BÁO cáo bài tập lớn môn đại số tuyến tính đề tài PHÂN TÍCH a = QR BẰNG PHÉP QUAY GIVEN

Kết quả chạy codeĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN ĐẠ SỐ TU N T NH ĐỀ TÀI 5 PHÂN TÍCH A = QR BẰNG PHÉP QUAY GIVEN... Đây là một phần rất quantrọng

VIII Kết quả chạy code

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN ĐẠ SỐ TU N T NH

ĐỀ TÀI 5 PHÂN TÍCH A = QR BẰNG PHÉP QUAY GIVEN

VIII Kết quả chạy code

TP HỒ CHÍ MINH, ngà 3 tháng 12 năm 2021

VIII Kết quả chạy code

II Các l nh cơ bản được sử dụng trong bài toán 9

II Áp dụng phân tích A = QR để giải h phương trình tuyến tính Ax = b 13

VIII Kết quả chạy code

LỜI CẢM ƠN

Chúng em xin chân thành cảm ơn cô Phan Thị Khánh Vân trong suốt thời gian thamgia lớp Đại Số Tuyến Tính của cô Chúng em cảm thấy bản thân có trách nhi m, tự lậphơn, biết tự tìm hiểu thêm vấn đe mình còn thắc mắc và hơn nữa chúng em luôn tự tinrằng nếu không thể tự giải quyết thắc mắc của bản thân thì cô vẫn luôn sẵn sàng hỗ trợ,giải đáp thắc mắc cho chúng em khi cần

Bộ môn Đại Số Tuyến Tính là một môn học hữu ích, cung cấp nhieu kiến thức mớicũng như kiến thực thực tiễn trong đời sống Tuy nhiên, do vốn kiến thức chúng emcòn nhieu hạn chế cũng như còn bỡ ngỡ, chưa có kinh nghi m nên chúng em đã cốgắng tìm hiểu và hoàn thành bài tập lớn tốt nhất trong khả năng của chúng em, chắcchắn chúng em có thể mắc những thiếu sót Kính mong cô sẽ xem xét và góp ý chochúng em để chúng em sẽ hoàn thi n tốt hơn các bài tập lần sau

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

Chúng em kính chúc cô hạnh phúc nhieu sức khỏe để tiếp tục giảng dạy cho các sinhviên khóa tiếp theo!

VIII Kết quả chạy code

CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU

Lý do lựa chọn đề tài: Cô Phan Thị Khánh Vân là giáo viên hướng dẫn giao cho

chúng em đe tài ve phân tích A = QR bằng phép quay Given Đây là một phần rất quantrọng trong chương 4, được ứng dụng rất nhieu trong các bài toán cơ bản của bộ môn

và cũng như là h thống tín hi u MIMO Đây cũng là một phần đơn giản và đó là lí do

để em lựa chọn đe tài này

Yêu cầu cũa đề tài

- Nêu cơ sớ lý thuyet của phân tích A = QR bang phép quay Given

- Viet chwơng trình dùng ke phân tích A = QR bang phép quay Given

- Tìm các úng dnng của phân tích A = QR

VIII Kết quả chạy code

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUY T

1 Ma tr¾n trnc giao (Orthogonal Matrices)

− Trong đại số tuyến tính, một ma trận trực giao, hay ma trận trực chuẩn, là một ma trận vuôngthực với các cột và hàng của nó là các vectơ trực chuẩn

− Còn có thể biểu diễn đieu này như sauQTQ = QQT= I vớiQTlà chuyển vị củaQvàI

cos θ

VIII Kết quả chạy code

cos θ ⎥ (Ma trận quay cùng chieu kim đong homột góc Ө)

3 Ðịnh nghĩa:

− Phân rã QR (QR Decomposition) là phân rã ma trận A thành tíchA = QRcủa ma trận trựcgiao Q và ma trận tam giác trên R Phân rã QR thường được sử dụng để giải quyết vấn đebình phương tối thiểu tuyến tính…

VIII Kết quả chạy code

Ví dụ:

