Chủ đề 9 bài toán về cực trị tọa độ không gian

CHỦ ĐỀ 9 BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho có đạt min Phương pháp giải +Tìm điểm I thõa mãn hệ thức tọa độ điểm I là Phân tích Khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên (P) Viết phương trình đường thẳng IM đi qua I và vuông góc với (P) Khi đó Ví dụ 1 Cho các điểm và Tìm điểm M thuộc (P) sao cho a) b) Lời giải a) Gọi là trung điểm của AB thì Ta có nhỏ nhất là M là hình chiếu của điểm I trên.

CHỦ ĐỀ 9: BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho u aMA bMB cMC     

a b c

ay by cy y

a b c

az bz cz z

Khi đó u   a b c MI umin  M là hình chiếu vuông góc của I lên (P)

Viết phương trình đường thẳng IM đi qua I và vuông góc với (P)  u IM n P

b) Gọi I là điểm thỏa mãn

2 12

y y

z z z

Ví dụ 2: Cho các điểm A1;0; 1 ;   B2; 2 ;1 C 0; ;01  và (P) : x 2 y 2 z 6 0    Tìm điểm M thuộc(P) sao cho

a) MA MB MC  min

  

.b) 2MA  4MB 3MCmin

 M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P)

Phương trình đường thẳng MG khi đó là: 1 2  ; 1 2 ; 2 2 

b) Gọi I là điểm thỏa mãn

Gọi I là điểm thỏa mãn

Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có A1; 2;3 ;  B3;0; 1  C 1; 4;7 và(P) : x 2 y 2 z 6 0    Gọi M a b c là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho  ; ;  MA2MB2MC2nhỏ nhất.Giá trị biểu thức T a2b2c2là

Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng cho 3 điểm A0; 3;1 ;   B2;7;1 và C1;0;3 và

mặt phẳng (P) có phương trình x y z 3 0    Gọi M a b c trên (P) sao cho  ; ;  MA MB 2MC

nhỏnhất Tính giá trị của T  a 2b 3c

1 1 2

2

1 1 222

Dạng 2: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho 2 2 2

T aMA bMB cMC đạt max hoặc min.

+) Nếu a b c  0 thì T đặt min; a b c  0 thì T đặt max

Khi đó T ;max Tmin  MImin  M là hình chiếu vuông góc của I lên (P)

Ví dụ 1: Cho các điểm A3;5; 5 ;   B5; 3; 7 C 1;0;3 và (P) : x y  z 0 Tìm điểm M thuộc (P) saocho

Ta có: T MA2MB2 2MI2IA2IB2đạt giá trị nhỏ nhất  M là hình chiếu vuông góc của I

b) Gọi I là điểm thỏa mãn

1

1

1

213

1 22

1 2219

DoIA2 2IB2 không đổi nên Tmax  MI2 lớn nhất khi đó MImin  M là hình chiếu vuông góc của I

Biến đổi T MI2IA22IB2 4IC2đạt giá trị lớn nhất  MImin  M là hình chiếu vuông góc của I

sao cho T MA22MB2 MC2đạt giá trị nhỏ nhất Tính độ dài OM.

1 2 12

Biến đổi T 2MI2IA2 2IB2IC2đạt gía trị nhỏ nhất  MImin  M là hình chiếu vuông góc của I

Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz ,cho 3 điểm A4;1;5 ;  B3;0;1;C1 2;0;  và mặt phẳng

(P) : 3x 3 y 2  z37 0 Điểm M (a;b;c) thuộc (P) sao cho S MA MB MB MC MC MA  

    

nhỏ nhất Tính a+b+c

Dạng 3: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA MB minhoặc MA MB max

Phương pháp giải:

+) Kiểm tra vị trí tương đối của các điểm A và B so với mặt phẳng (P)

+) Nếu A và B cùng phía (P) thì bài toán MA MB minphải lấy đối xứng A qua (P) khi đó

MA MB MA MB A B     dấu bằng xảy ra  A M B, , thẳng hàng hay M A B ( )P

Bài toán tìm MA MB max , ta có MA MB AB M là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P)

+) Nếu A và B khác phía (P) thì bài toán MA MB max phải lấy đối xứng A qua (P) bài toán tìm

MA MB min  M là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P)

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm A1;3; 2 ;  B3;7; 18 và mặt phẳng

( ) : 2P x y z   1 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA MB nhỏ nhất

Lời giải:

