Và ở đây tôi đã bị thu hút bởi nhiều định lý, mệnh đề hấp dẫn, chẳng hạn: Tổng trực tiếp của các R – mođun xạ ảnh là xạ ảnh.. Một câu hỏi bật ra một cách tự nhiên “ Phải chăng tích trực
Trang 1LỜI MỞ ĐẦU
Trong quá trình học môn đại số do giảng viên tiến sĩ Phan Văn Thiện giảng dạy, mođun xạ ảnh là một phần quan trọng của học phần này Và ở đây tôi đã bị thu
hút bởi nhiều định lý, mệnh đề hấp dẫn, chẳng hạn: Tổng trực tiếp của các R –
mođun xạ ảnh là xạ ảnh Một câu hỏi bật ra một cách tự nhiên “ Phải chăng tích trực tiếp của các R – mođun xạ ảnh cũng là xạ ảnh” Cùng với bài toán trên bài toán
thứ hai trong đề tài này liên quan mật thiết đến bổ đề đối ngẫu, một bổ đề khá mới
mẻ đối với bản thân
Thật may mắn tôi đã có cơ hội làm rõ điều này khi được T.S Phan Văn Thiện giao cho đề tài “ Môđun xạ ảnh và chứng minh hai bài toán liên quan”
Tiểu luận được chia thành hai phần:
Phần 1: TỔNG QUAN CÁC KHÁI NIỆM
Phần 2: BÀI TẬP
Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn sâu sắc đến T.S Phan Văn Thiện Chắc rằng đề tài vẫn còn nhiều vấp váp, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo thêm từ thầy
Huế, ngày 17 tháng 01 năm 2012
Học viên
DƯƠNG THỊ THU THUỶ
Trang 2
TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ
Tên đề tài:
CHỨNG MINH HAI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MÔĐUN
XẠ ẢNH
LỜI MỞ ĐẦU 1
Phần I: TỔNG QUAN CÁC KHÁI NIỆM 3
1 TỔNG TRỰC TIẾP – TÍCH TRỰC TIẾP 3
2 MÔĐUN XẠ ẢNH 4
Phần II: BÀI TẬP 6
1.BÀI TOÁN 1 6
2.BÀI TOÁN 2 8
TÀI LIỆU THAM KHẢO
10
Trang 3PHẦN I: TỔNG QUAN CÁC KHÁI NIỆM 1.TỔNG TRỰC TIẾP – TÍCH TRỰC TIẾP:
1.1 Tổng trực tiếp:
chiều cùng với 2 phép toán:
Khi đó M là một R – mođun và được gọi là tổng trực tiếp của các modun M1, M2, Mn,
Tổng quát, nếu là 1 họ với R – mođun chúng ta có thể giới thiệu tổng
trực tiếp như sau: vô hạn chiều, mi = 0 hầu khắp nơi với i ( nói cách khác chỉ có một số hữu hạn mi khác 0) Hơn nữa hai phép toán xác định trên tập này là:
Trang 41.2 Tích trực tiếp:
Trong định nghĩa trên, nếu không có giả thiết mi = 0 hầu khắp nơi với i thì chúng ta thu được khái niệm tổng trực tiếp ngoài mạnh có kí hiệu là Lúc này người ta gọi nó là tích trực tiếp của họ R – modun
Như vậy: Nếu tập I hữu hạn thì tổng trực tiếp ngoài đồng nhất với tích trực tiếp của
các mođun Mi , nói cách khác M1 M2 Mn=M1 M2 Mn
1.3 Hạng tử trực tiếp: Cho N là một môđun con của R – môđun M Môđun con N
được gọi là một hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại modun con P của M sao cho
M = N Khi đó P được gọi là mođun con phụ của N trong M.
2.MÔĐUN XẠ ẢNH
2.1 Định nghĩa:
R – mođun X được gọi là xạ ảnh nếu với mọi đồng cấu R – mođun f: X B
và mọi toàn cấu R – môđun g: A B thì có một đồng cấu R – môđun h: X A
2.2 Mệnh đề:
X
h
f
g g
Trang 5Tổng trực tiếp của các R – mođun xạ ảnh là xạ ảnh.
