Phương pháp Front -Tracking cho định luật bảo toàn doc

Mục đích• trình bày một phương pháp số phương pháp front-tracking để giải bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên đối với định luật bảo toàn vô hướng trong không gian một chiều dạng ut

ViÖn To¸n häc Hµ Néi

Mục đích

• trình bày một phương pháp số (phương pháp front-tracking)

để giải bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên đối với định

luật bảo toàn vô hướng trong không gian một chiều dạng

ut + H(u)x = 0 (x, t) ∈ R ì (0, ∞)

• chuyển phương pháp nói trên sang áp dụng cho bài toán giá

trị ban đầu đối với phương trình Hamilton-Jacobi dạng

vt + H(vx) = 0 (x, t) ∈ R ì (0, ∞),v(x, 0) = v0(x) x ∈ R

Mục lục

4 Phương pháp front-tracking cho bài toán Cauchy đối

với định luật bảo toàn vô hướng trong không gian một

5 Phương pháp front-tracking cho bài toán biên

6 Chuyển phương pháp front-tracking sang cho bài toán

Nghiệm entropy cho định luật bảo toàn

Nghiệm tích phân

Định nghĩa 1 Ta nói hàm u ∈ L∞(R ì (0, ∞)) là một nghiệm tích

phân của bài toán

ut + H(u)x = 0 (x, t) ∈ R ì (0, ∞), (1)

u(x, 0) = u0(x) x ∈ R, (2)nếu như đẳng thức

Điều kiện Rankine-Hugoniot

Giả sử hàm u là nghiệm phân bố thuộc C1 từng mảnh của (1),

tức là u thỏa

Z ∞

−∞

Z ∞ 0

(uϕt + H(u)ϕx)dxdt = 0, (4)với mọi hàm thử ϕ(x, t) ∈ C1

0(R ì (0, ∞)) và tồn tại một số hữuhạn các đường cong trơn C trong mặt phẳng (x, t) sao cho hàm

u thuộc lớp C1 bên ngoài các đường đó, còn ngang qua các

đường đó hàm u không liên tục có bước nhảy Khi đó bằng cách

chọn các hàm thử phù hợp và dùng tích phân từng phần, từ (4)

ta thu được đẳng thức sau đây

H(ul) − H(ur) = ˙s(ul − ur) dọc theo mỗi đường cong C, (5)

trong đó x = s(t) là phương trình của đường cong C và

ul,r = lim

x→s(t)−,+u(x, t)

dọc theo đường cong C Đẳng thức (5) gọi là điều kiện

Rankine-Hugoniot Chú ý rằng vận tốc σ và các giá trị ul, ur, H(ul), H(ur)

nói chung là sẽ thay đổi dọc theo đường cong C Mặc dù vậy,

biểu thức [H(u)] = H(ul) − H(ur) và σ[u] = ˙s(ul − ur) vẫn

0 (R ì [0, ∞)), ϕ ≥ 0 và mọi k ∈ R

Nếu ta xét định luật bảo toàn trong miền Rì(0, T ] thì bất đẳng

Nghiệm entropy cho bài toán biên Dirichlet

Ta xét bài toán tìm nghiệm duy nhất của định luật bảo toàn vô

hướng trong không gian nhiều chiều

ut + divH(u) = 0 (x, t) ∈ Ω ì (0, T ) (8)với điều kiện ban đầu

u(x, 0) = u0(x) x ∈ Ω, (9)

và điều kiện biên

trên một phần của ∂Ω ì (0, T ) sẽ được nói rõ ở sau, trong đó

H = (H1, H2, , Hn) là hàm liên tục Lipschitz và T > 0

Bài toán biên (8)-(9)-(10) là đặt không chỉnh nếu ta đòi hỏi

điều kiện biên (10) thỏa mãn theo nghĩa mạnh Vì lí do này, ta

phải tìm cách sửa đổi điều kiện biên một cách thích hợp để bài

toán trở nên đặt chỉnh Trong [B-L-N], các tác giả đó đã hiệu

chỉnh điều kiện biên (10) thành

sign(γu(x, t)−k)(H(γu(x, t))−H(k)).n(x) ≥ 0, ∀k ∈ I(r(x, t), γu(x, t)),

(11)với hầu hết (x, t) ∈ ∂Ω ì (0, T ), trong đó I(α, β) kí hiệu cho đoạn

có hai đầu mút là α và β, γu kí hiệu cho L1-vết của u

Định nghĩa 3 Ta nói một hàm u(x, t) ∈ L∞(Ω ì (0, ∞)) là nghiệm

entropy của bài toán (8)-(9)-(10) nếu u thỏa mãn bất đẳng thức

0 (Ω × [0, T )), ϕ ≥ 0 vµ mäi k ∈ R.

