trí 1’-1’, độ dài s1 của quãng đường đó bằng:

s1 = u1t

Cũng trong thời gian vô cùng nhỏ t, các phần tử chất lỏng của mặt cắt ướt 2-2

đã di động được một quãng đến vị trí 2’-2’, độ dài s2 của quãng đường đó bằng:

s2 = u2t

Lưu lượng đi qua mặt cắt ướt 1-1 và 2-2 bằng:

dQ = u1dA1 = u2dA2 Không gian giữa 1-1 và 2’-2’ có thể chia làm 3 khu vực: a, b, c

Trong thời gian t, sự biến thiên động năng (đn) của đoạn dòng nguyên tố đang xét bằng hiệu số động năng của khu c và a, vì động năng của khu b không đổi:

2 1 2

Cơng sinh ra bởi trọng lực CTR-L của đoạn dịng nguyên tố đang xét bằng cơng của trọng lực khối chất lỏng khu a di chuyển một độ cao bằng z1-z2 để đi tới khu c, tức là:

CTR-L= dA1 s1(z1-z2) = dQt(z1-z2) Aïp lực thủy động tác dụng lên đoạn dịng nguyên tố đang xét gồm lực:

P1= p1dA1 , hướng thẳng gĩc vào mặt cắt ướt 1-1

P2= p2dA2 , hướng thẳng gĩc vào mặt cắt ướt 2-2 Cịn các lực bên hướng thẳng gĩc với phương chuyển động nên khơng sinh ra cơng Cơng sinh ra bởi áp lực P1 và P2 bằng:

CÁP= P1s1 - P2s2 = p1dA1s1 - p2dA2s2

CÁP= p1dA1u1t – p2dA2u2t = dQ(p1 – p2)t Theo định luật động năng ta viết được:

(đn) = CTR-L + CÁP

Do đĩ:

(z z ) dQ(p p ) tt

dQ.2

uutdQ

2 1 2



−

+

2 1 2

zzg

2

uu

Vậy:

g2

upzg2

upz

2 2 2 2

2 1 1

+

=+

+ (3_11)

Vì các mặt cắt 1-1 và 2-2 của dịng nguyên tố là tùy ý chọn, nên phương trình

(3_11) cĩ thể viết dưới dạng:

constg

2

upz

2

=+

+ (3_12)

Phương trình (3_11) và (3_12) gọi là phương trình Bernoulli của dịng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chuyển động ổn định

VI PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI CỦA DỊNG NGUYÊN TỐ CHẤT

LỎNG THỰC CHẢY ỔN ÐỊNH

Chất lỏng thực cĩ tính nhớt và khi nĩ chuyển động thì sinh ra sức ma sát trong, làm cản trở chuyển động Muốn khắc phục sức cản đĩ, chất lỏng phải tiêu hao một phần

cơ năng biến thành nhiệt năng, mất đi khơng lấy lại được

Vì vậy chất lỏng thực giảm dọc theo dịng chảy:

constg

2

upz

2

+

+Nếu chất lỏng chuyển động từ mặt cắt 1-1 đến 2-2 thì:

g2

upzg2

upz

2 2 2 2

2 1 1

+

+

+

Ký hiệu h’ là phần năng lượng bị tiêu hao khi một đơn vị trọng lượng chất lỏng chuyển động từ mặt cắt 1-1 đến 2-2 thì phương trình Bernoulli của dịng nguyên tố chất lỏng thực viết cho mặt cắt 1-1 và 2-2 sẽ là:

g2

upzg2

upz

2 2 2 2

2 1 1

+

=+

+ +h’ (3_13)

h gọi là tổn thất năng lượng đơn vị của dòng nguyên tố hay còn gọi là tổn thất cột nước của dòng nguyên tố

VII Ý NGHĨA CỦA PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI VIẾT CHO DÒNG

NGUYÊN TỐ CHẢY ỔN ÐỊNH

VII.1 Ý nghĩa năng lượng của ba số hạng trong phương trình Bernoulli

Trong phương trình Bernoulli viết đối với một trọng lượng chất lỏng:

VII.2 Ý nghĩa thủy lực của ba số hạng trong phương trình Bernoulli

z : độ cao hình học hay cột nước vị trí

từ dưới lên trên với tốc độ ban đầu là u,

không có trở lực gì của ngoại giới đối với

sự chuyển động của vật

Như vậy các số hạng của phương

trình Bernoulli viết cho dòng nguyên tố

chất lỏng lý tưởng, đều có thứ nguyên là độ

dài và tổng cột nước là hằng số, nên ta có

upz

2

=+

+ tại bất kỳ mặt cắt ướt nguyên tố nào trên cùng một dòng nguyên tố đều là một hằng số, nên biểu diễn cách trục chuẩn một đoạn thẳng không đổi H Ðường thẳng đó gọi là đường tổng cột nước, đường này biểu diễn sự biến thiên của năng lượng đơn vị dọc theo dòng chảy nên còn gọi là đường năng Ðộ cao H kể từ mặt chuẩn gọi là cột nước động lực của dòng chảy hoặc là tổng cột nước

1

1

22

Ðường đi qua các đỉnh đoạn (



+ p

z ) của các mặt cắt trên một dòng nguyên tố gọi

là đường cột nước đo áp hoặc là đường thế năng Cột nước áp suất như đã định nghĩa, biểu thị bởi



p thực chất là áp năng, còn cột nước đo áp biểu thị bởi (

Ở những bài toán về dòng chảy, trong đó cột nước vị trí z không đổi dọc theo dòng nguyên tố, căn cứ vào phương trình Bernoulli ta có:

g2

upg2

u

2 2 2 1



=+

VIII ÐỘ DỐC THỦY LỰC VÀ ÐỘ DỐC ÐO ÁP CỦA DÒNG NGUYÊN TỐ VIII.1 Ðịnh nghĩa độ dốc thủy lực

Ta gọi độ dốc thủy lực là tỷ số hạ thấp của đường tổng cột nước (tức đường năng) đối với độ dài của đoạn dòng nguyên tố trên đó thực hiện độ hạ thấp

J là đại biểu độ dốc thủy lực của dòng nguyên tố

Trong trường hợp tổng quát, khi đường cột nước là đường cong thì các độ dốc ở các mặt cắt ướt không bằng nhau Nên:

dL

dhg

2

upzdL

ddL

dHJ

' 2

Khi đường tổng cột nước là một đường thẳng thì độ dốc thủy lực là:

L

hJ

'



=

VIII.2 Ðịnh nghĩa độ dốc đường đo áp

Ta gọi độ dốc đường đo áp tức độ dốc đường thế năng là tỷ số độ hạ thấp xuống hoặc lên cao của đo áp đối với độ dài của dòng nguyên tố trên đó thực hiện sự hạ thấp hoặc dâng cao đó

Jp là đại biểu cho độ dốc đo áp của dòng nguyên tố:

pzd

g2

IX.1 Dòng chảy đổi dần, dòng chảy đều

Trên cùng một mặt cắt A của dòng chảy, lưu tốc và áp suất thủy động p thường phân bố khác nhau ở các dòng nguyên tố khác nhau, quy luật phân bố thường cũng không biết; vì vậy, sự suy rộng tìm ra phương trình Bernoulli cho toàn dòng chảy cũng chỉ tiến hành được trong những điều kiện nhất định của dòng chảy Cho nên ta đưa ra khái niệm về dòng chảy đổi dần

Dòng chảy đổi dần là dòng chảy ổn định, có các đường dòng gần là đường thẳng song song, nghĩa là:

1 Góc  giữa các đường dòng rất nhỏ

2 Bán kính cong r của đường dòng khá lớn

Dòng chảy như vậy có đầy đủ điều kiện cho phép ta:

- Không tính đến lực quán tính (sinh ra bởi độ cong của đường dòng) tương đối nhỏ

- Mặt cắt dòng chảy đổi dần được coi là phẳng, những đường dòng được coi như vuông góc với mặt cắt phẳng

- Những thành phần lưu tốc và gia tốc nằm ngang trên mặt cắt ướt được coi như có thể bỏ đi (ux = u, uy= 0 do tại những mặt cắt ướt ở đó dòng chảy là đổi dần, tức là ở

đó, lực quán tính không đáng kể mà chỉ có tác dụng của trọng lực là lực khối lượng độc nhất, thì áp lực thủy động không có thành phần tiếp tuyến trên những mặt cắt ướt)

- Sự phân bố áp lực thủy động hoàn toàn giống như sự phân bố áp lực thủy tĩnh Như vậy trên những mặt cắt ướt đó, theo công thức cơ bản của thủy tĩnh, ta có:

const

p



+ , trong đó z, p ứng với từng vị trí trên mặt cắt ướt

- Nhưng cột nước đo áp ở những mặt cắt khác nhau có trị số khác nhau:

+





2 1 1

pz

p

IX.2 Phương trình Bernoulli của toàn dòng chảy ổn định

Dựa vào khái niệm đổi dần và khái niệm về lưu tốc trung bình mặt cắt ướt v, ta

có thể đi từ phương trình Bernoulli của dòng nguyên tố suy diễn phương trình toàn dòng chảy

