PHẦN nội DUNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU =    = : PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, THÔNG QUA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TR

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU

=    =

: PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO

HỌC SINH BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, THÔNG QUA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CÓ

CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1.2.1 Thự t ễn về dạy họ tính đơn đ ệu hàm số 5

1.2.2 Thự t ễn về khả năn tƣ duy hàm ủa họ

sinh

8

II TƢ DUY HÀM TRONG BÀI TOÁN XÉT

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

 ( )

y f u x KHI BIẾT TÍNH ĐƠN ĐIỆU

CỦA HÀM SỐ y f x( )

9

2.2 Hàm số y f x( ) cho bởi công thứ đạo

hàm

10

2.3 Hàm số y f x( ) cho bởi bảng biến thiên 12

2.5 Áp dụng giải bài toán về cực trị, giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa

giá trị tuyệt đối

19

III PHÁT TRIỂN TƢ DUY HÀM THÔNG

QUA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH

ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN

NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM

23

TÀI:

PHÁT TRIỂN TƢ DUY HÀM CHO HỌC SINH BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, THÔNG QUA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM

SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

- Cần thiết phải trang bị cho học sinh đầy đủ kiến thức nền, rèn luyện kỷ năng giải toán Phát triển tư duy hàm, làm rõ mối liên hệ giữa các yếu tố trong hàm

số, nâng cao năng lực tư duy cho học sinh, góp phần giúp học sinh khắc phục được khó khăn khi giải toán

II ĐỐI TƢ NG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Học sinh lớp 12 (Chú trọng học sinh khá giỏi)

- Học sinh ôn thi ại học, ôn thi học sinh giỏi

- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT

PHẦN NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1.1 Kh n ệm tƣ duy hàm

Tư duy hàm là các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần

tử của một, hai, hay nhiều tập hợp, phản ánh các mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập hợp đó trong sự vận động của chúng

Hoạt động tư duy hàm là những hoạt động trí tuệ liên quan đến sự diễn đạt sự vật, hiện tượng cùng những quy luật của chúng trong trạng thái biến đổi sinh động của chúng chứ không phải ở trạng thái tĩnh tại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải cô lập, tách rời nhau

C hoạt độn đặ trƣn ủa tƣ duy hàm

Tư duy hàm là một phương thức tư duy được biểu thị bởi việc tiến hành các hoạt động đặc trưng sau:

- Hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng

Hoạt động phát hiện: Là khả năng nhận ra những mối liên hệ tương ứng tồn tại khách quan

Hoạt động thiết lập sự tương ứng: Là khả năng tạo ra những sự tương ứng theo quy định chủ quan của mình nhằm tạo sự thuận lợi cho mục đích nào đó

- Hoạt động nghiên cứu sự tương ứng

Hoạt động này nhằm phát hiện những tính chất của những mối liên hệ nào đó bao gồm nhiều phương diện khác nhau nhưng có thể cụ thể hoá thành ba tình huống sau:

Tình huống 1 Xác định giá trị ra khi biết giá trị vào; xác định giá trị vào khi biết giá trị ra; nhận biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (trong các trường hợp có thể) khi cho biết các cặp phần tử tương ứng của mối liên hệ đó (hay khi cho cặp giá trị vào và giá trị ra); nhận biết tính đơn trị của sự tương ứng

Tình huống 2 ánh giá sự biến thiên mong muốn của giá trị ra khi thay đổi giá trị vào; thực hiện một sự biến thiên mong muốn đối với giá ra bằng cách thay đổi giá trị vào; dự đoán sự phụ thuộc

Tình huống 3 Phát triển và nghiên cứu những bất biến; những trường hợp đặc biệt và những trường hợp suy biến

Ba loại hoạt động này gắn bó chặt chẽ với nhau, hoạt động trước là tiền đề cho hoạt động sau và hoạt động sau là mục đích, cơ sở hình thành hoạt động trước

1.1.2 Sự đ ng biến nghịch biến, cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Định n hĩa Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số

- Hàm số y f x( )gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng K nếu với mọi

cặp x x1, 2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f x( )1 lớn hơn f x( 2), tức là

x1 x2  f x( )1  f x( 2)