Đặt f 2x y z   1 0 ta có: f A f B   A,B cùng phía với mặt phẳng (P).    0

Gọi A là điểm đối xứng của A qua ( ) : 2P x y z   1 0 1 3 2

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) : P x y 2z 2 0 và 2 điểm

2;3;0 ; 2; 1; 2

A B  Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA MB lớn nhất

Lời giải:

Kí hiệu f  x y2z 2 0 Ta có f A f B  nên A,B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).    0

Gọi A là điểm đối xứng của A qua (P) Ta có: : 2 3

Ví dụ 3: : Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho điểm A3;1;0 ; B  9; 4;9và mặt phẳng (P) có phương

trình ( ) : 2P x y z   1 0 Gọi I (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho IA IB đạt giá trị lớn nhất.Khi đó tổng a +b +c bằng

Do đó hai điểm A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).

Gọi B là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (P)  : 9 4 9

Điểm I(AB )  I4t3;t 1; 13t   P  I(7; 2; 13)  a b c  4 Chọn B

Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình ( ) : P x y 2z 2 0và 2 điểm A0;1; 2 ;  B2;0; 3  Gọi M (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA MB nhỏ nhất Tính giá trị của T= a+b+c

Kí hiệu f  x y2z2 ta có f A f B   nên A,B nằm cùng phía với (P).    0

Gọi A là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P)

Khi đóMA MB MA  MBA B dấu bằng xảy ra  A M B, , thẳng hàng

 Công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng d A ;  u AM;

Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn

nhất, với M là điểm không thuộc d.

Gọi , H K lần lượt là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng ( )P và đường thẳng d.

Đường thẳng d đi qua A  1; 2;1

Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm M1;2; 4 ; (0;2;1); (1;0; 2) A B Mặt phẳng  P

chứa đường thẳng AB đồng thời cách điểm M một khoảng lớn nhất cắt các trục tọa dộ tại các điểm, ,

Ví dụ 1: Cho các điểm M1;0;0 ; (0; 2; 3) A  và ( ) :P x2y z 1 0 Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) , đi qua A và cách M một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất?`

Khi đó đường thẳng d nằm trong ( )P , đi qua A và vuông góc với đường thẳng AM , suy ra dcó một

véc tơ chỉ phương là  ;MA 4 1;1;1  : 1

Khi đó đường thẳng d nằm trong ( )P , đi qua A và đi qua hình chiếu H của M Suy ra

Gọi H; N lần lượt là hình chiếu của B trên (P) và d.

Phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d

là: ( ) 2P  x2y z 1 0 khi đó ( )P chứa  Gọi

H là hình chiếu vuông góc của A xuống ( ) P và N là

hình chiếu vủa A xuống  Ta có: AH AN AM

Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A1;1; 1 ;  B0; 2;1và mặt phẳng (P) có phương

trình ( ) : 2P x y z  0 Gọi d là đường thẳng đi qua A nằm trong mặt phẳng (P) , và cách điểm B một khoảng lớn nhất Đường thẳng d cắt mặt phẳng ( O xy) tại điểm.

Ví dụ 5: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 1 2

 Gọi d là đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến 

là lớn nhất, đường thẳng d đi qua các điểm nào trong các điểm sau:

Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A cho trước sao cho

khoảng cách giữa d và d’lớn nhất, với d’ là đường thẳng cho trước và cắt (P).

Phương pháp giải:

+) Gọi I d( )P , qua A dựng đường thẳng dd d (Q) , với (Q) là mặt phẳng chứa dvà d.Khi đó dd d;  d d Q ;   d I Q ;  

Mặt phẳng (P) đi qua O0;0;0 và vuông góc với d có VTPT là u P u d 1; 2;1  

Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , gọi d là đường thẳng đi qua A0; 2;1, song song với mặt

phẳng ( ) : 2P x y z   1 0 sao cho khoảng cách giữa d và : 1

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d 1 , suy ra d nằm trong (P) Khi đó quy về bài toán 3!

Ví dụ 1: Cho điểm A0; 1; 2  và đường thẳng d : 1 2

x y z

 Lập phương trình đường  đi qua A cắt d sao cho

Gọi  P Ad; 1 n P AB u; 1  1;1;3  d P

  

Gọi A2 5 ; 2 t; t  td2 là hình chiếu vuông góc của A trên d ta có:2

Phương pháp giải:

Tham số hóa điểm M theo phương trình đường thẳng.