⎛1 1 1 ⎞

A = ⎜

1 2 1 ⎟

Dùng quá trình trực giao hóa

Gram – Schmidt cho quá trình phân tích

VIII Kết quả chạy code

1 Định nghĩa: là một phương pháp để phân tíchA = QRbằng cách làm cho các phân tử

lần lượt bằng 0 cho đến khi có được ma trận tam giác phải

− Ý tưởng: sử dụng một ma trận quay đơn giản 2x2 đặt dọc theo đường chéo chính của một

ma trận đơn vị và làm cho một phần tử của ma trận bẳng 0 Ta lấy ma trận trực giao của

quay cùng chieu kim đong ho

phép quay trong Rn) vớik ∈ để:

VIII Kết quả chạy code

VIII Kết quả chạy code

Bước 2: Tạo ma trận trục giao P từ ma trận đơn

VIII Kết quả chạy code

VIII Kết quả chạy code

VIII Kết quả chạy code

VIII Kết quả chạy code

VIII Kết quả chạy code

VIII Kết quả chạy code

CHƯƠNG 3 MATLAB

I Tong quan về MATLAB

- MATLAB (viết tắt của MATrix LABoratory) là một ngôn ngữ lập trình bậc cao bốn thế h ,môi trường để tính toán số học, trực quan và lập trình

- Nó là công cụ hỗ trợ đắc lực trong vi c tính toán, vẽ các hình, vẽ biểu đo thông dụng cả thựcthi các phương pháp tính toán

II Các l nh cơ bãn đvợc sũ dụng trong bài toán

disp disp(‘chuỗi ký tự') Hi n thị các nội dung của mảng hoặc

chuỗi

size size(‘A') Kích cỡ của ma trận A

sqrt sqrt(123) Căn bậc 2 của 123

eye eye(‘n') Tạo một ma trận đơn vị cấp n

for for <chỉ số>=<giá trị

đầu>:<mức tăng>:<giá trị cuối> Để lặp lại một hành động nào đó

clc Xóa kết quả trước và khai báo biến

VIII Kết quả chạy code

III Đoạn code hoàn chĩnh

clc;

clear;

disp('Phep quay Givens: phan tich A = QR');

A = input('Nhap ma tran A: '); % Nhập ma trận A

[m,n] = size(A); % Lvu kích cõ ma trận A

Q = eye(m); % Tạo ma trận đơn vị Q cùng kích thvớc với A

R = A; % Tạo biến trung gian R <- A

=

⎜

4

VIII Kết quả chạy code

VIII Kết quả chạy code

VIII Kết quả chạy code

CHƯƠNG 4 NG ỤNG

I MIMO (Multiple In, Multiple Out)

1 Khái ni m: Kênh MIMO phương pháp phân tập không gian (một kỹ thuật để hạn chế

sự ảnh hưởng của hi n tượng nhiễu sóng …) sử dụng trong thông tin vô tuyến

2 Nguyên lý chung của phương pháp phân kênh theo không gian:

Ở máy phát (Tx) luong tín hi u phát được chia thành N luong nhỏ và truyen đong thờiqua N anten phát Tại máy thu, các luong tín hi u sẽ được tách riêng ra roi ghép lại(MUX) với nhau Mô tả h thống:

Khu vực nằm giữa h thống là bộ tách tín hi u (MIMO-SDM) Dựa theo tính chất tuyếntính của phương pháp tách tín hi u, các bộ tách tín hi u được phân loại thành hai nhómlớn đó là các bộ tách tín hi u tuyến tính và các bộ tách tín hi u phi tuyến

3 Áp dụng

Phân tích QR được ứng dụng trong bộ tách tín hi u QRD

(Bộ tách tính hi u QRD)

VIII Kết quả chạy code

Một kênh MIMO gom N anten phát và M anten thu thường biểu diễn bởi một ma trận sốphức gom M hàng và N cột như sau:

Sử dụng phân tích QR bằng phép quay trong bộ tách tính hi u của MIMO

Phương trình mối liên h giữa các vecto trêny = Hs + n

Thực hi n phân tích QR cho kênh truyenH = QR

Thực hi n các phép toán ta được:

VIII Kết quả chạy code

⎪⎩ y 'N = RNN.sN+

n 'N

VIII Kết quả chạy code

với n': thành phần tạp âm Gauss độc lập Do R là một ma trận tam giác trên nên phần tử yi' chỉphụ thuộc vào phần tử dưới yj' với j > i Hay ta có thể biểu diễn phần tử dưới dạng y'inhư