Giả thiết toàn dòng chảy thực là dòng chảy ổn định, gồm vô số dòng nguyên tố Trên toàn dòng chảy tại hai mặt cắt 1-1 và 2-2 có diện tích A1 và A2, ta lấy một dòng nguyên tố tùy ý theo (3_13), có thể viết phương trình Bernoulli của dòng nguyên tố chất lỏng thực

Ta gọi lưu lượng dòng nguyên tố là dQ, trọng lượng tương ứng là dQ Viết biểu thức năng lượng của toàn dòng, muốn vậy phải nhân các số hạng của phương trình

Bernoulli (3_13) cho dQ, sau đó tích phân đối với toàn mặt cắt A1 và A2

dQ h dQ g

u dQ

p z dQ g

u dQ

p z

A A

A

2

.2

2 2 2

2

2 1 1

1

2 2

=+

u

A

.2

2



 ;

dQ h

u dQ g

u

A A

A



+

u

A

.2

v u v v g

3 2

2 3

3 3

A A

A

udA Q

udA vdA

dA u v udA Q

A A

dA u v g dA v g dA u

v v g

dQ g

322

)(32

v g dA u v A v g

A A

2

2 3

2 3

312

32

h

Ðặt

A v

dA u

A





+

2

2

)(31

Ta có:

dQ g

u

A

.2

dA u Q

v

dQ u

A A

3 3 2

h'  Căn cứ vào ba kết quả của ba tích phân trên, ta viết được biểu thức (3_17) dưới dạng sau:



+



+



=



+

g2

vQ

pzQ.g2

vQ

pzQ

2 2 2 2

2

2 1 1 1

z g

v p

2 2

2 2 2 2 2

2 1 1 1

Ðây là phương trình Bernoulli của toàn dòng chảy ổn định của chất lỏng thực, một trong những phương trình cơ bản và quan trọng nhất của thủy lực học Muốn vận dụng đúng phương trình, cần nắm vững những điểm sau:

1 Phương trình Bernoulli của toàn dòng chảy ổn định phải thỏa mãn 5 điều kiện sau:

vpz

2

=

+

+ giống nhau cho mọi điểm trên cùng mặt cắt ướt nên khi phương trình Bernoulli có thể tùy ý chọn điểm nào trên mặt cắt ướt cũng được Như vậy không yêu cầu 2 điểm dùng để viết phương trình

Bernoulli ở hai mặt cắt phải cùng ở trên một dòng nguyên tố Khi ta chọn điểm, tất nhiên, nên chọn sao cho để phương trình được đơn giản

3 Ta có thể thay áp suất dư thay cho áp suất tuyệt đối, nhưng lưu ý phải thay cả hai vế

4 Trong tính toán thường ta lấy 1 = 2, nhưng thực tế hai trị số này khác nhau

5 Ðộ dốc thủy lực và độ dốc đo áp của toàn dòng chảy có ý nghĩa hoàn toàn giống như ý nghĩa của dòng nguyên tố chất lỏng thực

Ðộ dốc thủy lực:

dL

dHg

2

v.pzdL

dJ

v.pzg

2

v.pzL

hJ

2 2 2

2

2 1 1

pzJ

2 2 1

1 p

pzJ

2 2 1

1 p

X ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI TRONG VIỆC ÐO

LƯU TỐC VÀ LƯU LƯỢNG

X.1 Ống Pitot

Là một dụng cụ đo lưu tốc điểm Gồm hai ống nhỏ đường kính chừng vài mm: một ống thẳng và một ống đầu uốn cong 90o, hai miệng ống đặt sát nhau Sau khi ta đặt vào vị trí muốn đo lưu tốc, đọc độ chênh mực nước, sẽ tính ra được lưu tốc điểm

Viết phương trình Bernoulli cho mặt cắt 1-1 và 2-2 với mặt chuẩn đi qua điểm cần đo, bỏ qua tổn thất h = 0 ; z1 = z2 ; u2 = 0, ta có:



=+

2 1

g2

up

Do đó:

gh2p

pg2

h

vp

g2

v

2 2 2 2 1 1



=

+

Lấy 1= 2 = 1, ta được:

hg2

ppg

2

v

1 2

Theo phương trình liên tục: v1A1 = v2A2, ta viết lại:

2 1 2

1 1

A v v

Thay vào phương trình (3_32), ta được:

g2

1d

Dvh

2 2

gh2

d D

g D

A v

g D

1