Biến đổi giả thiết về dạng yf t  và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm sốyf t 

Chú ý:

Tam thức bậc hai: y ax 2bx c a  0có đỉnh ;

b I

Bất đẳng thức véc tơ: Cho 2 véc tơ ua b;  và vc d;  ta có: u v  u v 

Khi đó a2b2  c2d2  a c 2b d 2 dấu bằng xảy ra a b

Đường thẳng d có phương trình tham số : 3

Diện tích tam giác M được tính bởi S=1 ;

Ví dụ 5: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A1;1;6 ; B3; 2; 4 ;   C1;2; 1  D 2; 2;0 .

Gọi M(a;b;c) làm điểm thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất Tính

24.5

Dạng 6: Một số bài toán cực trị khoảng cách liên quan đến mặt cầu

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A0;1;1 ; B0;0; 1 ;  C1; 2; 1  D 1; 2; 3  và

Gọi D D là đường kính của mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng 1 2 ABC

Khi đó d D ABC ;  max  D trùng với 1 trong 2 điểm D hoặc 1 D2

Đường thẳng D D qua 1 2 I1;0; 1  và có VTCP là n n ABC AB AC;    2;2; 1 

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho điểm A1;2; 3 và mặt phẳng (P) : 2 x 2 y z 9 0   

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (Q) : 3x 4 y 4 z 5 0    cắt mặt phẳng  P tại B Điểm

M nằm trong mặt phẳng  P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông và độ dài MB lớn nhất Độ dài MB là:

BK  IB  d  , với K là tâm đường tròn giao tuyến của  P và  S

Để MB lớn nhất MB là đường kính đường tròn giao tuyến MB2BK 5 Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho điểm A1;2; 3 và mặt phẳng (P) : 2 x 2 y z 9 0   

Đường thẳng d đi qua A và có véc tơ chỉ phương u  3;4; 4 cắt  P tại điểm B Điểm M thay đổi trong

 P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90 Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào

trong các điểm sau?

Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu  S có tâm 1 I2;1;1 bán kính bằng 4 và mặt cầu

 S có tâm (2;1;5)2 J bán kính bằng 2  P là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu    S1 , S Đặt 2

M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến  P Giá trị M + m bằng

MI R   J là trung điểm của MI

Ví dụ 5: (Đề thi thử nghiệm Bộ GD&ĐT 2017) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

(P) : x 2 y 2 z 3 0    và mặt cầu  S : x2y2z22 x 4 y 2 z 5 0    Giả sử điểm M P và N S sao cho MN cùng phương với véc tơ u1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất Tính MN

A MN 3 B MN  1 2 2 C MN 3 2 D MN 14

A B    Mặt cầu  S đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với  P tại điểm C Biết rằng C luôn

thuộc đường tròn cố định Tính bán kính đường tròn đó

Theo tính chất phương tích ta có: MA MB MC  2  MC2 2 3.6 3 36

Do đó tập hợp điểm C là đường tròn tâm M3;3;3 bán kính R 6. Chọn B.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x 2 y 2 z 18 0    , M là điểm di

chuyển trên mặt phẳng  P ; N là điểm nằm trên tia OM sao cho OM ON   24 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Đường thẳng  qua I và vuông góc với  P có phương trình x 2 2 ,t y 1 2 ,t z 3 t

Cho   S   và  S cắt nhau tại 2 điểm: A0; 3;4 ;  B4;1;2 

Vậy P  khi min 6 x0,y3,z4 Chọn A.

Ví dụ 9: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A0;1;1 , B3;0; 1 ,C 0;21; 19    và mặt cầu

  S : x 1 2y 1 2z 1 2 1 Ma; b;c là điểm thuộc mặt cầu  S sao cho biểu thức

5 5

2 91; ;

2 ngoại tiếp tứ diện OABC Khi tổng

OA OB OC  đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt cầu  S tiếp xúc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

 Thiết lập một phương trình quy ẩn (a theo b,c hoặc ngược lại) từ một dữ kiện về mặt phẳng chứa

đường, song song hoặc vuông góc Giả sử phương trình thu gọn ẩn là a f b c; 

 Thiết lập phương trình về góc, thay a f b c;  vào ta được một phương trình hai ẩn b,c.

