Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số C.. Tìm số thực k sao cho có hai tiếp tuyến phân biệt cùng hệ số góc k tiếp xúc với C và đường thẳng đi qua hai tiếp điểm cắt trục hoành tại điểm A, cắt trục
Trang 1KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ I
ĐỀ THI MÔN: TOÁN – Khối A+AB
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 01 trang
Câu I Cho hàm số y 2x 3x2 4x 1 (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Tìm số thực k sao cho có hai tiếp tuyến phân biệt cùng hệ số góc k tiếp xúc với (C) và đường thẳng đi qua hai tiếp điểm cắt trục hoành tại điểm A, cắt trục tung tại điểm B sao cho OB = 2012.OA
Câu II
1 Giải phương trình 1 x 4x 6 7
2
2 Giải hệ phương trình 3x y 5x 4y 5
12 5x 4y x 2y 35
Câu III
1 Giải phương trình 2 2 cot x cos 2x cos x 1
1 tan x sin x
2 Nhận dạng tam giác ABC biết: cos(B C) 2bc2
a
(Trong đó A, B, C là ba góc; a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB)
Câu IV
1 Cho hai đường tròn 2 2
1
(C ) : (x 1) (y 2) và 4 2 2
2
(C ) : (x 2) (y 3) 2 cắt nhau tại điểm A(1; 4) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt lại (C1), (C2) lần lượt tại M và N sao cho: MA = 2.NA;
2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, ABC 60 0, tam giác SAB đều Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mp(ABC) là một điểm nằm trên đường thẳng AH
a Tính thể tích khối chóp S.ABC
b Tính góc giữa hai mặt phẳng mp(SAC) và mp(ABC)
Câu V Cho hai số thực x, y thoả mãn 2 x y 32
x y xy 4
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x, y) x y xy 2 2 2xy
Hết
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
GV Luong Viet Hai - THPT Tuy Phong (suu tam)
Trang 2Họ và tên thí sinh :………….……… … …….SBD:………
ĐÁP ÁN THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I – KHỐI A+AB
I.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y 2x 3 x2 4x 1 (C) 1.00
1- TXĐ : R
2.SBT - Giới hạn:
y' 6x 2x 4 (x 1)(6x 4); y' 0 x 1;x
3
- BBT
Hàm số đb trên khoảng ( ; 1)
và 2
( ; ),
3 nb trên 2
( 1; )
3
Hàm số đạt cực đại tại x = -1 ;
giá trị cực đại là f(-1) = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2/3 ;
giá trị cực tiểu là f(2/3) = - 17/27
3 Đồ thị Điểm uốn 1 91
I( ; )
6 54
làm tâm đối xứng
- Đồ thị cắt Oy tại (0 ; 1), Cắt Ox tại (1 ; 0); 3 17
4
; đi qua (-2 ; -7)
0.25
0.25
0.25
0.25
I.2 Tìm số thực k sao cho có hai tiếp tuyến cùng hệ số góc k… 1.00
- Hoành độ hai tiếp điểm là nghiệm pt f '(x) k
- Có 2 tiếp tuyến (*) có 2 nghiệm p/b ' 1 6(4 k) 0 k 25.(**)
6
- Có :f (x) f '(x)( x1 1) 37x 1
Giả sử M(x ; y) là tiếp điểm thì f '(x) k và
y f (x) k( x1 1) 37x 1 3k 37 x k 18
Vậy pt đ/ thẳng qua hai tiếp điểm là : y 3k 37 x k 18 ; (d)
- Khi đó tọa độ giao điểm A k 18 ;0 , B 0;k 18 ; 37 3k 0
0.25
0.25
0.25
27 4
_
+
2 3
- 1
y y' x
8
6
4
2
-2
-4
-6
Trang 3- Đk: OB 2012.OA k 18 2012 k 18 (**)| 37 3k | 18108
k 18145; k 18071
Vậy có hai giá trị k thoả mãn 18145; 18071
0.25
II.1
Giải phương trình: 1 x 4x 6 7
2
Đặt 1 x u; 4x 6 v; u,v 0 Ta được hệ : 2(u v) 72 2 (1)
4(1 u ) v 6 (2)
(1)u 7 v
2
v 3 7
5
- Với v 3;u 1 4x 6 3 x 3
- Với v 13;u 9 (tm) 4x 6 13 x 19
Vậy pt có2 nghiệm x = ¾ ; x = 19/100
0.25
0.25 0.25
0.25 II.2
Giải hệ phương trình: 3x y 5x 4y 5
12 5x 4y x 2y 35
- Đk: 3x y 0;5x 4y 0.
u 3x y; v 5x 4y x 2y 2(3x y) (5x 4y) 2u v
2
u 5 v
v 8v 15 0
v 3;u 2
v 5;u 0
TH1 v 3 5x 4y 9 x 1
TH2
25 x
y 7
Vậy hệ có 2 nghiệm (1 ;1) ;(-25/7 ; 75/7)
0.25
0.25 0.25
0.25 III.1
Giải phương trình : 2 2 cot x cos 2x cos x 1 (1)
1.00
- Đk : sin x 0;cos x 0 x k , k Z.
