tiểu luận đại số đại cương tác động của nhóm lên một tập hợp

Đại số là một trong những lĩnh vực rất quan trọng của Toán học. Trong quá trình nghiên cứu học phần đại số đại cương trong chương trình học đại học, em nhận thấy lý thuyết nhóm là một phần có thể gọi là nền tảng của đại số, tạo tiền đề để xây dựng một số cấu trúc trong đại số như vành, trường, môđun… Trong các nội dung đã được học em đã được giới thiệu về tác động của một nhóm lên một tập hợp và nhận thấy đây là phần khá mới có thể đi sâu vào nghiên cứu nên em quyết định chọn đề tài “Tác động của nhóm lên một tập hợp”.

nghiên cứu nên em quyết định chọn đề tài “Tác động của nhóm lên một tập hợp”

2 Mục đích nghiên cứu

Nhằm mục đích đi sâu vào nghiên cứu tác động của nhóm lên tập hợp và xây dựng một cách có hệ thống, trình bày lý thuyết cơ bản đến bài tập áp dụng bằng những kiến thức đã có kết hợp với tài liệu tham khảo

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình thực hiện đề tài này, em đã sử dụng những phương pháp nghiên cứu sau:

Tổng kết lại một số kiến thức đã được học

Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, tài liệu trên mạng

Tự nghiên cứu và có trao đổi với giáo viên hướng dẫn

4 Nội dung nghiên cứu

Nội dung gồm ba chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Tác động nhóm lên tập hợp

Chương 3: Bài tập áp dụng

NỘI DUNG Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Nhóm

1.1.1 Khái niệm nhóm và nhóm con

1.1.1.1 Định nghĩa Một nhóm là một cặp G,  trong đó G là một tập hợp không rỗng và là một luật hợp thành trên G, thỏa mãn ba điều kiện sau đây:

1.1.1.4 Định lý Cho H là tập con khác rỗng của nhóm G với phép toán nhân

Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

i) H là nhóm con của G

ii) Với mọi x y, Hta có xyH và x1H

iii) Với mọi x y, H, ta có 1

1.1.2 Nhóm con chuẩn tắc

1.1.2.1 Định nghĩa Nhóm con H của G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G

nếu với mọi gG thì gH = Hg, kí hiệu H G Trong đó gH và Hg lần lượt là lớp ghép phải và lớp ghép trái của phần tử g  G đối với nhóm con H

1.1.2.2 Định lý Một nhóm con H của nhóm G được gọi là nhóm con chuẩn

tắc của nhóm G nếu và chỉ nếu với mọi gG , với mọi h thì H 1

kí hiệu G Ngược lại ta nói G có cấp vô hạn

Cấp của <g> được gọi là cấp phần tử g kí hiệu là |g|

Nếu g   thì ta nói g có cấp hữu hạn, ngược lại ta nói g có cấp vô hạn

b Định lý đẳng cấu thứ nhất Cho G là nhóm, H là nhóm con của G và K là

nhóm con chuẩn tắc của G Khi đó HK K  H H  K

c Định lý đẳng cấu thứ hai Giả sử H và K là các nhóm con chuẩn tắc của

nhóm G sao cho H  K Khi đó  

/ H

/ H

X X

1.2.1.2 Định lý Lagrange

Giả sử H là nhóm con của nhóm hữu hạn G, thì cấp (số phần tử)

của G chia hết cho cấp của H

1.2.1.3 Định lý Cayley Mọi nhóm hữu hạn G cấp n đều đẳng cấu với một

nhóm con nào đó của nhóm S n

Nhắc lại rằng với mỗi tập X, tập S X  các song ánh từ X đến X với phép

hợp thành các ánh xạ là một nhóm Nhóm S X  được gọi là nhóm đối xứng của X hay nhóm các phép thế của X Khi X có n phần tử thì nhóm đối xứng của

