Chương 3 – Lý thuyết chuỗi Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

Chương 3 – Lý thuyết chuỗi Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 140 Chương 3 LÝ THUYẾT CHUỖI Sự phát triển của công nghệ kỹ thuật số đòi hỏi cần thiết kế và giải quyết các hệ dữ liệu mẫu với thờ.

Chương 3 LÝ THUYẾT CHUỖI

        Sự phát triển của công nghệ kỹ thuật số đòi hỏi cần thiết kế và giải quyết các hệ 

dữ liệu mẫu với thời gian rời rạc. Và việc khảo sát các dãy rời rạc này khó khăn hơn rất nhiều so với khảo sát các hàm giải tích. Một trong những công cụ đắc lực để giải quyết  các  bài  toán  nói  ở  trên  là  sử  dụng  phép  biến  đổi  Z,  phép  biến  đổi Fourier,…Những  công  cụ  này  đã  được  các  nhà  toán  học,  nhà  vật  lí  học  nghiên  cứu, xây  dựng  thành  hệ  thống  lý  thuyết  và  ứng  dụng  từ  thế  kỉ  XVIII.  Cuối  thế  kỉ  XVIII, trong một nghiên cứu về phương trình mô tả sự truyền nhiệt của vật thể, nhà toán học, vật  lí  học  người  Pháp  Joseph  Fourier  (1768-1830)    đã  có  một  nghiên  cứu  kì  lạ  rằng 

“mọi”  hàm  số đều  có  thể  biểu  diễn  dưới  dạng  tổng của  chuỗi vô  hạn  các hàm  lượng giác (sau này gọi là khai triển hàm số thành chuỗi Fourier). Các nghiên cứu liên quan đến chuỗi Fourier không những có ứng dụng trong nhiệt học mà sau này còn được ứng dụng vào lĩnh vực viễn thông: phân tích phổ, phân tích truyền dẫn tín hiệu, ghép kênh 

vô tuyến, ghép kênh quang,…. Để có thể tìm hiểu được lĩnh vực thú vị đó, trước hết chúng ta cần có những kiến thức cơ bản nhất về “chuỗi” mà ta sẽ đề cập trong chương 

3 dưới đây. 

      Ở chương 3 này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm và một số tính chất cơ bản nhất 

về chuỗi số, chuỗi lũy thừa, chuỗi Taylor và chuỗi Fourier. Muốn đi xa hơn nữa đến các bài toán ứng dụng chúng ta cần một quá trình để tìm hiểu nhiều thêm các kiến thức liên quan về chuỗi: tính hội tụ, đạo hàm, tích phân, dạng phức của chuỗi, phép biến đổi 

Z, phép biến đổi Fourier,… Và các bạn có thể đọc thêm phần này ở tài liệu tham khảo [10] và tài liệu tham khảo [13] 

A Lý thuyết và các ví dụ minh họa

3.1 Các khái niệm cơ bản

3.1.1 Chuỗi số

Định nghĩa 1 Cho dãy số thực { }  Biểu thức

+ + ⋯ + + ⋯ =

được gọi là một chuỗi số hay ngắn gọn là chuỗi. Số hạng  u  được gọi là số hạng tổng quát thứ   

được gọi là tổng riêng phần thứ  của chuỗi. 

Nếu    tồn tại hữu hạn thì ta nói chuỗi hội tụ và được gọi là tổng của chuỗi và ta viết 

=

Nếu   không tồn tại hoặc   ta nói chuỗi phân kỳ. 

Ví dụ 1. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau 

a)           b)         c)   Giải

+ Khi   thì           

Vậy trong trường hợp này   không tồn tại.       

Suy ra dãy  hội tụ khi  , phân kì khi   

Vậy   hội tụ khi | | < 1, phân kì khi   Chuỗi   còn được gọi là chuỗi hình học  

Định lý 1 (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) Nếu chuỗi hội tụ thì Như vậy ta suy ra: nếu hoặc không tồn tại thì chuỗi phân kỳ

Ví dụ 2.  Xét  chuỗi    Ta  có    khi  → +∞.  Do  đó,  chuỗi phân kỳ. 

Định lý 2 Cho các chuỗi ,  hội tụ Khi đó, với , ∈ ℝ thì chuỗi

2. Nếu   phân kỳ và   phân kỳ thì không có kết luận cho chuỗi   Tuy nhiên nếu cộng thêm điều kiện  , ≥ 0, ∀  thì chuỗi  phân kỳ. 