Nghiệm nhớt cho PT Hamilton-Jacobi

Định nghĩa 4 Một hàm bị chặn và liên tục đều u được gọi là một

nghiệm nhớt của bài toán Cauchy

thì

ϕt(x0, t0) + H(ϕx(x0, t0)) ≤ 0,và

(iii) u là nghiệm nhớt trên, tức là với mọi ϕ ∈ C∞

R ì (0, ∞)
,

nếu u−ϕ có một cực tiểu địa phương tại điểm (x0, t0) ∈ Rnì (0, ∞)

thì

ϕt(x0, t0) + H(ϕx(x0, t0)) ≥ 0

Hàm với biến phân toàn phần bị chặn

Một trong những tính chất đáng chú ý nhất của các hàm có

biến phân toàn phần bị chặn là kết quả sau

Định lý 1 (Nguyên lý lựa chọn Helly) Giả sử {un(x)}n là một dãy

các hàm có biến phân toàn phần bị chặn trên khoảng hữu hạn hoặc

vô hạn (a, b) Khi đó nếu tồn tại một hằng số C > 0 không phụ thuộc

vào n sao cho

||un||L∞ ≤ C và T V (un

) ≤ Cthì tồn tại một dãy con {unk(x)} của dãy {un(x)}n sao cho

unk(x) → u(x) khi k → ∞, ∀x ∈ (a, b)

Hơn nữa hàm u có biến phân toàn phần bị chặn trên khoảng (a, b) và

ta có tính chất nửa liên tục dưới

T V (u) ≤ lim inf

n→∞ T V (un)

Định lý 2 [H-R, Theorem A.8] Giả sử {un(x, t)}n là một dãy các

hàm xác định trên (a, b) ì [0, ∞) Khi đó nếu tồn tại một hằng số

C > 0 không phụ thuộc vào n sao cho

||un(., t)||L∞ ≤ C; T V (un(., t)) ≤ C, ∀t ∈ [0, ∞) và

||un(., t) − un(., s)||L1 ≤ C|t − s|, ∀t, s ∈ [0, ∞)thì tồn tại một dãy con {unk(x, t)} của dãy {un(x, t)}n sao cho

unk(x, t) → u(x, t) khi k → ∞, ∀(x, t) ∈ (a, b) ì [0, ∞);

unk(., t) → u(., t) trong L1

loc(a, b) khi k → ∞, ∀t ∈ [0, ∞)

Hơn nữa hàm u có biến phân toàn phần bị chặn theo biến x trên

khoảng (a, b) và ta có

||u(., t)||L∞ ≤ C; T V (u(., t)) ≤ C, ∀t ∈ [0, ∞) và

||u(., t) − u(., s)||L1 ≤ C|t − s|, ∀t, s ∈ [0, ∞)

Phương pháp front-tracking cho bài toán Cauchy

đối với định luật bảo toàn vô hướng trong

không gian một chiều

Ta bắt đầu bằng việc đưa ra một thủ tục giải chính xác bài

toán Cauchy

ut + H(u)x = 0 (x, t) ∈ R ì (0, T ] (13)u(x, 0) = u0(x) x ∈ R, (14)

ở đó H là hàm liên tục và tuyến tính từng khúc, u0 là hàm hằng

từng khúc (nhận hữu hạn giá trị) Ta gọi một điểm gãy của H là

điểm mà tại đó hàm H0 là không liên tục

Để giải bài toán (2.1)-(2.2) trong trường hợp này, trước hết ta

giả bài toán Riemann tương ứng, với u0 được cho bởi

g g(u)| g(u)lõm và g(u) ≥ H(u), ∀u giữa ul và ur

là bao lõm trên của H giữa ul và ur Đặt

eH(u; ul, ur) =

(

H∗(u; ul, ur) if ul < ur,

H∗(u; ul, ur) if ul > ur

Do H là hàm liên tục tuyến tính từng đoạn nên hàm He cũng

liên tục và tuyến tính từng đoạn Đặt u1 = ul, uN = ur và giả

sử He có N − 2 điểm gãy nằm giữa ul và ur là u2, , uN −1 sao

cho ui < ui+1 nếu ul < ur và ui > ui+1 nếu ul > ur Bây giờ đặt

Ωi = (x, t) | 0 ≤ t ≤ T, và tσi−1 < x ≤ tσi Khi đó ta có, xem Hình 1

Mệnh đề 1 [K-R, Proposition 2.1] Nếu ta đặt

u(x, t) = ui for (x, t) ∈ Ωi, (17)thì u là nghiệm entropy của bài toán Riemann (2.1)-(2.3)

Hình 1: Các front trong nghiệm u.