X được kí hiệu bởi S n Chú ý là cấp của S n là n! Và mỗi phần tử của S n có thể đồng nhất với một song ánh từ tập 1, 2, , n đến chính nó Với sS n nếu

  i

s i a với mọi i  1, , n thì ta viết

1 2

1 2

n

n s

Cho G là nhóm, gọi S G  là nhóm đối xứng của G

Với mỗi X , kí hiệu G g x là ánh xạ từ G đến G xác định bởi

Phần tiếp theo trình bày tính chất của nhóm đối xứng S n

1.2.2.2 Định nghĩa Phép thế sS n được gọi là chu trình độ dài k (hay một xích độ dài k) nếu có các số a1, ,a k1, 2, ,n sao cho

 1 2, ,  k 1 k,  k 1

s a a s a  a s a a và s a a với mọi aa1, ,a k Khi đó

ta viết sa a1, 2, ,a k Tập a1, ,a kđược gọi là tập nền của xích s Hai xích

, ' Sn

Ta kí hiệu ánh xạ đồng nhất là e và quy ước e là xích có độ dài 1 với tập

nền gồm đúng một phần tử tùy ý

1.2.2.3 Định lý Mỗi phép thế  đều viết được thành tích những xích độc lập

Chứng minh (quy nạp theo n) Rõ ràng định lý đúng khi n = 1 Cho n > 1 và n

sS Trường hợp s e là hiển nhiên Cho s e Gọi a1 là số bé nhất sao cho

X  n a a Vì s là song ánh nên s a X với mọi a Vì thế X

ánh xạ :r X  xác định bởi X r a   s a là một phép thế của X Khi đó, theo

giả thiết quy nạp, r r r1 t, trong đó r iS X  là các xích độc lập Với mỗi

1, ,

i  t, kí hiệu s iS n xác định bởi s a i r a i với mọi a và X s a i a

với mọi a và X s a i a với mọi a Khi đó các xích X s s0, , ,1 s tlà độc lập và ss s0 1 s t

1.2.2.4 Chú ý Cho sS n Giả sử s s1 s t là sự phân tích của s thành tích

những xích độc lập Nếu ta yêu cầu sự phân tích này có tính chất a1 a2   a t, trong đó a i là phần tử bé nhất trong tập nền của s i với mọi i = 1, ,t thì rõ ràng

sự phân tích như thế của s là duy nhất nếu không kể đến các nhân tử là các xích

1.2.2.6 Ví dụ Trong nhóm đối xứng S8, ta có

   

12345678

125 36 47 25671348

Nhận xét rằng, trong nhóm đối xứng S n , mỗi xích độ dài k đều có cấp là k

Vì thế ta có kết quả sau đây

1.2.2.7 Hệ quả Cho sS n Giả sử s s1 s t là biểu diễn của s thành tích những xích độc lập Khi đó cấp của s là bội chung nhỏ nhất của các độ dài của các xích s1, , s t

1.2.2.8 Định nghĩa Mỗi xích độ dài 2 trong nhóm đối xứng S n được gọi là một

chuyển trí hay phép đối xứng sơ cấp

1.2.2.9 Mệnh đề Mỗi phép thế sS n đều là tích của những chuyển trí Vì thế

n

S được sinh bởi các chuyển trí của nó

Chứng minh Theo định lý 1.2.2.3, mỗi phép thế trong S n đều là tích của những vong xích độc lập Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng mỗi xích trong S n là tích những chuyển trí Giả sử a a1, 2, ,a kS nlà một xích Khi đó ta có sự phân tích

sao cho 1 i  j n , thừa số j – i phải xuất hiện đúng một lần trong tích n Vì

s là song ánh nên tồn tại duy nhất một cặp k t, 1, 2, ,n sao cho

  ,  

s k i s t  j Do đó j i s t   s k nếu t > k và j i    s k s t

nếu k > t Vì thế chỉ có một trong 2 thừa số j – i hoặc – (j – i) xuất hiện đúng một

lần trong tích s  n Suy ra sgn s 1 hoặc sgn s  1

1.2.2.10 Định nghĩa Nếu sgn s 1 thì s được gọi là phép thế chẵn Nếu

 

sgn s  1 thì s được gọi là phép thế lẻ Ta gọi sgn s  là dấu của s

1.2.2.11 Bổ đề Xét nhóm {1,- 1} với phép nhân thông thường Khi đó ánh xạ

 

