Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 2.. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Gọi I; J lần lượt là trung điểm của SA và BC.Tính thể tích của kh
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút.
I Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số : 1 3 2 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm m để đường thẳng : 1
3
cắt (C) tại ba điểm phân biệt A , B , C sao cho A cố định và diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 3 sinx cos xcos5x2( os6c x1) 3 sin 5x
2 Giải hệ phương trình:
2
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân:
1
1 ln
e
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Gọi I; J lần lượt
là trung điểm của SA và BC.Tính thể tích của khối chóp S.ABCD biết đường thẳng IJ tạo với mặt đáy một góc 0
60
Câu V (1,0 điểm). Cho x,y R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
( 1)( 1)
x y
II.Phần riêng (3,0 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết đường thẳng AB có phương trình:
x + 3y + 1 = 0 Đường thẳng chứa đường chéo BD có phương trình:x – y + 5 = 0.Đường thẳng AD đi qua điểm M(1; 2) Tìm tọa độ tâm của hình thoi ABCD
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho 3 điểm A(5; 3; -1); B(2; 3; -4) ; C(1;2;0).Tìm tọa độ điểm D sao cho DA 2DB DC
nhỏ nhất
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của: 3
4
1 2
n
x x
,
A A A ( Trong đó k
n
A là số chỉnh hợp chập k của n)
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:x y 50;d2 : 2x y10.Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng : x – y + 1= 0, tiếp xúc với d1và cắt d2 theo một dây cung
có độ dài bằng 6 5
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1, biết A(0;0;0) ; B(1;0;0) ; D(0;1;0) ; A1(0;0;1).Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm của hình vuông ADD A1 1.Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua C;D1; M; N
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : log (2 ) log2 1
.Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Giám thị xem thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ;Số báo danh :
Trang 2Câu Nội Dung Điểm I
(2,0đ)
1.(1,0đ)
TXĐ: D = R
Chiều biến thiên: , 2
0
3
x y
x
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng: ;1 và 3; ,nghịch biến trên
khoảng (1; 3)
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3 1
3
ct
y
, đạt cực đại tại điểm x
= 1 y cd 1
Giới hạn: lim
x y
; lim
x y
Bảng biến thiên:
Đồ thị: Đi qua các điểm (0; 1)
3
; (4 ; 1) ; nhận (2; )1
3
I làm điểm uốn.
2 (1,0đ).
Pt hoành độ giao điểm của đường thẳng : 1
3
và (C) :
3x x x 3mx 3
2
x
Với x = 0 y = 1
3
A(0; 1
3
)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
1 3
,
y
y
y
1
1
1 3
3
Trang 3II
(2,0đ)
3
cắt (C) tại ba điểm phân biệt A , B , C
Có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác 0
,
0
3
m m
0 3
m m
Khi đó 1 1
1
3
1
3
OBC OAB
3
3
(1) (vì x1x2 6 )
Mà x1; x2 là nghiệm của phương trình : 2
1 2
6
9 3
Từ (1) và (2) 3
4
m
(tmđk)
1.(1,0đ)
Pt 3(sin 5x s inx)cos5xcosx2( os6c x1)
2
2 3 os3 sin 2c x x 2 cos 3 os2x c x 4 cos 3x
2 os3 ( 3 sin 2c x x cos2x 2 cos 3 )x 0
3 sin 2 os2 2 cos 3
2
2.(1,0đ)
2
x
x
hệ có nghiệm (0;0);(-2;0)
Nếu y 0, hpt
2
2
2
5
2
y
y
;đặt
2
2
3
u
y
ta có hệ:
3
u v
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25
0,5
0,25
Trang 4(1,0đ)
IV
(1,0đ)
Với
2
2 3
y
6 8
x y
3
u v
2
2 1
y
(vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm (x; y) là: (0; 0) ; (-2; 0); (1; 1) và
(-6; 8)
1,0đ
Ta có : I =
Xét 1
1
ln
1 ln
e
x
; đặt t= 1 ln x t2 1 lnx 2 t dt 1dx
x
Đổi cận: x = 1 t =1 ; x =e t = 2
Khi đó
2 1
1
t
Xét 2
1 1
1 (ln ) / 1
x
Khi đó I = I1I2= 7 2 2
3
1,0đ
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, M là
Trung điểm của AO,ta có :IM //SO
Góc giữa IJ với mặt đáy là
Góc IJM bằng 0
60 Ta có:
10 4
a MJ
Mặt khác IM = MJ. 0
tan 60 = 10 3 30
Do S.ABCD là khối chóp đều nên : .