Định lý 3 Tính chất hội tụ của chuỗi không đổi nếu ta bỏ đi môt số hữu hạn các số hạng của chuỗi

Ví dụ 3. Chuỗi  và chuỗi   (với  ) thì cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 

Định lý 4 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy) Chuỗi hội tụ khi và chỉ khi

3.1.2 Chuỗi không âm 

Định nghĩa 2 Chuỗi   với u ≥ 0, ∀n được gọi là chuỗi không âm. Chuỗi   với  u > 0, ∀  được gọi là chuỗi số dương. 

Nhận xét. Nếu chuỗi   không âm thì dãy tổng riêng {S } là dãy không giảm nên 

nó hội tụ (chuỗi hội tụ) khi và chỉ khi {S } bị chặn trên. 

Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi không âm

a Tiêu chuẩn so sánh

Định lý 5 Cho hai chuỗi số , thỏa điều kiện kể từ số nào đó trở đi mà

thì Khi đó, nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi hội tụ, nếu

phân kỳ thì phân kỳ

Định lý 6 Cho hai chuỗi số dương ,  . Giả sử  Khi đó,

i) Nếu 0 < < +∞ thì ,  cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

ii) Nếu = 0 Nếu hội tụ thì hội tụ, nếu phân kỳ thì phân kỳ

u k v

 

1

n n

v







iii) Nếu = +∞ Nếu hội tụ thì hội tụ, nếu phân kỳ thì phân kỳ

Mà ở ví dụ 1 ta đã biết chuỗi   phân kỳ nên chuỗi   phân kỳ.  

b Tiêu chuẩn tích phân

Định lý 7 Nếu là hàm liên tục, không tăng, không âm trên ,  Khi đó, chuỗi hội tụ khi và chỉ khi tích phân suy rộng hội tụ

Ví dụ 4. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau  

Giải

a) Ta có: 

 Nếu  < 0 thì   nên chuỗi  phân kỳ.  

 Nếu  = 0 thì  ⟹  nên chuỗi   phân kỳ. 

1

n n

 Nếu  > 0,  đặt  ,  là  hàm  liên  tục,  giảm,  không  âm  trên [1; +∞).Mặt  khác  ta  đã  biết    hội  tụ  khi  và  chỉ  khi  > 1  nên  chuỗi 

 hội tụ khi  > 1 và phân kỳ khi 0 < ≤ 1. 

Tóm lại,   hội tụ nếu  > 1, phân kỳ nếu  ≤ 1.  

b) Phân tích bài toán: Xét hàm số   , đây là hàm liên tục, không âm trên [2; +∞). Nhưng  ( ) chỉ giảm khi  >  do  chỉ khi  >  Như 

vậy thay vì xét sự hội tụ của chuỗi  thì ta xét  sự hội tụ của chuỗi   (theo định lý 3). 

Chúng ta trình bày lại bài toán như sau: 

Xét hàm số   , đây là hàm liên tục, không âm trên [3; +∞). Ta cũng có ( )  là  hàm  giảm  giảm  trên  [3; +∞)  vì    với  mọi    ≥ 3.  Mặt 

khác  theo  chương  2  ta  đã  biết    là  phân  kỳ.  Suy  ra  chuỗi 

phân kỳ. Vậy chuỗi   phân kỳ. 

c Tiêu chuẩn D’Alembert

Định lý 8 Cho chuỗi số dương Giả sử Khi đó:

n

u k u



1

n n

u







ii) = 1 chưa kết luận gì về sự hội tụ Tuy nhiên nếu kể từ số tự nhiên nào

đó trở đi sao cho mà thỏa điều kiện Khi đó chuỗi phân

n n

n

n n

n

n n

u u

n n

d Tiêu chuẩn căn thức Cauchy

Định lý 9 Cho chuỗi số dương Giả sử Khi đó,

i) < 1 thì hội tụ

ii) > 1 thì phân kỳ

iii) = 1 chưa kết luận gì về sự hội tụ Tuy nhiên nếu kể từ số tự nhiên nào

đó trở đi sao cho mà thỏa điều kiện Khi đó chuỗi phân

Ta chưa kết luận được chuỗi hội tụ hay phân kỳ. Nhưng do   do đó chuỗi phân kỳ. 

c) Ta có chuỗi phân kỳ vì 

 d) Ta có  

11

1 n

n

n n

n n

n

n n

n

n u

1 

n

n n

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ. 

3.1.3 Chuỗi đan dấu 

Định nghĩa 3 Chuỗi có dạng   được gọi là chuỗi đan dấu. 