:S n 1, 1

   xác định bởi  s sgn s là một đồng cấu nhóm

1.2.2.12 Mệnh đề Cho n 2 Khi đó nhóm thay phiên A n là nhóm con chuẩn tắc của S n với chỉ số 2 và cấp !/ 2n

Chứng minh Rõ ràng A n  A e n là một lớp ghép trái của A n Lấy sS n là một phép thế lẻ (chẳng hạn s  12 ) Ta chứng minh lớp ghép A s n là tập các phép thế lẻ Cho xsA s n , trong đó xA n Theo bổ đề 1.2.2.11,

sgn s   Do đó 1  1   

sgn xs  1   , tức là 1 1 1

n

xs A Suy ra  1

là nghịch thế thì s j   s i bằng thừa số tương ứng trong n Vì thế s là phép thế chẵn (lẻ) nếu s là chẵn (lẻ)

Theo định lý 1.2.2.3, mỗi phép thế là tích của những xích độc lập Vì thế việc kiểm tra tính chẵn, lẻ của các xích là điều cần thiết

1.2.2.14 Mệnh đề Cho sa a1, 2, , akS n là một xích độ dài k Nếu k là số

lẻ (chẵn) thì s là phép thế chẵn (lẻ)

Chứng minh Chú ý rằng sa a1, 2a a2, 3  a k1,a k Do đo s là tích của k – 1

phép chuyển trí Ta chứng minh mỗi chuyển trí là một phép thế lẻ Giả sử

 , n

r  a b S là một chuyển trí Cho i j, 1, 2, ,n i,  j Nếu i và a j b

thì i j , không là nghịch thế của r Do đó nghịch thế của r hoặc là , a a với t

Ta có s 1, 2,5 3, 6 4, 7   Theo mệnh đề 1.2.2.14, 1, 2,5là phép thế chẵn  3, 6 và  4, 7 là các phép thế lẻ Do đó, theo bổ đề 1.2.2.11,

     

sgn s  1 1  1 1 Vì thế s là phép thế chẵn

Chương 2 TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM LÊN TẬP HỢP

2.1 Cái khái niệm và mệnh đề cơ bản

ii) *e x  với x X e   , e là đơn vị của G

Hoàn toàn tương tự, chúng ta có khái niệm tác động phải Khi có một tác động trái từ G lên X thì ta nói X là một G-tập, và ảnh của phần tử

g x,  G X qua tác động này được kí hiệu là g*x Từ nay trở đi chúng ta chỉ xét tác động trái, và để thuận tiện ta gọi chúng là các tác động

Xác định một tác động của nhóm G lên tập X và ta gọi là tác động tầm thường

iii) Cho G là một nhóm Với g a, G Khi đó ánh xạ

2.1.3 Chú ý Trong định lý 1.2.2.1 của Cayley, nhóm G tác động lên chính nó

theo nghĩa mỗi x G , có một ánh xạ g x :G cho ứng phần tử xy Chú ý G

rằng g là một phép thế của G và ánh xạ cho ứng x với phép thế x g là một đơn x

cấu từ G đến nhóm đối xứng S(G)

Cũng giống như định lý Cayley, cho * là tác động của nhóm G lên tập X nào đó với mọi gG, ánh xạ liên kết của g vẫn là một phép thế của X Hơn nữa ánh xạ cho ứng g với ánh xạ liên kết của g là đồng cấu từ G đến nhóm đối xứng của X, tuy nhiên nó không nhất thiết là đơn cấu Hạt nhân tác ddonhj này

là hạt nhân của đồng cấu nhóm từ G đến nhóm đối xứng X ( ứng với tác động đó)

Như chúng ta vừa thấy, mỗi tác động của nhóm G lên tập X cho ta một đồng cấu từ G đến nhóm các phép thế của X Mệnh đề sau đây chỉ ra điều ngược lại cũng đúng