Định lí 1: Cho hàm số y f x( )có đạo hàm trên K

- Nếu '( )f x 0với mọi x thuộc K thì hàm số ( ) f x đồng biến trên K

- Nếu f x'( )0với mọi x thuộc K thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K

Định lí 2: Cho hàm số y f x( )có đạo hàm trên K

- Nếu f x'( )  0, x K và f x'( )0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số

f x đạt cực đại tại x 0

- Nếu  h R h, 0 : ( )f x  f x( 0), x x0h x; 0hvà xx0thì ta nói hàm số

( )

f x đạt cực tiểu tại x 0

Định lí 1: Giả sử hàm số y f x( )liên tục trên khoảng Kx0 h x; 0 hvà có

đạo hàm trên K hoặc trên K \ x , với h0

- Nếu f x'( )0trên khoảng x0 h x; 0và f x'( )0trên khoảng x x0; 0 hthì

0

x là một điểm cực tiểu của hàm số ( )f x

Định lí 2: Giả sử hàm số y f x( )có đạo hàm cấp 2 trong khoảng

x0 h x; 0 h, với h0 Khi đó:

- Nếu f' x0 0, ''(f x0)0 thì x0là điểm cực tiểu

- Nếu f' x0 0, ''(f x0)0 thì x0là điểm cực đại

c) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

+ Phần 1: Là phần của ( )C với hoành độ x0

+ Phần 2: ối xứng với phần 1 qua trục tung

- ồ thị của hàm số y f x( ) gồm hai phần

+ Phần 1: Là phần của ( )C với tung độ y0

+ Phần 2: ối xứng với phần của ( )C với tung độ y0 qua trục hoành

1.2 CƠ SỞ HỰC ỄN

1.2.1 Thự t ễn về dạy họ tính đơn đ ệu hàm số

Trong thực tế chúng ta thường gặp các bài toán dạng: Cho hàm số y f x( ),tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm sốy f u x ( ) Học sinh thường dùng phương pháp thế hoặc biến đổi đồ thị để gải dạng toán này.

1) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số ( )g x  f x( 2)

2) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số h x( ) f x 

3) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số k x( ) f x 

ài gi i

Dùng phương pháp biến đổi đồ thị

1) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số ( )g x  f x( 2)

Từ bảng biến thiên hàm số y f x( ) ta có bảng biến thiên hàm số ( ) ( 2)

Hàm số ( )h x đồng biến trên các khoảng 1;0 , 1;

Phân tích: Theo cách giải này, chúng ta sử dụng một số phép biến đổi đồ thị

quen thuộc: Từ đồ thị hàm số y f x( ) suy ra đồ thị các hàm số

1.2.2 Thự t ễn về khả năn tƣ duy hàm ủa họ s nh

- Hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng:

+ ối với hàm số y f x học sinh phát hiện và thiết lập sự tương ứng về sự

biến thiên của x và y

+ ối với hàm số y f u x ( )học sinh phát hiện và thiết lập sự tương ứng về sự

biến thiên trực tiếp của x và y , ít thông qua biến trung gian ( ) u x

- Hoạt động nghiên cứu sự tương ứng:

+ ối với hàm số y f x học sinh nghiên cứu sự tương ứng về sự biến thiên

của x và y bằng cách sử dụng định lý 1, định lí 2 về sự đồng biến, nghịch biến

của hàm số

+ ối với hàm số y f u x ( )học sinh nghiên cứu sự tương ứng về sự biến thiên

trực tiếp của x và y bằng cách sử dụng định lý 1, định lí 2 về sự đồng biến,

nghịch biến của hàm số, ít thông qua biến trung gian ( )u x

- Hoạt động lợi dụng sự tương ứng

Việc lợi dụng việc khảo sát sự biến thiên của hàm số để tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Học sinh giải quyết khá tốt với những hàm

số đơn giản; nhưng gặp khó với những hàm số phức tạp, các bài toán biện luận chứa tham số do lối tư duy “công thức” mà ít nhìn nhận sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng, không thiết lập và nghiên cứu sự tương ứng giữa các đối tượng trong hàm số

Như vậy khi nghiên cứu sự tương ứng về sự biến thiên của đối số và hàm số,

đa phần học sinh quen với việc sử dụng công thức, kết luận hàm số đồng biến hay nghịch biến iều này chỉ thuận lợi khi hàm số cho bởi công thức, hay tìm được công thức của hàm số và sẽ gặp khó khăn khi nghiên cứu hàm số không cho bởi công thức

