Phần 3 quy hoạch tuyến tính

Biết rằng số nguyên liệu để sản xuất hiện có, định mức tiêu hao các loại nguyên liệu và số l ợng sản ph m sản xuất ra trong một giờ theo các ph ơng pháp cho ở bảng sau: h ệ ràng buộc...

Ph n 1: QUY HO CH TUY N TÍNH

Ch ng 1: BẨI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH

1 D NG T NG QUÁT C A BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH

Tìm x ( ,x x1 2 ,x n) sao cho

[ , , ][ , , ]

Bài toán dạng nh trên đ ợc gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát

Ví dụ 1: Giải bài toán QHTT

2 L P MÔ HÌNH BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH

Ví dụ 2: (Bài toán lập kế hoạch sản xuất)

Một xí nghiệp có thể sản xuất ra một loại sản ph m theo 3 ph ơng pháp khác nhau, kí hiệu PP1, PP2, PP3 Các loại nguyên liệu để sản xuất, kí hiệu N1, N2, N3 Biết rằng số nguyên liệu để sản xuất hiện có, định mức tiêu hao các loại nguyên liệu và số l ợng sản ph m sản xuất ra trong một giờ theo các ph ơng pháp cho ở bảng sau:

h ệ ràng buộc

L P MÔ HÌNH BÀI TOÁN

Bước 1 Đặt n và điều kiện cho n (ràng buộc dấu)

Căn cứ vào yêu c u của bài toán, xác định số n, đơn vị tính và điều kiện

cho n

Bước 2 Lập hàm mục tiêu f(x)

Căn cứ vào các n đư đặt, xác định hàm mục tiêu “yêu c u tối u”

Bước 3 Lập các ràng buộc chung

Căn cứ vào các n đư đặt, xác định các ràng buộc “yêu c u kỹ thuật”

Bước 4 Viết mô hình bài toán

Các điều kiện

Giải Gọi x x x1, 2, 3 t ơng ứng là số giờ sản xuất theo PP1, PP2, PP3; x j 0(j 1 2 3, , )

Khi đó, số nguyên liệu đ ợc sử dụng để sản xuất theo 3 ph ơng pháp là:

Nguyên liệu N1: 4x1 5x2 3x3

Nguyên liệu N2: 2x1 4x2 x3

Nguyên liệu N3: 3x1 6x2 4x3

Tổng sản l ợng sản xuất đ ợc theo 3 ph ơng pháp là: 10x1 12x2 9x3

Khi đó, ta có mô hình bài toán nh sau:

Ví dụ 3: (Bài toán xác định kh u ph n thức ăn)

Để sinh sống trong một ngày đêm, mỗi ng ời c n ít nhất 70g Protit, 30g Lipit và 420g Gluxit Hàm l ợng

Giải Gọi x x1, 2 t ơng ứng là số gam thức ăn A, B c n mua trong ngày x j 0,(j 1 2, )

L ợng chất dinh d ỡng có trong kh u ph n thức ăn c n mua là:

Protit: 0 2, x1 0 3, x2

Lipit: 0 1, x1 0 2, x2

Gluxit: 0 6, x1 0 4, x2

Tổng chi phí cho kh u ph n thức ăn này là: 40x1 60x2

Khi đó, ta có mô hình bài toán nh sau:

Ví dụ 4: (Bài toán phân bổ vốn đ u t )

Một nhà đ u t có 2 tỉ đồng, muốn đ u t vào 4 lĩnh vực: chứng khoán, công trái, gửi tiết kiệm và bất động sản Biết lưi suất hàng năm của các lĩnh vực đ u t nh sau:

Nếu ng ời này muốn đ u t toàn bộ số tiền trên thì nên đ u t vào các lĩnh vực trên nh thế nào để thu

đ ợc lợi nhuận tối đa

Giải

Ví dụ 5: (Bài toán cắt nguyên vật liệu) Một xí nghiệp may mặc c n sản xuất 2000 chiếc qu n và ít nhất là 1000 cái áo Mỗi tấm vải có 6 cách cắt cho ở bảng sau: Cách cắt Qu n Áo 1 90 35 2 80 55 3 70 70 4 60 90 5 120 0 6 0 100 Hưy tìm ph ơng án cắt sao cho tổng số tấm vải sử dụng là ít nhất Giải

3 CÁC D NG C A BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH 3.1 D ng t ng quát Tìm x ( ,x x1 2 ,x n) sao cho

[ , , ] [ , , ]