2.1.4 Mệnh đề Cho X là một tập hợp và S là nhóm đối xứng của X Giả sử X

Với mọi g g1, 2G x,  Vì X  là đồng cấu nên

gAg  gag aA Khi đó 1

gAg là nhóm con của G

Chứng minh Ta có e geg1gAg1 Vì thế gAg1 

Cho gag1,gbg1gAg1 Ta có

Vì thế 1

gAg là nhóm con của G

Cho a là nhóm con của một nhóm G Nhóm con B của G được gọi là liên hợp với A nếu tồn tại gG sao cho BgAg1

ii) Cho A là một nhóm con của nhóm G Nếu B liên hợp với A và C liên hợp với B thì C liên hợp với A

Chứng minh Theo giả thiết, tồn tại g g1, 2  để G 1

2.1.6 Ví dụ Cho G là nhóm và A là nhóm con của G Kí hiệu X là tập các

nhóm con của G liên hợp với A Khi đó G tác động lên X bằng cách liên hợp như sau: Với gG B, X , đặt 1

i) Giả sử Gxgx g| G Khi đó Gx là bộ phận của X Khi đó ta gọi

Gx là quỹ đạo của x trong X

ii) Giả sử Gxgx gx| xlà một nhóm con của G với g Khi đó Gx G

được gọi là nhóm đẳng hướng của phần tử x trong G

2.2.4 Ví dụ

i) Xét tác động chính quy của G lên chính nó: g*a = ga, với mọig a, G

Với a , kí hiệu Ga là quỹ đạo của a Với mỗi G gG ta có  1

Ga a G  gag gG Nhóm con đẳng hướng ứng với a là

H  Với H X X  , quỹ đạo của H là  1 

|

gHg xG tập các nhóm con liên hợp với H; nhóm con đẳng hướng của H là G a gG| gHHg 

2.2.5 Mệnh đề Cho tác động của nhóm G lên tập X Các phát biểu sau đây là

iii) GxGyhoặc GxGy  với mọi x y, X

Chứng minh (i), (ii) Vì xexGx nên Gx   với mọi x X

Mệnh đề chỉ ra rằng tập các quỹ đạo trong X là một phép nhân hoạch trên X

2.2.6 Định lý Cho tác động của nhóm G lên tập X và x X Kí hiệu G G/ x là tập các lớp ghép traiscuar nhóm con đẳng hướng G x Khi đó tương ứng

: / x

một tập hữu hạn Khi đó chỉ số của G x chính là số phần tử của quỹ đạo Gx Hơn nữa, nếu Gx1, , Gxtlà các quỹ đạo đôi một rời nhau trong X thì

1 1

Do đó g G1 x g G2 x Vì thế f là đơn ánh Suy ra f là song ánh Giả sử X là

tập hữu hạn Khi đó quỹ đạo Gx là tập hữu hạn với mọi x Do f là song ánh X

nên G G: xC d Gxar   với mọi x Vì thế công thức (i) được chứng minh X

Công thức (i) được gọi là công thức các lớp

2.2.7 Chú ý Giả sử G là nhóm hữu hạn và X là một G-tập Với x , theo X

định lý 2.2.6, số phần tử của quỹ đạo Gx bằng chỉ số của nhóm con đẳng hướng

Chứng minh Kí hiệu X là tập các lớp ghép trái của K trong G Xét tác động của

nhóm H lên tập S bằng phép nhân: h* aK haKvới mọi h H aK  ,  X

Nhóm con đẳng hướng ứng với eK X là

2.3.1.1 Định nghĩa Cho * là tác động của nhóm G lên tập X Tác động * được

gọi là tác động trung thành nếu  x X g x, *  x thì g = 1

Dễ dàng chứng minh được * là một tác động của N lên X Khi đó

Với f N sao cho  x X f x,  x thì f = (1)

Vậy * là một tác động bắc cầu của N lên tập X

ii) Cho H là nhóm con của nhóm G, khi đó ánh xạ

2.3.2.1 Định nghĩa Cho * là tác động của nhóm G lên tập X Khi đó tác động

của G lên X được gọi là tác động bắc cầu nếu với mọi x y, X thì tồn tại phần

i jX thì luôn tồn tại f  sao cho f(i) = j Hay X là một S n S -tập n

ii) Cho H là nhóm con của G, khi đó G tác động bắc cầu lên G/H Thật vậy: Xét ánh xạ: * : G G H / G H/

g xH,  g xH*  gxH

Ta chứng minh được * là tác động của G lên G/H

Với xH x H, ’ G H/ , với x x, ’Gthì tồn tại 1

iv) Đặt G là nhóm các phép quay đối với hình lập phương Gọi X là tập hợp tất cả các đỉnh, Y là tập hợp tất cả các cạnh, Z là tập hợp tất cả các mặt của hình lập phương Khi đó ta cũng chứng minh được X, Y, Z là các G- tập