II TƢ DUY HÀM TRONG BÀI TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM

SỐ y f u x ( ) KHI BIẾT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y  f x( )

2.1 Hàm số y f x( )cho bởi công thức

+ Thiết lập sự biến thiên của 2x tương ứng với sự biến thiên của x , thể hiện 2x

biến thiên qua 1 và 1

+ Từ sự biến thiên của hàm số ( )f x tương ứng với sự biến thiên của x , thiết lập

sự biến thiên của f(2 )x tương ứng với sự biến thiên của 2x

Hàm số ( )g x đồng biến trên các khoảng ; 1

 

 

 , nghịch biến trên

Phân tích

Hoạt động tư duy hàm được thể hiện

+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , 2x , f x( ), f(2 )x

+ Nghiên cứu sự tương ứng

Với sự biến thiên của x , ta có sự biến thiên tương ứng của 2x

Với sự biến thiên của 2x , dựa vào bảng biến thiên của hàm số ( ) f x ta có sự

biến thiên tương ứng của hàm số (2 )f x

2.2 Hàm số y f x( ) cho bởi công thứ đạo hàm

Bài to n 2 Cho hàm số y f x( ), có đạo hàm trên R ,

- Bảng biến thiên hàm số f x( 2)

+ Thiết lập sự biến thiên của x tương ứng với sự biến thiên của x , thể hiện 2 x 2

biến thiên qua 1

+ Từ sự biến thiên của hàm số ( )f x tương ứng với sự biến thiên của x , thiết lập

sự biến thiên của f x( 2) tương ứng với sự biến thiên của x 2

Hàm số g x( )đồng biến trên các khoảng 1;0, 1;, nghịch biến trên các khoảng  ; 1 , 0;1  

Phân tích

Hoạt động tư duy hàm được thể hiện

+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , 2

x , ( ) f x , f x( 2)

+ Nghiên cứu sự tương ứng

Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của x2

Với sự biến thiên của x2, dựa vào bảng biến thiên của hàm số ( )f x ta có sự

biến thiên tương ứng của hàm số 2

f x

Từ cách giải 2 của bài toán 1 và bài toán 2 ta nhận thấy từ bảng biến thiên của hàm số f x( )ta có thể suy ra bảng biến thiên của hàm số f u x khi chúng ta  ( )biết được chiều biến thiên của hàm số u x( ) mà không cần biết công thức hàm số

( )

f x

Dựa vào nhận xét trên chúng ta có thể hướng dẫn học sinh:

- Giải một lớp các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số theo hướng này

- Tạo ra các bài toán: Cho biết chiều biến thiên của hàm số ( )f x xét tính đơn

điệu của hàm số f u x , bằng cách chọn hàm số ( ) ( ) u x

Góp phần bồi dưỡng và phát triển tư duy hàm cho học sinh

2.3 Hàm số y f x( ) cho bởi bảng biến thiên

Bài to n 3 Cho hàm số y f x( )có bảng biến thiên như hình vẽ

a) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f(2 )x

b) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x( 2)

c) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x( 2 3x2)

d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x( 33x2 2)

e) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 2

ài gi i:

a) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f(2 )x

Bảng biến thiên hàm số y f(2 )x

Hàm số f(2 )x đồng biến trên khoảng 1 1;

Hoạt động tư duy hàm được thể hiện

+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , 2x , f x( ), f(2 )x

+ Nghiên cứu sự tương ứng

Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của 2x

Với sự biến thiên của 2x , dựa vào bảng biến thiên của hàm số ( ) f x ta có sự

biến thiên tương ứng của hàm số (2 )f x

b) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x( 2)

f x đồng biến trên các khoảng  ; 1 , 0;1  

nghịch biến trên các khoảng 1;0 , 1;  

Phân tích

Hoạt động tư duy hàm được thể hiện

+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , 2

x , f x( ), f x( 2)

+ Nghiên cứu sự tương ứng

Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của x 2

Với sự biến thiên của x2, dựa vào bảng biến thiên của hàm số ( )f x ta có sự

biến thiên tương ứng của hàm số 2

f x

c) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x( 2 3x2)