Bây giờ chúng ta xây dựng nghiệm chính xác của bài toán

Cauchy (14)-(15)

ut + H(u)x = 0, (x, t) ∈ R ì (0, T ]; u(x, 0) = u0(x), x ∈ R,

với hàm giá trị ban đầu tổng quát hơn một chút, đó là các hàm

hằng từng khúc Vì hàm giá trị ban đầu u0 là hằng trên từng

đoạn nên nó xác định một dãy các bài toán Riemann

Hình 2: Một nghiệm front-tracking; u(x, t) là hằng từng mảnh trên

một số hữu hạn miền của mặt phẳng (x, t)

Bổ đề 1 [H-R, Lemma 2.6] Với mỗi hàm hằng từng khúc u0 chỉ nhận

hữu hạn giá trị và mọi hàm liên tục tuyến tính từng khúc H, chỉ có

hữu hạn va chạm giữa các front của nghiệm entropy của bài toán

(14)-(15) với t > 0

Bổ đề 2 [H-R, Theorem 2.14] Giả sử u(x, t) là nghiệm front-tracking

của bài toán (14)-(15) và gọi ||H||Lip là hằng số Lipschitz của hàm

H Khi đó

(i) ||u(., t)||∞ ≤ ||u0||∞, với mọi t > 0;

(ii) T V (u(., t)) ≤ T V (u0), với mọi t > 0;

(iii) ||u(., t) − u(., s)||1 ≤ ||H||LipT V (u0)|t − s|, với mọi s, t > 0

Như vậy phương pháp front-tracking cho ta nghiệm entropy

của tất cả các bài toán Cauchy mà ở đó H là hàm tuyến tính

liên tục từng khúc còn u0 là hàm hằng trên từng đoạn và có hữu

hạn điểm gián đoạn Bây giờ ta trở lại xét bài toán Cauchy tổng

quát

ut + H(u)x = 0 (x, t) ∈ R ì (0, ∞) (18)u(x, 0) = u0(x) x ∈ R, (19)trong đó hàm H là liên tục Lipschitz trên đoạn [m, M] với hằng

số Lipschitz L và u0 là thuộc vào L1

(R) ∩ BV (R), nhận giá trịtrong đoạn [m, M] Để giải bài toán này ta sẽ xấp xỉ hàm u0 bởi

một dãy các hàm hằng từng khúc với hữu hạn bước nhảy, xấp

xỉ hàm H bởi một dãy các hàm tuyến tính liên tục từng khúc với

hữu hạn điểm gãy Sau đó giải chính xác các bài toán xấp xỉ

này bằng phương pháp front-tracking và lấy giới hạn dãy nghiệm

này trong không gian thích hợp ta sẽ thu được hàm giới hạn u

nghiệm của bài toán tổng quát (19)-(20)

Định lý 3 Hàm u(x, t) thu được ở trên là nghiệm entropy của bài

toán (19)-(20) Ngoài ra ta còn có các đáng giá

(i) ||u(., t)||∞ ≤ ||u0||∞, với mọi t > 0;

(ii) T V (u(., t)) ≤ T V (u0), với mọi t > 0;

(iii) ||u(., t) − u(., s)||1 ≤ ||H||LipT V (u0)|t − s|, với mọi s, t > 0

Pháp front-tracking cho ta một phương pháp mới dùng để

chứng minh sự tồn tại nghiệm entropy duy nhất của bài toán

Cauchy (và cả bài toán biên Dirichlet) đối với định luật bảo toàn

vô hướng Do đó cũng chứng minh được sự tồn tại nghiệm nhớt

duy nhất của bài toán Cauchy đối với phương trình

Hamilton-Jacobi

Phương pháp front-tracking cho bài toán biên

Dirichlet đối với định luật bảo toàn vô hướng

Trong mục này ta chuyển phương pháp front-tracking sang

áp dụng cho định luật bảo toàn vô hướng trong không gian một

chiều

ut + H(u)x = 0, (x, t) ∈ (a, b) ì (0, T ], (20)với điều kiện ban đầu và điều kiện biên kiểu Dirichlet