 Ta biết rằng hàm sin đồng biến khi 090, ngược lại hàm cos nghịch biến

Vậy khi hàm xét max, min là hàm sin thì góc lớn ứng với hàm max,, góc nhỏ ứng với hàm nhỏ Còn khi hàm xét max, min là hàm cosin thì ngược lại, đề bài yêu cầu tìm góc lớn thì hàm phải đạt min, góc nhỏ thì hàm đạt max.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2 x 2 y z 1 0    và đường thẳng1

Do đó  P đi qua điểm A 6; 3;0    Chọn A.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 ;   B1;1; 2 Gọi  Q là phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm A, B sao cho  Q tạo với mặt phẳngOxy một góc nhỏ nhất Khoảng cách

Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng d qua A nằm trong P sao cho góc giữa 2 đường thẳng d

và d nhỏ nhất (hoặc tạo với mặt phẳng  Q cho trước một góc lớn nhất)

   (Do IK IH ) suy ra min  H Khay d qua A và H.

Khi đó dlà hình chiếu vuông góc của  trên  P

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1;2   và mặt phẳng  P : 2x y z   3 0.

Lập phương trình đường thẳng d đi qua A; song song với  P đồng thời tạo với đường : 1 1

x y z

một góc nhỏ nhất

Lời giải:

Gọi   là mặt phẳng chứa A và song song với  P  n   2; 1; 1   

Khi đó d nằm trong   sao cho góc giữa d và  nhỏ nhất

Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  Q chứa A và 

Đường thẳng  đi qua điểm M1; 1;2 và có VTCP là u 3; 2; 2 ,  AM0; 1;4 

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng  đi qua A 1;0;1 , nằm trong mặt phẳng 

 P : 2 x y z1 0 và tạo với đường thẳng d : 1 1

x y z

 một góc nhỏ nhất Biết u5; ;cb  làmột véc tơ chỉ phương của đường thẳng  Tìm b + c.

6

75.9

 Đường thẳng dqua A nằm trong  P sao cho

góc giữa 2 đường thẳng d và d nhỏ nhất đi qua điểm nào trong các điểm sau:

Vậy d đi qua hai điểm 1; 2;1 Chọn D.

Ví dụ 8: Cho mặt phẳng  P : x y z  2 0 điểm A 2;1;1 thuộc mặt phẳng    P và đường thẳng

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A  5;2;2 , B 1;6;2   Mặt phẳng( ) :P x y  2z 5 0 Gọi M a; b;c là điểm thuộc    P thỏa mãn MA3MB

Câu 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A1;0; 2 , B 0; 1;6    và mặt phẳng

( ) :P x2y 2z12 0 Gọi M là điểm di động trên mặt phẳng  P Tìm giá trị lớn nhất của MA MB

Câu 6: Trong không gian vớihệ trục Oxyz , cho hai điểm M0;1;3 , B 10;6;0   và mặt phẳng  P có

phương trình ( ) :P x 2y2z10 0 Điểm I 10; ; a b thuộc mặt phẳng  P sao cho IM IN lớn

nhất Tính tổng T = a + b.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x y z   3 0 và hai điểm

3;1;1 , B 7;3;9  

A Gọi M a; b;c là điểm trên mặt phẳng     sao cho MA MB 

đạt giá trị nhỏ nhất Tính S a  2b3c

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A  3;5; 5 , B 5; 3;7     và mặt phẳng(P) :x y z   6 0 Lấy điểm M a; b;c trên mặt phẳng     sao cho MA2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính S a b c  

Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A0; 2; 3 , B 4; 4;1 ;C 2; 3;3         Tìm tọa độ điểm M trong mặt phẳng Oxz sao cho MA2MB22MC2 đạt giá trị nhỏ nhất

A 0;0;3  B 0;0; 2  C 0;0;1  D 0;0; 1 

Câu 10: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các điểm A2;0; 1 , B 1;0; 1 ,     C0;1;0 Gọi M là

điểm thuộc mặt phẳng Oxy sao cho AM2 5BM22CM2đạt giá trị lớn nhất Tính độ dài đoạn thẳng OM

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A3;1;0 , B 9;4;9   và mặt phẳng

(P) : 2x y z   1 0 Gọi Ia;b;clà điểm thuộc mặt phẳng  P sao cho IA IB đạt giá trị lớn nhất Khi đó tổng a b c  là

Câu 15: Cho mặt cầu (S) :x2y2z2 2x 4y6z1 0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

mặt phẳng (P) :x3y 2z m 0 cắt mặt cầu  S theo một đường trong có chu vi lớn nhất

Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm M1; 2;3

và cắt các tia Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho , , T 12 12 12

   đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 19: Trong không gian với hệ trục Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm M2;1;3và

cắt các trục tọa độ Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với O sao cho biểu thức, ,