VIII Kết quả chạy code

Từ các phương trình trên ta dễ dàng tách được tín hi u mong muốn từ thành phần y'N, do thànhphần của lớp cuối cùng y'N không chịu ảnh hưởng nhiễu từ các anten trước nên nó tách dầnđầu tiên Sau đó nó được thay thế vào để khử nhiễu cho các thành phần lớp trên nó Và nhưvậy ta tách lần lượt các tín hi u thu ở các anten tương ứng

II Áp dụng phân tích A = QR để giãi h phvơng trình tuyen tính Ax = b

Bước 1 Phân tích ma trận A = QR với Q là ma trận trực giao, R là ma trận tam giác trên.Bước 2 Đưa h Ax = b ve dạng Rx = QTb.

Bước 3 Giải h vừa tìm được và kết luận

VIII Kết quả chạy code

VIII Kết quả chạy code

VIII Kết quả chạy code

CHƯƠNG : K T LUẬN

I Đề tài

- Phương pháp sử dụng phép quay Givens để phân tích A = QR có hi u quả hơn ve tốc độtrong quá trình phân tích so với các phương pháp khác như (Quy trình Gram – Schmidt,Biến đoi Householder …)

- Tuy nhiên, phương pháp khiến cho người mới tiếp cận khá là bối rối bởi các phép quay vàthành lập ma trận Q

II Sinh viên

- Đã hiểu được ve cơ sở lý thuyết của phép quay Givens và vận dụng được phép quay trongcác ứng dụng của phép quay

- Đã hiểu và viết code cho thuật toán này trên MATLAB

- Tuy nhiên vẫn còn gặp khó khăn trong vi c tìm thêm những ứng dụng của phân tíchA=QR trong cuộc sống nói chung và toán học nói riêng

VIII Kết quả chạy code

TÀI LI U THAM KHẢO

[1] Giáo Trình Đại Số Tuyến Tính – Đặng Văn Vinh – NXB Đại Học Quốc Gia

[5] Jim Lambers, MAT 610, Summer Session 2009-10, Lecture 9

Noteshttps://www.math.usm.edu/lambers/mat610/sum10/lecture9.pdf

[6] MATLAB – Fuctions (MATLAB):

https://www.mathworks.com/help/matlab/referencelist.html?type=function&s_tid=CRUX_topnav

[7] Matlab Cơ Bản playlist by Hai Ta (Youtube):

https://youtube.com/playlist?list=PLQAX6xoa8poAohPSmYUaENE 3jW2k0uW

[8] A Givens Rotation-based QR Decomposition for MIMO Systems by Wen Fan andAmir Alimohammad -https://amir.sdsu.edu/Wen17A.pdf

[9] Design and VLSI Implementation of a Reduced-Complexity Sorted QR

Decomposition for High-Speed MIMO Systems by Lu Sun, Bin Wu 1, and Tianchun Ye

https://www.mdpi.com/2079-9292/9/10/1657

[10] A CORDIC based QR Decomposition Technique for MIMO Detection by ShirlyEdward A., Malarvizhi S - Department of Electronics and Communication Engineering,SRM University, India

https://www.academia.edu/43684334/A_CORDIC_based_QR_Decomposition_Technique_for_MIMO_Detection

[11] GABRIEL LUCA NAZAR: QR Decomposition Algorithms for MIMO Systems:Impact on Computational Effort and Hardware Implementations by Prof Dr Luigi Carro –UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/25601/000754629.pdf?sequence=1&isAllowed

= y

[12] Polynomial Matrix QR Decomposition and Iterative Decoding of Frequency

Selective MIMO Channels by Martin Davies, Sangarapillai Lambotharan Joanne Fosterand Jonathon Chambers (Loughborough University, UK); John McWhirter (Cardiff

University, UK)https://core.ac.uk/download/pdf/288386917.pdf

[13] Matrix Decomposition Algorithms for MIMO receivers: Flexibility vs EfficiencyTradeoffs in a Library-based Tool-Assisted SDR Development by Venkatesh Ramakrishnan,Tobias Veerkamp , Marc Adrat , Gerd Ascheid and Markus Antweiler

https://www.wirelessinnovation.org/assets/Proceedings/2011Europe/2011-europe-2a-VIII Kết quả chạy code

VIII Kết quả chạy code

[69] Các l nh cơ bãn đvợc sũ dụng trong bài toán

VIII Kết quả chạy code