2.3 Mệnh đề:
Cho X là R – mođun các khẳng định sau là tương đương với nhau:
i) X là R – mođun xạ ảnh
ii) Mọi dãy khớp ngắn các đồng cấu R – môđun đều chẻ ra
iii) X đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môdun tự do
Thật vậy,
Xét 2 nhóm con của M:
,
Rõ ràng tổng của chúng là M Một phẩn tử của tập A có dạng:
( một phần tử của M)
Vì f(P) = 0 nên Do đó f(A) = 0
Tương tự, chúng ta có f(B) = 0
Vì vậy: f(M) = f(A) + f(B) = 0
Trang 6Ghi chú: Mệnh đề 2.2 không đúng trong trường hợp tích trực tiếp là vô
hạn( không là tổng trực tiếp) Một cách tổng quát, tích trực tiếp của các môđun xạ ảnh chưa chắc đã là xạ ảnh Điều này sẽ được làm rõ qua bài toán 1 trong phần 2 của
đề tài
PHẦN II: BÀI TẬP
Chứng minh:
Cách 1: Dựa trên kiến thức: Nhóm con của một nhóm aben tự do là nhóm
aben tự do
Đặt M =
xạ ảnh
Trang 7Giả sử rằng M là môđun xạ ảnh
Khi đó theo mệnh đề 2.3 M đẳng cấu trực tiếp với một hạng tử trực tiếp của một môdun tự do F tức là F
Vì F là một nhóm aben tự do nên M cũng là một nhóm aben tự do Do nhóm con của một nhóm aben tự do là nhóm aben tự do nên nếu ta chỉ ra được một nhóm con của M không phải là nhóm aben tự do thì đây sẽ là điều vô lí, từ đó bài toán được chứng minh
Thật vậy,
sao cho ai chia hết cho 2n (
*Chứng minh A là nhóm con của M:
+ A , M có phần tử đơn vị 0 = (0, 0, ,0, )(1)
+ (0, 0, , 0 ) nên A (2)
mọi luôn tồn tại m’ sao cho chia hết cho 2i ( :
, gọi p = max Khi đó với mọi luôn tồn tại p sao cho ai + chia hết cho 2i (
Trang 8+ thì a = trong đó với mọi luôn tồn tại m sao cho ai chia hết cho 2i ( ta có
Từ (1), (2), (3), (4) ta có A là nhóm con của M
Nhưng A không phải là nhóm aben tự do Điều này vô lý
Vậy M không là môđun xạ ảnh hay tích trực tiếp không là môđun xạ ảnh
Cách 2: Cách này dựa trên bổ đề 2.4
Đặt M =
Giả sử rằng M là môđun xạ ảnh
Ta có , trong đó F là một nhóm giao hoán tự do với cơ sở
Vì thể đếm được, nên có thể phân tích I thành một tập hợp tách rời nhau sao cho là đếm được và P được chứa trong ( có cơ sở
)
Chú ý rằng ( vì có thể đếm được còn M thì không)
Lấy một phép chiếu từ F vào với một thích hợp, chúng ta thu được một đồng cấu f: F với nhưng f(F1) = 0 Do vậy f(P) = 0( Mâu thuẫn với bổ đề 2.4)
Trang 9Vậy M không là môđun xạ ảnh hay tích trực tiếp không là môđun xạ ảnh
Chứng minh:
* Chiều thuận: Giả sử P là R – mođun xạ ảnh và là một R - toàn cấu, trong đó F là R – mođun tự do có cơ sở Theo mệnh đề 2.3 “Mọi dãy khớp ngắn các đồng cấu R – môđun đều chẻ ra” nên dãy khớp ngắn:
là chẻ ra
Do đó tồn tại R - đồng cấu f sao cho
Với mọi a thì luôn có một khai triển hữu hạn duy nhất:
, tức chỉ có hữu hạn phần tử sao cho Khi đó rõ
cho với hầu hết i
2 Bài toán 2: Chứng minh rằng R – mođun P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu tồn tại một
họ các phần tử của P và các hàm tuyến tính của sao cho với mọi a , với hầu hết i và
Trang 10* Chiều đảo:
Giả sử có các phần tử của P và các hàm tuyến tính của
sao cho với mọi a , với hầu hết i và
Xét tập hợp S = và một ánh xạ g xác định bởi
Cho F là một R – môđun tự do trên tập hợp S Khi đó theo tính phổ dụng của môđun tự do tồn tại R – đồng cấu mở rộng của g(
Bây giờ ta định nghĩa một ánh xạ f xác định bởi
Khi đó f hoàn toàn được xác định và là R – đồng cấu Ta suy ra, thì:
Tức là Ta có mệnh đề:
Cho dãy khớp ngắn các khẳng định sau là tương đương: i)Dãy khớp trên chẻ ra
Trang 11ii)g có nghịch đảo phải, tức là có đồng cấu k sao cho
Do đó dãy khớp ngắn: là chẻ ra Điều này nói lên rằng
P đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của môđun tự do F Theo mệnh đề 2 3 thì P là
R – mođun xạ ảnh Bài toán được chứng minh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 N T Lanh, Đại số( Giáo trình sau đại học), Nhà xuất bản giáo dục, 1985
2 S Lang, Đại số( T V Hạo, H Kỳ dịch), Nhà xuất bản ĐHTHCN, 1978
3 T Y Lam, Exercises in Modules and Rings, Springer, 2007
4 T Y Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer – Verlag, 1999
5 Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V.V Kirichenko, Algebras Rings and
modules, Nhà xuất bản Klwerv Acadeamic, 2004