[ , , ]

k

n n

n n

n n

D

1 1 2 2

1 1 2 2

- Một vecto x ( ,x x1 2, ,x n) đ ợc gọi là một ph ơng án (PA) của bài toán nếu x thỏa hệ ràng buộc ( )D

- Tập hợp tất cả các PA của bài toán gọi là tập ph ơng án

- Ph ơng án tối u (PATU)

- Bài toán QHTT có PATU đ ợc gọi là bài toán giải đ ợc

- Hai bài toán QHTT gọi là t ơng đ ơng nếu chúng có cùng tập PATU

- Chuyển bài toán max về bài toán min:

- Một ràng buộc gọi là chặt đối với PA x nếu khi ta thay x vào ràng buộc này thì xảy ra dấu bằng ( )

- Một ràng buộc gọi là lỏng đối với PA x nếu khi ta thay x vào ràng buộc này thì xảy ra dấu bất đẳng thức ( , ).

Phương án cực biên (phương án cơ bản, PACB) của bài toán QHTT:

- Một PA có số ràng buộc chặt độc lập tuyến tính bằng n (số biến) gọi là PACB

- Một PACB có số ràng buộc chặt = n (số biến) thì đ ợc gọi là PACB không suy biến

- Một PACB có số ràng buộc chặt n (số biến) thì đ ợc gọi là PACB suy biến

- Một PA có số ràng buộc chặt độc lập tuyến tính < n (số biến) gọi là ph ơng án không cực biên

Biến đổi bài toán QHTT dạng tổng quát và dạng chính tắc:

Từ bài toán QHTT dạng tổng quát, ta có thể xây dựng bài toán QHTT dạng chính tắc:

a) Các n của bài toán đều không âm

Ràng buộc chính thứ nhất là bất ph ơng trình dạng nên ta cộng vào vế trái n phụ không âmx5

Ràng buộc chính thứ hai là bất ph ơng trình dạng nên ta trừ vào vế trái n phụ không âm x

Khi đó, ta đ ợc bài toán dạng chính tắc:

; , , , , , j x x x x x x x x x x x x j 1 2 4 5 1 2 3 6 2 3 4 2 2 3 4 4 2 4 3 0 1 2 3 4 5 6 b) Hệ ràng buộc chính có 2 bất ph ơng trình, n x2 0 và n x3 có dấu tùy ý nên ta thực hiện các phép biến đổi sau: Thêm vào bài toán 2 n phụ x x4, 5 Đặt x2 x2' và x3 x3' x3'' với x3',x3'' 0 Khi đó, ta đ ợc bài toán dạng chính tắc: ( ) ' ' '' min f x 2x1 x2 3x3 3x3

' ' '' ' ' '' ' ' '' , ', ', '', , x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 2 3 3 4 1 2 3 3 1 2 3 3 5 1 2 3 3 4 5 2 2 2 4 4 3 3 4 4 0

3.3 D ng chu n

Bài toán QHTT dạng chu n là bài toán có dạng chính tắc:

- Các n ứng với các vecto cột đơn vị e e1, ,2 ,e mđ ợc gọi là các n cơ bản (ACB)

- Một PA mà các n không cơ bản đều bằng 0 đ ợc gọi là một PACB

- Một PACB mà mọi n cơ bản đều d ơng đ ợc gọi là PACB không suy biến

- Ng ợc lại, một PACB có ít nhất một n cơ bản bằng 0 đ ợc gọi là PACB suy biến

Các hệ số tự do b1 12,b2 20,b3 5 đều không âm

Có chứa đ y đủ 3 vecto cột đơn vị e1 (cột 1), e2 (cột 3), e3 (cột 4)

Do đó, bài toán có dạng chu n, trong đó:

- n cơ bản thứ 1 là x1.

