Chủ đề 10 bài toán về min max loga

CHỦ ĐỀ 10 BÀI TOÁN MIN – MAX LOGARIT 1 Công thức lôgarit Giả sử và các số A, B, N, > 0 ta có các công thức sau đây ( Mở rộng ( Hệ quả ( ( Công thức đổi cơ số Giả sử a, b dương và khác 1; ta có ( và ( và 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D( f(x) xác định và liên tục trên D) Phương pháp giải Bước 1 Tính , tìm tất cả các nghiệm của phương trình và các điểm làm cho không xác định Bước 2 ( Trường hợp 1 Tính các giá trị Với ( Trường hợp 2 Lập bảng biến thiên suy ra min,.

CHỦ ĐỀ 10: BÀI TOÁN MIN – MAX LOGARIT

1 Công thức lôgarit

Giả sử a0,a1 và các số A, B, N,… > 0 ta có các công thức sau đây:

 logaAB loga Alogb B

Mở rộng logaA A A1 2 N loga A1loga A2 log a A N

 loga A loga A loga B

B   Hệ quả

1loga logN

Công thức đổi cơ số: Giả sử a, b dương và khác 1; , c x  ta có0

 log loga b b cloga c và 1

 Trường hợp 2:Da b;   Lập bảng biến thiên suy ra min, max

Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đơn điệu trên đoạn a b ; 

Nếu hàm số yf x đồng biến với  

a) Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực dương: a b 2 ab

Mở rộng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương: a b c  33 abc

, 11

Nhận xét Vì hàm số ylnx đồng biến trên khoảng 0;  nên 

f x g x  f x  g x

Ví dụ 3: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn logx2y logxlogy

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 1 22 2

201

85

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là P min 2 3.Chọn C.

Ví dụ 5: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Xét các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện

Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2y2 1 và logx2y2x2y1 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P2x y Tính M m

A P  min 4 B P  min 4 C P min 2 3 D min 10 3

Ví dụ 7: [Đề thi Thử nghiệm 2017 – Bộ GD&ĐT] Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện a b 1 Tìm

giá trị nhỏ nhất P của biểu thức min log2a 2 3logb

P f t

t t

t t

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f t là 15. 

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là P  Chọn D.min 15

Xét biểu thức T, ta có T 2loga ab loga a loga b2loga b 1 log a b2.

Đặt tloga b với t    ;1 , khi đó T f t  2t 1 t2

Đặt t loga b logb a 1

t

   với t  , khi đó  

2 2

m

M  b a  a m   M m    Chọn C.

Ví dụ 11: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn b2 3ab4a2 và a  4; 232 Gọi M, m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

8

3log 4 log

min 4;34

2

; 1

Dấu “=” xảy ra

1

516

Ví dụ 14: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện 1 1

4a b  Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thứcmin

a

a b

3

1log log

Ví dụ 17: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện a0, 0 b 2

Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức min  

22

134

t t

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là P  Chọn D.min 10

Ví dụ 19: Cho hai số thực a1, b1 thỏa mãn phương trình a b x x2  1 1

 có hai nghiệm phân biệt x x 1, 2

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  

Khi đó, theo hệ thức Viet ta được 1 2 2

 Bài toán áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương a b c  33abc

 Với điều kiện a1, b  1 loga b0 nên áp dụng được bất đẳng thức AM – GM

P  Chọn B.

Ví dụ 21: Cho a0, b0 thỏa mãn log3a2b19a2 b21log6ab13a2b1 2

Giá trị của biểu thức a2b bằng

Ví dụ 22: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy4y1.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 2  2

Câu 4: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log2x2xy3y211x20y 40 1 Gọi a, b lần lượt là giá trị

Câu 6: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn logxlogylogx y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức P x 3y

Câu 8: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn  3 log2 8 1 3 2 3

3

 D 5 95 21

3



Câu 11: Cho hai số thực x, y thỏa mãn logx2y212x 4y 1

Câu 12: Cho hai số thực x, y thỏa mãn xy4y1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 6y ln x 2y

Câu 14: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn logxlogylogx3y Giá trị nhỏ nhất của biểuthức S 2x y là

A 2 2 2 B 3

Câu 15: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a2b2  và 1 loga2b2a b  1 Giá trị lớn nhất của biểuthức P2a4b 3 là

xy x y Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2  2

Câu 19: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log2xlog2 ylog4x y  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức S x2y2

Câu 24: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 5log22a16log22b27 log22c1 Tìm giá trị lớn nhấtcủa biểu thức S log2alog2blog2blog2clog2clog2a.

Câu 27: Cho các số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn log2a b log2b c loga c 2logb c 3

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có 3 ln 1 9 3 3 ln 1 3 1 ln 3  9

392

Khi đó Py2100y1y 502 20512051 dấu bằng xảy ra  y50.

t b

Câu 21: Đặt u x 2y21 suy ra giả thiết 2u2 log3u 3 2u 4.log3u 12 0

3 2

a a

b b

Câu 22: Đặt xlog ; a b ylog ; b c zlogc a x y z ; ;  0

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 10 Chọn C.

Câu 23: Ta có log2a 1 log2blog2clog 2bc log log2a 2 bc  1 log log2b 2c

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 4 Chọn A.

Câu 25: Đặt xlog ; a b ylog ; b c zlogc a x y z ; ;  0

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 4 6 3 Chọn C.

Câu 26: Đặt xlog ; a b ylog ; b c zlogc a x y z ; ;  0

Câu 27: Giả thiết loga b2logb c2 loga c loga b 2logb c 5 *  Đặt xlog ; a b ylogb c xyloga c suy ra  *  x2y2 xy x  2y1