(21)trong đó H là hàm liên tục Lipschit, u0, ua và ub là các hàm có

biến phân toàn phần bị chặn trên (a, b)

Đối với bài toán trong không gian một chiều này, điều kiện

biên (11) trở thành

sign(γu(a, t) − k)(H(γu(a, t)) − H(k)) ≤ 0, ∀k ∈ I(ua(t), γu(a, t)),

(22)và

sign(γu(b, t) − k)(H(γu(b, t)) − H(k)) ≥ 0, ∀k ∈ I(ub(t), γu(b, t))

(23)Trước hết ta giải bài toán này trong trường hợp ua(t), ub(t) là

các hằng số ua, ub tương ứng, u0(x) là hàm hằng từng khúc với

hữu hạn bước nhảy và H là hàm liên tục tuyến tính từng khúc

với hữu hạn điểm gãy Khi đó các dữ kiện biên và dữ kiện ban

đầu xác định một dãy các bài toán Riemann (ban đầu, biên bên

trái và biên bên phải)

Bài toán Riemann biên bên trái đối với (2.16) là bài toán với giá

trị biên-ban đầu có dạng

(u(x, 0) = u0(a+) với x > au(a, t) = ua với t ∈ (0, T ) (24)Nghiệm của bài toán này có được bằng cách hạn chế nghiệm

front-tracking của bài toán Riemann tại a với điều kiện ban đầu

u(x, 0) =

(

ua nếu x ≤ a,

u0(a+) nếu x > a (25)lên miền (a, ∞) Ta chứng tỏ được rằng đối với bài toán Riemann

biên bên trái, điều kiện biên tại x = a là (23) sẽ tự động được

thỏa mãn

Bài toán Riemann biên bên phải đối với (2.16) là bài toán với giá

trị biên-ban đầu có dạng

(u(x, 0) = u0(b−) với x < bu(b, t) = ub với t ∈ (0, T ) (26)

Nghiệm của bài toán này có được bằng cách hạn chế nghiệm

front-tracking của bài toán Riemann tại x = b với điều kiện ban

lên miền (−∞, b) Ta cũng chứng minh được rằng đối với bài

toán Riemann biên bên phải, điều kiện biên tại x = b là (24)

cũng sẽ tự động được thỏa mãn

Hoàn toàn tương tự với trường hợp của bài toán Cauchy, ta

cũng có mệnh đề sau, nó chứng tỏ rằng phương pháp

front-tracking cho bài toán biên là hoàn toàn xác định

Mệnh đề 2 Cho H(u) là một hàm tuyến tính liên tục trên từng đoạn

và có hữu hạn điểm gãy trong đoạn [m, M], với m, M là các hằng số

nào đó Giả sử u0(x), ua(t), ub(t) là hàm hằng trên từng đoạn và có

hữu hạn các điểm gián đoạn, nhận giá trị trong đoạn [m, M] Khi đó

bài toán biên Dirichlet

u(a, t) = ua(t) t ∈ (0, T )u(b, t) = ub(t) t ∈ (0, T )

tồn tại nghiệm entropy u(t, x) được xây dựng bằng phương pháp

front-tracking Với mỗi t, nghiệm này là một hàm hằng trên từng đoạn theo

biến x và u(x, t) nhận giá trị trong tập hữu hạn

{u0(x), ua(t), ub(t)} ∪ {các điểm gãy của H}

Hơn nữa, chỉ có hữu hạn các va chạm giữa các front của u với nhau

và hữu hạn các va chạm giữa các front của u với các biên x = a, b,

ngoài ra ta còn có các đánh giá:

(i) ||u(x, t)||∞ ≤ max{||u0||∞, ||ua||∞, ||ub||∞};

(ii) T V (u(., t)) ≤ T V (u0) + |ua(t) − u0(a+)| + |ub(t) − u0(b−)|,

∀t ∈ (0, T );

(iii) ||u(., t) − u0||1 ≤ ||H||LipT V (u0)t, ∀t ∈ (0, T )