- n cơ bản thứ 2 là x3

- n cơ bản thứ 3 là x4

Các nx x x1, 3, 4 là các n cơ bản (ACB); các n x x2, 5là các n không cơ bản

Trong bài toán trên, khi cho n cơ bản thứ k hệ số tự do thứ k, còn các n không cơ bản 0, nghĩa là

PACB này không suy biến vì có đủ 3 thành ph n d ơng Ta gọi đây là PACB ban đ u của bài toán PACB ban đ u x0 (10 0 20 5 0, , , , ); (f x0) 20

Ví dụ 9: Xét các bài toán QHTT sau:

, , j x x x x x x x x x x x x j 1 3 4 1 2 3 6 1 3 5 6 2 6 2 3 10 4 3 36 0 1 6 b) f x( ) 2x1 4x2 6x3 8x4 6x6 max

, , j x x x x x x x x x x x x j 1 2 4 5 2 3 4 5 4 5 6 4 2 2 12 2 4 3 24 3 2 18 0 1 6

4 PH NG PHÁP Đ N HỊNH GI I BÀI TOÁN QHTT D NG CHU N

4.1 Thu t toán đ n hình gi i bài toán MIN

Thuật toán đơn hình gồm 7 b ớc:

Bước 1: Lập bảng đơn hình xuất phát

- Từ bài toán dạng chu n, xác định các biến cơ sở và vecto cơ sở t ơng ứng (các biến không phải

biến cơ sở là biến tự do và xác định các vecto tự do t ơng ứng)

Lập bảng đơn hình xuất phát nh sau:

Hệ

S

n

C B n

Ph ng

Án

cột hệ số) (cột phương án)cột hệ số) (cột ) -

Bước 2: Xét dấu hiệu tối u

- Nếu tất cả k 0 thì PACB đang xét x0 là PATU và f x( 0) f0

- Nếu tồn tại j0 0 sao cho tất cả a ij

0 (đánh dấu * cho rnhỏ nhất) Khi đĩ, x r là n đ a ra khỏi hệ cơ bản

B ớc 5: Xác định ph n tử trụ

tử trụ a rv

B ớc 6: Biến đổi bảng – Lập bảng mới

- Trong cột ACB ta thay x r bằng x v, trong cột hệ số ta thay c r bằng c v

hàngr(cũ)hàngr(mới) =

rv

- Với các hàng i i( r) ta dùng phép biến đổi

hàngi(mới) = hàngi(cũ) a iv hàngr(mớiõ)

- Với hàng cuối cùng của bảng ( f x f x( ), ( 0), j), ta dùng phép biến đổi :

hàngcuối(mới) = hàngcuối(cũ) v hàngr(mớiõ)

1 2 1 bị loại ra khỏi hệ ACB

Trong bảng đơn hình thứ 3, ta có tất cả j 0, do đó PACB t ơng ứng *

( ; ; ; ; ; )

x 12 6 0 104 0 0 là PATU

Nếu ta đ a x6 vào hệ ACB và tiếp tục tính toán theo thuật toán đơn hình ta thu đ ợc 1 PATU khác, bài

Vậy bài toán gốc (P) có ph ơng án tối u là x ( ; ;0 0 10 0; )giá trị của hàm mục tiêu đạt đ ợc là

Dựa vào bảng đơn hình cuối cùng, ta thấy j 0khi và chỉ khix jlà n cơ bản Vì vậy ph ơng án tối

u tìm đ ợc là duy nhất

Nhận xét: PATU x ( ; ;0 0 10 0; )là PACB suy biến vì nó thỏa mãn chặt 5 ràng buộc của bài toán

(trong khi bài toán chỉ có 4 n)

d)

4.2 Thu t toán đ n hình gi i bài toán MAX

Thuật toán đơn hình giải bài toán max t ơng tự thuật toán giải bài toán min, nh ng điều kiện về các

j ở hàng cuối sẽ hoàn toàn ng ợc lại, cụ thể có sự thay đổi nh sau:

Bước 2: Xét dấu hiệu tối u

- Nếu tất cả k 0 thì PACB đang xét x0 là PATU và f x( 0) f0

- Nếu tồn tại j0 0 sao cho tất cả a ij

Bước 3: Tìm n đ a vào hệ n cơ bản

Gi ải

a) Bài toán (Q) t ơng ứng ở dạng chu n:

( )

j

2

Giải bài toán (Q) bằng thuật toán đơn hình:

Hệ s

ACB

ACB b i x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 i

Do j 0, j 1 6, , ph ơng án tối u của bài toán (Q) là x ( ; ; ;0 0 9 16 7 0; ; ),giá trị hàm mục tiêu đạt đ ợc là fmax 25

Vậy bài toán gốc (P) có ph ơng án tối u là x ( ; ; ;0 0 9 16),giá trị của hàm mục tiêu đạt đ ợc là

Dựa vào bảng đơn hình cuối cùng, ta thấy j 0khi và chỉ khix jlà n cơ bản Vì vậy ph ơng án tối

u tìm đ ợc là duy nhất

b)