Định lý 10 (Dấu hiệu Leibnitz) Cho chuỗi đan dấu   Nếu là dãy đơn điệu giảm và thì chuỗi hội tụ

Ví dụ 7. Xét sự hội tụ của chuỗi , với   là hằng số.  

Giải

 Khi   ta có  nên chuỗi phân kỳ. 

 Khi   ta có  không tồn tại nên chuỗi phân kỳ. 

 Khi   khi đó  là chuỗi đan dấu, trong đó  là dãy giảm 

n n

Ta lại có  

 Vậy chuỗi   là hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. 

3.1.4 Chuỗi có dấu bất kỳ

Định nghĩa 4 Chuỗi có dạng  ,   được gọi là chuỗi có dấu bất kỳ

Định lý 11 Cho chuỗi có dấu bất kỳ   Khi đó, là chuỗi không âm Nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi hội tụ và khi đó ta nói chuỗi hội tụ tuyệt đối

Nếu chuỗi hội tụ nhưng chuỗi phân kỳ thì ta nói chuỗi bán hội tụ

Ví dụ 9. Dựa vào ví dụ 7 và ví dụ 8 ta có chuỗi   là hội tụ tuyệt đối. Chuỗi    là bán hội tụ.  

Chú ý.  Nếu  chuỗi    phân  kỳ  thì  chuỗi    chưa  chắc  đã  phân  kỳ,  ví  dụ  như  

  hội  tụ  theo  tiêu  chuẩn  Leibnitz,  nhưng    lại  là  chuỗi phân kỳ.  Tuy nhiên người ta đã chứng minh được rằng nếu  phân kỳ theo tiêu 

chuẩn D’Alembert hay căn thức Cauchy  thì chuỗi   sẽ phân kỳ. 

Như  vậy  tiêu  chuẩn  chuẩn  D’Alembert  và  tiêu  chuẩn  căn  thức  Cauchy  không  những dùng cho chuỗi số dương mà còn có thể dùng cho cả chuỗi có dấu bất kì.  

Ta phát biểu lại hai tiêu chuẩn này như sau: 

Tiêu chuẩn căn thức Cauchy:

Cho chuỗi số Giả sử Khi đó,

n n

n n

i) < 1 thì hội tụ

ii) > 1 thì phân kỳ

iii) = 1 chưa kết luận gì về sự hội tụ

Tiêu chuẩn D’Alembert:

Cho chuỗi số  Giả sử  Khi đó:

n

u

k u



1

n n

u x







Để  tìm  miền  hội  tụ  của  chuỗi  hàm  số  ,  ta  thường  xét  sự  hội  tụ  của  chuỗi 

 theo dấu hiệu D’Alembert hay Cauchy. Nghĩa là ta tính 

Sau  đó  giải  bất  phương  trình  | ( )|< 1.  Nghiệm  của  bất  phương  trình  này,  bỏ  đi những điểm làm cho  ( ) không xác định sẽ thuộc miền hội tụ của chuỗi hàm. Xét riêng tại những điểm   là nghiệm của phương trình | ( )| = 1. 

3.3 Chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 6 Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng  , trong đó   được gọi 

là tâm của chuỗi lũy thừa

Định lý 12 Cho chuỗi lũy thừa Giả sử

11

i) Với | − | < ⟺ ∈ ( − ; + ) thì chuỗi hội tụ ii) Với | − | > thì chuỗi phân kỳ

iii) Với | − | = ⟺ = − hoặc = + thì chưa kết luận được (phải xét riêng)

n x

13

n

n n

x n

n x







điểm   Khi   thì chuỗi   trở thành chuỗi 

được gọi là chuỗi Malaurin của hàm số  

Định nghĩa 8 Ta nói hàm f có thể được khai triển thành chuỗi Taylor tại điểm nếu trong  khoảng  hội  tụ  của  nó  chuỗi    có  tổng  đúng  bằng  , nghĩa là: 

Định lý 13 Trong lân cận của điểm nếu ta có khả vi vô hạn lần và tồn tại số

 sao cho thì hàm f có thể được khai triển thành chuỗi Taylor tại điểm

Chuỗi Maclaurin của một số hàm cơ bản

f

x n

f x

x

3.5 Chuỗi Fourier

Định nghĩa 9 Cho  hàm  số    tuần  hoàn  với  chu  kì    và  khả  tích  trên  đoạn 

 và   là chuỗi Fourier với các các hệ 

x

x

n x

Ký  hiệu    ngụ  ý  rằng  chuỗi  Fourier  của  hàm    chưa  chắc  đã  hội  tụ  và  trong trường hợp hội tụ thì chưa chắc tổng của nó đã bằng hàm  , Vậy khi nào dấu “ ” 

sẽ được thay thế bằng dấu “ ”? Định lý sau đây sẽ cho chúng ta biết điều đó. 