Bây giờ ta giải bài toán (21)-(22) với hàm thông lượng H, các

dữ kiện ban đầu, biên u0, ua, ub tổng quát hơn, cách làm là thay

H bằng một hàm xấp xỉ liên tục tuyến tính từng khúc với hữu

hạn điểm gãy, thay u0, ua, ub bằng các hàm hằng từng khúc với

hữu hạn bước nhảy Ta có định lý sau đây

Định lý 4 [K-L-R, Theorem 2.4] Giả sử u0 : (a, b) → [m, M ] và

ua, ub : [0, T ) → [m, M ] là các hàm có biến phân toàn phần bị chặn,

H : [m, M ] → R là hàm liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L

Khi đó bài toán biên-giá trị ban đầu (21)-(22) có một nghiệm entropy

u(x, t) được xây dựng như là giới hạn trong không gian L1((a, b) ì

[0, T )) của các nghiệm thu được bằng phương pháp front-tracking

Chuyển phương pháp front-tracking sang cho

bài toán Cauchy đối với phương trình

Hamilton-Jacobi

Xét bài toán Cauchy đối với PT Hamilton-Jacobi

vt + H(vx) = 0 (x, t) ∈ R ì (0, ∞),v(x, 0) = v0(x) x ∈ R (28)

và định luật bảo toàn vô hướng tương ứng trong không gian một

chiều

ut + H(u)x = 0 (x, t) ∈ R ì (0, ∞),u(x, 0) = u0(x) x ∈ R, (29)

Lấy đạo hàm một cách hình thức theo x phương trình (28) ta nhận

Đầu tiên ta giải bào toán (28) với điều kiện ban đầu có dạng

đặc biệt (mà ta cũng gọi là bài toán Riemann)

v0(x) = v0(0) +

(

ulx với x < 0,

urx với x ≥ 0, (31)

ở đây ul và ur là những hằng số Đối với hai hằng số ul và ur

này ta có bài toán Riemann đối với định luật bảo toàn tương ứng

Gọi u(x, t) là nghiệm entrropy thu được như trong Mệnh đề 2.1

của bài toán Riemann này Ta sẽ chứng tỏ rằng nghiệm nhớt

của bài toán Cauchy (28)-(31) được cho bởi

v(x, t) = v0(0) + xu(x, t) − tH(u(x, t)) (34)Nhận xét Ta thấy rằng hàm u(x, t) chỉ phụ thuộc vào một biến

ξ = x/t, tức là u(x, t) = u(x

t) cho nênv(x, t) = v0(0) +

Z x

0

Từ đó ta cũng thấy rằng v(x, t) là hàm tuyến tính từng khúc

Mệnh đề 3 [K-R, Proposition 2.3] Giả sử H là hàm tuyến tính từng

đoạn, ul và ur là các hằng số Khi đó bài toán Riemann đối với

phương trình Hamilton-Jacobi

vt + H(vx) = 0 trong R ì (0, ∞),với điều kiện ban đầu

ut + H(u)x = 0, trong R ì (0, ∞),

víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu

u(x, 0) =

(

ul víi x < 0,

ur víi x ≥ 0,

Tµi liÖu

[B-L-N] Bardos, C., LeRoux, A Y., Nedelec, J C., First

or-der quasilinear equations with boundary conditions,Com Partial Differential Equations, 4(9), 1017-1034,1979

[C-I-Li] Crandall M G., Ishii H., and Lions P L., User's guide

to viscosity solutions of second order partial ential equations, Bull Amer Math Soc., 27(1), 1-67,1992

differ-[Daf] Dafermos, C., Polygonal approximation of solutions

of the initial value problem for a conservation law, J

Math Anal Appl., 38(1), 33-41, 1972

[Go-Ra] Godlewski E., and Raviart P-A., Hyperbolic systems of

conservation laws, Mathematiques and Applications,Ellipses, Paris, 1991

[H-H-HK] Holden, H., Holden, L and Hoegh-Krohn, R., A

nu-merical method for first order nonlinear scalar bolic conservation laws in one dimension, Comput

hyper-Math Appl., 15(6-8), 595-602, 1988

[H-R] Holden, H and Risebro, N H., Front tracking for

hy-perbolic conservation laws, Applied Mathematical ences, 152, Springer-Verlag, New York, 2002

Sci-[K-R] Karlsen, K H., and Risebro, N H., A note on front

tracking and the equivalence between viscosity tions of Hamilton-Jacobi equations and entropy so-lutions of scalas conservation laws, Nonlinear Anal

solu-Theory Meth Appl., 50, 455-469, 2002

[K-L-R] Karlsen, K H., Lie, K A., and Risebro, N H., A front

tracking method for conservation laws with boundaryconditions, Hyperbolic problems: theory, numerics, ap-plications (Seventh International Conference in Zurich,1998), Eds., M Fey and R Jeltsch, Int Series ofNumerical Mathematics, 129, 493-502, Birkhauser,1999

[Kr] Kruzkov, S N., First-order quasilinear equations in

several independent variables, Math USSR Sb., 10(2),217-243, 1970