4.3 Thu t toán đ n hình mở rộng

Thuật toán đơn hình chỉ áp dụng cho bài toán dạng chu n Bài toán dạng chu n cho PACB ban đ u, có

Nếu bài toán dạng chính tắc, ch a chu n thì ta phải biến đổi để đ a về dạng chu n:

1 Khi gặp hệ số tự do b i 0, ta đổi dấu hai vế của ràng buộc thứ

2 Khi ma trận hệ số ràng buộc A không chứa véctơ cột đơn vị thứ k là e k, ta đ a vào n giả

n k

x 0 và cộng thêm n giả x n k vào vế trái của ph ơng trình ràng buộc thứ k để đ ợc ph ơng trình ràng buộc mới:

n

j

1

3 Hàm mục tiêu mở rộng f x( ) đ ợc xây dựng từ hàm mục tiêu f x( ) ban đ u nh sau:

trong đó M là số d ơng rất lớn

Bài toán này đ ợc gọi là bài toán mở rộng M

Ví d ụ 12: Hãy viết bài toán M của:

, , j x x x x x x x j 1 2 3 1 2 3 4 4 3 18 4 3 4 16 0 1 3 b) f x( ) 6x1 3x2 x3 min

, , j x x x x x x x x x x j 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 5 10 4 3 2 16 2 4 8 0 1 3 c) f x( ) 2x1 x2 x3 max

, , j x x x x x x x x x x j 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 2 12 2 2 2 10 1 2 20 2 0 1 3 d) f x( ) x1 3x2 4x3 x4 5x5 min

, , j x x x x x x x x x x x x x x j 1 2 3 4 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 2 30 23 3 2 4 10 0 1 5 Gi ải ) ( ) min a f x x x x Mx Mx x x x x x x x x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 5 8 6 2 4 4 3 18 4 3 4 16 x j 0, j 1 5, với x x4, 5 là n giả ) ( ) min b f x x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x x 1 2 3 5 6 1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 3 6 6 3 2 5 10 4 3 2 16 2 4 8

x j 0,j 1 6, với x x5, 6 là n giả

Quan h ệ giữa bài toán xuất phát (P) và bài toán mở rộng (M):

Mối quan hệ giữa bài toán xuất phát (P) và bài toán mở rộng (M) nh sau:

(M) vô nghiệm (P) vô nghiệm

Mọi n giả 0 bỏ các n giả, đ ợc PATU của (P)

L u Ủ:

- Mục đích của bài toán M là đ a bài toán xuất phát về dạng chu n Do đó, nếu bài toán xuất phát đư có

sẵn một số n cơ bản thì chỉ c n thêm n giả vào những ràng buộc thích hợp để đ ợc bài toán M dạng

chu n

thuộc M, một ph n phụ thuộc M, nên có thể chia dòng cuối của bảng đơn hình thành 2 dòng : dòng trên

bị loại khỏi hệ n cơ bản (tức là, đư tìm đ ợc PACB của bài toán xuất phát) thì ta bỏ dòng ghi hệ số M

trong f x( ) và j rồi tiếp tục giải

Ví d ụ 13: Giải các bài toán:

Giải bài toán (M) bằng thuật toán đơn hình:

Do j 0, j ph ơng án tối u của bài toán mở rộng (M) là x (15 2 0 9 2 0 0 0/ ; ; / ; ; ; )

Nh ng trong PATU có n giả x7 23 0 nên bài toán (P) không có PA, do đó không có PATU

d)

5 GI I BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH T NG QUÁT

Phương pháp giải:

- Biến đổi bài toán về dạng chính tắc

- Nếu các hệ số tự do b i ở vế phải của ràng buộc 0 thì ta phải biến đổi sao cho chúng 0

- Nếu bài toán ch a ở dạng chu n (vì thiếu biến cơ sở) thì thêm biến giả vào ta đ ợc bài toán (M)

Lưu đồ giải bài toán QHTT tổng quát:

BÀI T P

Bài 1.1 Một công ty hàng không có kế hoạch vận chuyển 1200 hành khách và 120 tấn hàng hóa trong mỗi

ngày Để thực hiện kế hoạch vận chuyển đó, công ty sử dụng hai loại máy bay với khả năng vận chuyển

nh sau: mỗi máy bay loại A có thể vận chuyển 150 hành khách và 20 tấn hàng hóa với chi phí vận chuyển

vận chuyển là 220 triệu đồng Hãy lập mô hình bài toán xác định số máy bay mỗi loại phải sử dụng trong

một ngày để thực hiện đ ợc kế hoạch vận chuyển với chi phí thấp nhất

Bài 1.2 Một công ty sơn định sản xuất sơn nội thất và sơn ngoài trời Nguyên liệu để sản xuất gồm 2 loại