Định lý 13 (Định lý Dirichlet) Nếu tuần hoàn với chu kì , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên thì chuỗi Fourier của hàm hội tụ (từng điểm) trên đoạn đó và:

đoạn loại 1 của hàm và

Chú ý. Chuỗi   là chuỗi Fourier của một hàm   tuần hoàn với chu kì  và   khi  , đừng nhầm lẫn, hàm   không nhất thiết phải tuần hoàn với chu kì  . 

Ví dụ 14 Khai triển hàm  trên , áp dụng tính tổng của các chuỗi sau a)        b)   

Giải Hàm  số    xác  định  và  liên  tục  trên  đoạn    nên  trong  đoạn 

 ta có: 

Với: 

  (tính  bằng  phương    pháp tích phân từng phần) 

 (vì    là hàm lẻ) Vậy ta có khai triển: 

0 1

 ; 

0 1

, a) Thay   vào đẳng thức   ta được: 

 b) Thay   vào đẳng thức   ta được: 

Thay   vào ta được  

Ví dụ 16 Xét  hàm  số  ,   Vì  hàm  là  hàm  chẵn  nên các hệ số Fourier được tính như sau 

, 

 

2 2

2 1

cos

3

n n

nx x

16

0        khi  

n n

nx

x n

Ta có chuỗi Fourier tương ứng  

 Theo định lý Dirichlet ta có 

 Thay   vào ta được  

B Bài tập có lời giải

Bài 1 Xét sự hội tụ của chuỗi số bằng định nghĩa Phương pháp:

1.1. Chứng minh các chuỗi sau là phân kỳ: 

a)        b)         c)   

d)         e)        f)   Giải

a) Ta có  nên chuỗi phân kỳ.   

2 0 0

n n

11

n

n

n n

n n n

n

n

n n

c) Ta có  , suy ra:  

 Như vậy   nên chuỗi phân kỳ.      



 b) Cách 1:  do    nên      ,  mà  chuỗi 

 hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh ta có chuỗi   hội tụ.    

,    mà  chuỗi    hội  tụ  nên  theo  tiêu  chuẩn  so  sánh  ta  có  chuỗi 

 hội tụ.         

 phân kỳ nên theo tiêu chuẩn so sánh ta có chuỗi   phân kỳ.    

,    mà  chuỗi    phân  kỳ  nên  theo  tiêu  chuẩn  so  sánh  ta  có  chuỗi 

3 3

10

11

n n n

2

15

n n

n n

n

n n

n n

n

k n









e) Khi   ta có  , mà   hội tụ nên theo tiêu chuẩn 

n n n

lnk

n

k n

1,  

lnk

n

k n







c) Ta có   Mà theo ví dụ 3 (trang 3) ta có   phân kỳ 

a) Cách 1: sử dụng tiêu chuẩn D’Alembert .  

Vậy chuỗi đã cho hội tụ.       

lnlim lim ln







2 2

ln

n

n n

n n

n n







( 1) 1

11

n n

n

n n

n u

n

n u

n n n

22

a)         b)          c)  d)   Giải. 

a) Cách 1: ta có    là chuỗi đan dấu, trong đó dễ thấy   là dãy giảm (vì  ).    Mặt  khác  ta  có    nên  hội  tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. 

Cách 2: ta có   là chuỗi hội tụ, suy ra   cũng hội tụ. Nhận xét Ở câu b, c và d có nhiều bạn làm sai, ví dụ ở câu b các bạn làm như sau: 

là phân kỳ. 

Sai vì các bạn đã nhầm lẫn. Cần lưu ý rằng   hội tụ thì   cũng hội tụ, nhưng 

  phân  kỳ  thì  ta  chưa  kết  luận  được    là  hội  tụ  hay  phân  kỳ!  Ví  dụ  như 

 là phân kỳ, nhưng    là hội tụ. Chỉ khi    phân kỳ theo tiêu chuẩn căn thức Cauchy hoặc D’Alembert thì   cũng phân kỳ. 

n n

n

n

u

n u

n n

n



c)  Ta  có     là  chuỗi đan  dấu,  trong  đó    là dãy  giảm  (vì  xét 

12

n n n

n

n n

12

n n n

2 21

n

n n







Bài 3 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số Phương pháp:

1.  Để  tìm  miền  hội  tụ  của  chuỗi  hàm  số  ∑ ( ),  ta  xét  sự  hội  tụ  của  chuỗi 

 Nếu   suy ra bán kính hội tụ  , kết luận ngay miền hội tụ là   

 Nếu   suy ra bán kính hội tụ  , kết luận ngay miền hội tụ là   

 Nếu   là một số thực khác không, suy ra bán kính hội tụ  , suy ra miền 

Bước  2.  Tại  hai  đầu  mút    hoặc  ,  thay  vào  chuỗi  hàm  thành chuỗi số, xét sự hội tụ của chuỗi số đó rồi kết luận miền hội tụ.  