1 3
S ABCD ABCD
Trong đó SO = 2IM 30
2
a
ABCD
3 2
S ABCD
1,0đ
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
0,25 0,25
D S
J M
I
A
O
Trang 5(1,0đ)
VI.a
(2,0đ)
Đặt t = x + y ; t > 2 ta có :
(3 2)
1
xy t
2
4
t
2
2
2
(3 2)
2 1
4
t
Xét hàm số
2
4
f t t t f t t t
f(t)
-8
Do đó min P = (2;min ( )) f t
4
2 4
2
x y
x xy
y
1.(1,0đ)
Do B là giao điểm của AB với BD,nên tọa độ B là nghiệm
( 4;1)
B
Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt BD tại
N,ta có MN//AB: x+ 3y + 1 = 0 pt MN: x + 3y + m = 0
Do M(1;2) MN nên: 1+ 6 + m = 0 m= -7
Pt MN: x+ 3y – 7 = 0
Do N = MNBD,nên tọa độ N là nghiệm của hệ: 3 7 0 2
( 2;3)
N
Vì D BD: x – y + 5 = 0 D(x ; x+5).Mà ABCD là hình thoi nên
9 1 (x1)2(x3)2 0
2
x x
Với x = 0 D(0 ; 5)
Với x = -2 D(-2;3) loại vì trùng với N.
Gọi I là tâm hình thoi I là trung điểm của BD I(-2;3)
2.(1,0đ)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25
A
C
B
D M
N
Trang 6(1,0đ)
VI.b
(2,0đ)
Gọi I(a; b ; c) thỏa mãn IA 2 IBIC 0
5 2
9 4
a
c
Khi đó DA 2DB DC 4DI IA2IBIC4DI
DA2DBDC
nhỏ nhất DI
nhỏ nhất D I ( ;5 11; 9)
(1,0đ)
(đk n4;nN)
2
.khi đó ta có khai triển :
7
4
1
n
x
=
7
7
7 0
k
7 7
7 0
.2
k k
k k k
; ứng với số hạng không chứax
k
số hạng không chứa x là : 4 7 4
1.(1,0đ)
Gọi I; R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn cần tìm
Do I :x y 1 0 I a a( ; 1)
R T T (*) Với T T1; 2 lần lượt là khoảng cách từ I
Đến d d1; 2;với:
1
1 5 2
a a
2
a
2
45
3
a a
a
phương trình đường tròn: x 72 y 82 50
phương trình đường tròn:
x32y22 50
2.(1,0đ)
0,5 0,25 0,25
0,5
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
1
d
2
d
R I R
Trang 7(1,0đ)
Từ gt ta có: C(1; 1 ;0); D1(0; 1; 1)
M(1
2;0;0) ; N(0 ;1 1;
2 2) Gọi pt (S):
x y z ax by czd
Do (S) đi qua các điểm C;D1; M; N
Nên ta có hệ phương trình:
5
4
1 1
4 0
1
4 0
b
c
d
1,0đ
Đk:
1 2
x
Pt hai 2y 3 2 2x 1 y x2 2x 1
Thế vào pt còn lại ta được : 2 log 2 22 x1 log2 x1
2
x
x
KL: hệ có nghiệm (x;y) là (2
3; 2 2
3 3 )
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
A
1
A
1
C
1
B
1
D
D
N
B
C M z
y
x