(triệu đồng/tấn) đ ợc cho trong bảng sau:

Nội thất Ngoại thất

Bài 1.3 Ng ời ta c n cắt những thanh sắt dài 20m thành 400 đoạn dài 9m, 500 đoạn dài 8m, 150 đoạn dài

Bài 1.4 Một xí nghiệp có 3000 đơn vị nguyên liệu loại A, 5000 nguyên liệu loại B và 2000 nguyên liệu

loại C phải sản xuất 4 loại hàng hóa: I, II, III, IV Định mức nguyên liệu c n thiết và lợi nhuận khi sản xuất

một đơn vị hàng hóa cho trong bảng:

Bài 1.5 Một xí nghiệp sản xuất 3 loại sản ph m A, B, C từ 2 loại nguyên liệu M M1, 2 với trữ l ợng

t ơng ứng là 40kg, 60 kg Định mức sử dụng nguyên liệu (kg/sản ph m) và lợi nhuận (ngàn đồng/sản

chỉ tiêu thụ đ ợc tối đa 200 sản ph m

Bài 1.6 Một chủ doanh nghiệp phải quyết định ph ơng án phân bổ sử dụng 3000 ha đất để gieo trồng 3

loại nông ph m A, B, C có các thông số kinh tế kỹ thuật nh sau:

Vốn (ngàn đồng)

Lao động (ngàn đồng)

Bài 1.7 Một xí nghiệp dệt có kế hoạch sản xuất 3 loại vải A, B, C Nguyên liệu để sản xuất là các loại sợi

tiêu hao mỗi loại sợi (g) để sản xuất 1m vải và giá bán (ngàn đồng/m) vải thành ph m mỗi loại đ ợc cho

nhiêu mét để tổng doanh thu của xí nghiệp đạt đ ợc cao nhất và không bị động trong sản xuất Biết rằng

với giá bán đư định thì xí nghiệp có thể tiêu thụ đ ợc hết số sản ph m sản xuất

Bài 1.8 Một công ty muốn có kế hoạch quảng cáo một loại sản ph m trong thời hạn một tháng với tổng

số liệu sau đây:

Bài 1.9 Công ty Cao Nguyên dự định trồng 2 loại cây cà phê và tiêu trên 3 khu đất A, B, C có diện tích

t ơng ứng là 50, 60, 40 ha Do đặc điểm của các khu đất khác nhau nên chi phí sản xuất (triệu đồng/ha) và

năng suất (tạ/ha) khác nhau và cho ở bảng sau:

Yêu c u sản l ợng của cà phê đạt tối thiểu là 500 tạ và sản l ợng của tiêu tối thiểu là 420 tạ Hãy lập mô hình bài toán xác định ph ơng án phân phối đất trồng các loại cây sao cho bảo đảm yêu c u về sản l ợng

với chi phí thấp nhất

Bài 1.10 Để nuôi một loại gia súc trong 24 giờ c n có khối l ợng tối thiểu các chất: Protit, Gluxit, chất

khoáng t ơng ứng là: 90, 130, 10 gram Tỉ lệ ph n trăm theo khối l ợng các chất trên có trong các loại thức

loại thức ăn là thấp nhất

Bài 1.11 Để nuôi một loại gia súc, ng ời ta sử dụng 3 loại thức ăn A, B, C Tỉ lệ ph n trăm theo khối l ợng

của các chất dinh d ỡng P1, P2 có trong các loại thức ăn cho ở bảng sau:

- Chất dinh d ỡng P1 phải có ít nhất là 70g và nhiều nhất là 80g

- Chất dinh d ỡng P2 phải có ít nhất là 90 g

loại thức ăn là thấp nhất

Bài 1.12 Một nhà máy chuyên sản xuất hai loại sản ph m P1, P2 Các sản ph m này đ ợc gia công l n l ợt

ở hai phân x ởng A1, A2 Thời gian (đơn vị: giờ) c n thiết để sản xuất các loại sản ph m ở từng phân

x ởng cho ở bảng sau:

Phân x ởng Sản ph m