3.1. Tìm miền hội tụ của chuỗi: 

 

   

1lim n

a)        b)        c)         d)   Giải

a)    là  chuỗi  hình  học,  chuỗi  hội  tụ  khi  và  chỉ  khi   Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là   

b)  xác định khi   và  ta có:  

 theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi luôn hội tụ nếu  

d) Khi   ta có    nên chuỗi   phân kỳ. 

x n

x

x x

11

n

n n

n

x x

Khi   ta có    không xác định khi n lẻ. 

Xét tại  , chuỗi đã cho trở thành  ,và chuỗi này hội tụ. 

Xét tại  , chuỗi đã cho trở thành  , và chuỗi này phân kỳ. 

n

n n

x n

x n

n

n n

n

x n

Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là   

c)  Tính  ,  theo  tiêu  chuẩn  Cauchy  chuỗi  luôn  hội  tụ  nếu 

. Tại   chuỗi trở thành   là chuỗi phân kỳ. 

Tại   chuỗi trở thành   là chuỗi phân kỳ. 

n n

n

n n

1 3

n n n

n n

3

n n

n

n n

sin

1 n

n

n n

1

2

n n

n n

1 2

n

n n

11

sin4sin4

n

n

n n

1

1.3.5 2 11

2.4.6 2

n n

n n

cos

1

n

n n

1

2

n n

n n

x x

1 1

n n n n

x n

5 4

n

n n

x n

n n n

n

x n

Chương 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Ở ba chương trước, chúng ta đã nghiên cứu phép tính vi phân và tích phân của hàm số một biến số. Tuy nhiên, trong thực tế khi cố gắng mô hình hóa thế giới thực thì người ta nhận ra rằng các đại lượng biến thiên còn phụ thuộc vào nhiều đại lượng biến thiên khác. Dưới đây là một số ví dụ cho thấy sự cần thiết phải xây dựng hàm số nhiều biến số: 

- Thể tích của hình trụ phẳng, tròn phụ thuộc vào bán kính đáy và chiều cao. Vì thế, ta có thể xem thể tích này như một hàm số của hai biến số: 

. 

-  Bài  toán  về  con  lắc  toán  học:  Cho  một  chất  điểm  có  khối  lượng  m  chuyển 

động theo một đường tròn trong mặt phẳng thẳng đứng, dưới tác dụng của trọng lực. Nếu bỏ qua sức cản (lực ma sát, sức cản không khí…) thì phương trình chuyển động của chất điểm là: 

Như vậy, có thể thấy rằng hàm nhiều biến số có ứng dụng rất rộng rãi trong thực 

tế, nhất là trong các ngành khoa học kỹ thuật và kinh tế. Và cũng tương tự như hàm số một biến số, hàm số nhiều biến số cũng có các phép tính vi phân và tích phân. Tuy nhiên, trong giới hạn của tài liệu này chúng ta chỉ tìm hiểu phép tính vi phân hàm nhiều biến.  

A Lý thuyết và các ví dụ minh họa

4.1.Khái niệm hàm nhiều biến

sin 2, v

Tập hợp  được gọi là miền xác định hay tập xác định của hàm số, gồm những 

điểm   sao cho   có nghĩa

Tập hợp  được gọi là tập giá trị của hàm số

Để cho đơn giản, các vấn đề tiếp theo trong chương này sẽ được trình bày đối với trường hợp hàm số hai biến số

4.1.2 Đồ thị của hàm số hai biến số

Cho  hàm  hai  biến  với    Đồ  thị  của  hàm  số  đã  cho  là  tập hợp  các  điểm  với    Như  vậy,  đồ  thị  của  hàm  số  2  biến  số 

Hình 4.4 Phương trình chính tắc của mặt trụ parabolic có dạng:   

4.2 Giới hạn của hàm số hai biến số

Khái  niệm  giới  hạn  hàm  số  hai  biến  số  cũng  được  đưa  về  khái  niệm  giới  hạn hàm số một biến số. 

Định nghĩa 2 Cho hai  điểm  và  Khoảng cách giữa M và