2.3.3 Tác động nguyên thủy

2.3.3.1 Định nghĩa Cho X  , ,{x1 x2 , x n} Khi đó ta gọi 1  {X i}, với

{ }

X  x và 2  X là 2 phân hoạch tầm thường của X

2.3.3.2 Định nghĩa Cho tác động của nhóm G lên tập X Đặt  là một phân hoạch của X Khi đó ta nói  ổn định bởi G( G ổn định  ) nếu:

Với mọi A  g A*  , với mọi gG

2.3.3.3 Định nghĩa Tác động của nhóm G lên tập X được gọi là tác động

nguyên thủy nếu G chỉ ổn định 2 phân hoạch tầm thường  và 1  của X 2

2.3.3.4 Mệnh đề Cho tác động của nhóm G lên tập X Khi đó tác động của G

lên tập X không phải là tác động nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại một tập con

A thật sự của X chứa ít nhất 2 phần tử sao cho:

Với mỗi gGthì g A*  Ahoặc g A*  A  (i) ()Xét phân hoạch  sao cho   1và 2, A Khi đó  ổn định bởi G nên g A*  A g, G Suy ra g A*  Ahoặc g* A A 

()Giả sử g A*  Ahoặc g A*  A , với gG Khi đó ta có thể xây dựng một phân họach của X như sau  {A g, 1* , A g2* , A g3* ,A}

Dễ thấy  không phải là phân hoạch tầm thường, hơn nữa  ổn định bởi

G nên theo định nghĩa thì tác động của G lên tập X không phải là tác động nguyên thủy Suy ra điều phải chứng minh

2.3.3.5 Mệnh đề Cho tác động bắc cầu của nhóm G lên tập X Tập A là X

tập hợp thỏa (i) và A 2,A X. Khi đó, với mọi x thì A

Từ định lý Lagrange nếu H  G hữu hạn thì G H là ước của G

2.4.1 Định nghĩa Giả sử p là một số nguyên tố

Nhóm H được gọi là p- nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p

Nhóm H được gọi là p- nhóm con của G nếu H G , H là p- nhóm

Nhóm H được gọi là p- nhóm con Sylow của G nếu H là p- nhóm con của

G và H  p nlà lũy thừa cao nhất của p chia hết cho G

2.4.2 Ví dụ

i) Nếu p là số nguyên tố thì nhóm cộng Z k p là một p- nhóm,   k

Trong nhóm cấp 100, các nhóm con cấp 5 và cấp 25 là các 5- nhóm con Trong

đó các nhóm con cấp 25 là các 5- nhóm con Sylow

ii) Cho G là nhóm cấp 35, gọi P và Q lần lược là 7- nhóm con Sylow và 5- nhóm con Sylow của G, khi đó P, Q có cấp lần lượt là 7 và 5

2.4.3 Định lý Giả sử G là nhóm hữu hạn, p là số nguyên tố chia hết G Khi đó tồn tại p- nhóm con Sylow của G

2.4.4 Bổ đề Giả sử G là nhóm aben hữu hạn cấp m và p là số nguyên tố chia

hết m Khi đó G chứa 1 nhóm con cấp p

2.4.5 Định lý Sylow Cho p là số nguyên tố, G là nhóm hữu hạn và |G| = pnm,

với (m,p) = 1 Khi đó:

i) Với mọi 1  thì tồn tại trong G một p- nhóm con cấpk n k

p Nói riêng tồn tại trong G các p- nhóm con Sylow

ii) Mọi p- nhóm con H của G đều nằm trong một p- nhóm con Sylow nào đó

iii) Tất cả các p- nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau

iv) Nếu r là số các p- nhóm con Sylow của G thì 1 mod\ 