2
2 cos x cos 2x
sin x sin x
2
2cos x sin x cos x cos 2x cos x sin x sin x
(2cos x sin x sin x) (cos x sin x cos x) cos 2x 02
(2cos x 1)sin x cos x(1 sinx) (2cos x 1) 0
(2cos x 1)(sin x 1) cos x(1 sin x) 02
0.25 0.25
Trang 4(sin x 1)(2cos x cos x 1) 0
(sin x 1)(cos x 1)(2cos x 1) 0
2cos x 1 0 cos x 1 x 2 k2 ,k Z (t / m)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x 2 k2 , k Z
3
0.25
0.25 III.2
Nhận dạng tam giác ABC biết 2bc2
cos(B C) (*)
a
- Áp dụng định lý Sin trong tam giác
(*) cos(B C) 2sin B.sin C2 2sin A cos(B C) 4sin Bsin C
2sin(B C) cos(B C) 4sin Bsin C sin 2B sin 2C 4sin Bsin C
sin Bsin C sin Bsin C
sin B(cos B sin C) sin C(cosC sin B) 0
sin B(sin Acos B sin(A B)) sin C(sin AcosC sin(A C)) 0
sin Bsin Bcos A sin Csin Ccos A 0
(sin B sin C)cos A 0 cos A 0 A 90
Vậy ABC vuông tại A
0.25
0.25
0.25 0.25 IV.1 2 2
1 (C ) : (x 1) (y 2) ; 4 2 2
2 (C ) : (x 2) (y 3) ; A(1;4) 2 1.00
- Giả sử MN có dạng : a(x 1) b(y 4) 0; a 2 b2 0. ( Do MN đi qua A)
- Gọi H1, H2 lần lượt là trung điểm AM, AN
R d (O ,(d)) 4[R d (O ,(d))]
2
2
a 2ab
TH1 b 1,a 0 (d) : x 1 0
TH2 b 2a 0. Chọn a = 1 ; b = -2 ta được (d) : x – 2y + 7 = 0
Vậy có hai đường thoả mãn : x – 1 = 0 và x – 2y + 7 = 0
0.25
0.25 0.25 0.25 IV.2a Tính thể tích khối chóp S.ABC 1.00
- Gọi O là hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC) ; O thuộc AH
- Tam giác ABC có : AB = a ; BC = 2a ; AC 2 3
- Tam giác ABH có ABH 60 0BAH 30 0 ;
- AO và BO lần lượt là hình chiếu vuông góc của SA, SB
trên mp(ABC), mà SA = SB OA = OB
AOB cân tại O ABO 30 0OBH 30 0
0.25
0.25
C 2
C 1
(d)
R2
R1
M
N A
O1
O2
H2
H1
a a
30 0
2a a
a 3
a
S
H O M
Trang 5- Tam giác BHO có : 0 a
OH BH.tan 30 ;
2 3
OA OB 2OH a
3
( Suy ra O nằm giữa A và H)
3 S.ABC
0.25 0.25
IV.2b Tính góc giữa hai mặt phẳng mp(SAC) và mp(ABC) 1.00
- Hạ OM AC = M (1) ; do AC SO , suy ra AC mp(SOM) AC SM (2)
Từ (1), (2) góc giữa hai mp(SAC) và mp(ABC) chính là góc giữa SM và MO
Tam giác SMO vuông tại O SMO
Vậy :
2 a
a
2
0.25 0.25 0.25
0.25
V Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x, y) x y xy 2 2 2xy. 1.00
- Đặt x y 3 a,a 0 Khi đó có hệ :
2
x y 3 a
x, y là nghiệm của phương trình :
2
3
- Điều kiện để có x, y là phương trình (*) phải có hai nghiệm
a 0
a 0
7 a 0 4
3
- Khi đó :
(a 6a 5)(a 1) a 7a 11a 5
f '(a) (3a 14a 11); f '(a) 0 a 1;a ;
- BBT
f ( 7) 24;
3 81
f (0)
3
0.25
0.25
0.25
-24
5 3 0
256 81
+ _
0 -1
- 11 3 -7
f(a) f'(a) a
Trang 6Vậy :
a [ 7;0]
2
x y
32
xy
27
max
0.25
(Học sinh làm cách khác đúng được điểm tối đa)