Hoạt động tư duy hàm được thể hiện

+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , 2

+ Nghiên cứu sự tương ứng

Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của x2 3x 2

Với sự biến thiên của x2 3x2, dựa vào bảng biến thiên của hàm số ( )f x ta

có sự biến thiên tương ứng của hàm số 2

Hàm số đồng biến trên các khoảng x x1; 4 , 0;x5 , x2;2 , x x 3; 6

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;x1 , x4;0 , x x5; 2 , 2;x3 , x6;Với x x x x1, 2, 3( 1x2 x3) là các nghiệm của phương trình x3 3x2   2 1

x x x x4, 5, 6( 4 x5 x6) là các nghiệm của phương trình x3 3x2  2 1

Phân tích

Hoạt động tư duy hàm được thể hiện

+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , 3 2

+ Nghiên cứu sự tương ứng

Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của x3 3x2 2 Với sự biến thiên của x2 3x2, dựa vào bảng biến thiên của hàm số ( )f x ta

có sự biến thiên tương ứng của hàm số 3 2

Hàm số đồng biến trên khoảng 3;

Hoạt động tư duy hàm được thể hiện

+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , 2

1

x x



 , ( )f x ,

21

x f x



 

  

 

+ Nghiên cứu sự tương ứng

Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của 2

1

x x



 , dựa vào bảng biến thiên của hàm số ( )f x ta có

sự biến thiên tương ứng của hàm số 2

1

x f x



 

  

 

Bảng biến thiên của hàm số y f x( )

Bảng biến thiên của hàm số 2

y f x  x 

Hàm số đồng biến trên các khoảng 1 2;0 , 1;2 , 1     2;

Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1 2 , 0;1 , 2;1     2

Phân tích

- Hàm số không cho bởi công thức nên không sử dụng được phương pháp thế, cũng không sử dụng được phương pháp biến đổi đồ thị hàm số để suy ra đồ thị

+ Từ đồ thị hàm số, lập bảng biến thiên của hàm số

+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , 2

+ Nghiên cứu sự tương ứng

Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của x2 2x1

Với sự biến thiên của x2 2x1, dựa vào bảng biến thiên của hàm số ( )f x ta

có sự biến thiên tương ứng của hàm số 2

y f x  x

2.5 Áp dụng giải bài toán về cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

Bài to n 1 Cho hàm số y f x( )có bảng biến thiên như hình vẽ

Bài to n 2 Cho hàm số 3

f x  x  x a) Tìm điểm cực tiểu của hàm số (2 )f x

b) Tìm m để hàm số (2 f xm) đạt cực đại tại x2

c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số (2 )f x trên  3; 3

d) Tìm m để GTLN của hàm số (2 ) f x m trên  3; 3 bằng 3

L i gi i

a) Tìm điểm cực tiểu của hàm số (2 )f x

Bảng biến thiên của hàm số ( )f x

Bảng biến thiên của hàm số (2 )f x

III PHÁT TRIỂN TƢ DUY HÀM THÔNG QUA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài to n 1 (Câu 49 đ 1 2 – thi P n 2 21) Cho hàm số

( )

y  f x có đạo hàm  2 

( ) ( 8) 9 ,

f x  x x   x Có bao nhiêu giá trị

nguyên dương của tham số m để hàmsố  3 

g x  f x  x m có ít nhất 3 điểm cực trị?

66

Cách 2

Nhận thấy hàm   2  

g x  f x  x m là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung ể hàm  3 

Và với sự biến thiên tương ứng của 2

6

x  x m dựa vào bảng biến thiên của hàm số ( )f x ta có sự biến thiên tương ứng của hàm số f x( 2 6x m)một cách

đầy đủ trong tất cả các trường hợp của tham số m như sau

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị m cần tìm là 0 m 8.

 h n ch ối với 2 cách giải trên chúng ta lập luận riêng rẽ từng trường

hợp nên học sinh khó nắm bắt được trọn v n của bài toán, sẽ rất khó để giải quyết bài toán nếu ta thay đổi một số câu hỏi, sáng tạo thêm một số bài toán mới dựa trên bài toán gốc này Với cách giải thứ 3, tính tư duy hàm được thể hiện qua

+ Thiết lập sự tương ứng của sự biến thiên của x , 2

+ Nghiên cứu sự tương ứng

Với sự biến thiên của x , Ta có sự biến thiên tương ứng của x2 6x