Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Biết góc giữa hai mặt phẳng BMC' và ABC bằng 600.Tính thể tích lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và MC'.. Theo chương t
Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
Thời gian làm bài: 180 phút.
I PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh– :(7®iÓm)
Câu 1:(2 điểm) Cho hàm số y x= 3−3x2+1 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2 Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết nó song song với đường thẳng (d): 9x - y + 6 = 0
Câu 2:(2 điểm) 1 Giải phương trình : 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2
1 cot
x
2 Giải hệ phương trình :
Câu 3:(1 điểm) TÝnh tÝch ph©n : I = 4 2
0
x
π
+
−
∫
Câu 4:(1điểm) Cho lăng trụ đều ABCA'B'C' (AA' // BB' // CC') có đáy là ∆ABC cạnh a.M là trung điểm AA' Biết góc giữa hai mặt phẳng (BMC') và (ABC) bằng 600.Tính thể tích lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và MC'
Câu 5:(1điểm) Tìm m để hệ phương trình :
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) ( Thí sinh chỉ chọn một trong hai phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 6a (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho A(1;2), B(1;-2).Tìm trên đường thẳng d 1 :x - y -1 = 0
điểm C sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với đường thẳng d 2 : x + y -3 = 0
2 Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng ( d ) : 1
x = y− = z
Và hai điểm A( 1; 2 ; - 4) ; B( 1 ; 2 ; -3) Trong các đường thẳng (∆) đi qua B và cắt đường ( d) viết phương trình đường thẳng (∆) sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (∆) là lớn nhất
Câu 7a (1điểm) Gọi z z1; 2 là các nghiệm phức của phương trình: z2−4z+ =5 0 Tính: 2013 2013
(z − 1) + (z − 1) .
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 6b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC với cạnh đáy BC nằm trên đường
thẳng : x + y – 1 = 0 ; đường cao BH nằm trên đường thẳng :x – 2y – 2 = 0 và điểm I( - 2 ; 0) nằm trên đường cao CK.Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh AB ; AC của ∆ABC
2.Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng ( d ): 1
x= y− = z
Và hai điểm A( 7 ; - 8 ; 5 ) ; B( 1 ; 2 ; -3) Trong các đường thẳng (∆) đi qua B và cắt đường thẳng ( d) viết phương trình đường thẳng (∆) sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (∆) là nhỏ nhất
Câu 7b (1điểm)Một hộp chứa 6 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 6; 5 quả cầu vàng được đánh số từ 1 đến
5; 4 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 4.Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra ba quả cầu.Tính xác suất để ba quả cầu lấy
ra đôi một khác màu và khác số
Họ và tên thí sinh : Số báo danh:
Trang 2ĐÁP ÁN
Bài1
1) Khảo sát y x= 3−3x2+1
+ TXĐ: D=¡
+ Giới hạn:xlim (→−∞ x3−3x2+ = −∞1) lim ( 3 3 2 1)
2
=
x
0,25
Hàm số đb trên các khoảng (−∞;0 & 2;) ( +∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0; 2
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = -3 0,25 Bảng biến thiên
x −∞ 0 2 +∞
y′ + 0 − 0 +
y
1 +∞
−∞ - 3
0,25
Đồ thị: đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0;1) Điểm uốn I(1; 1)− là tâm đối xứng
0,25
2 Lập phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): 9x - y + 6 = 0
Ta có : y’ = 3x2 - 6x
3
x x
= −
Với x = -1, ta có y(-1) = -3 Khi đó tiếp tuyến có PT là :y = 9x + 6 ( loại và trùng với (d))
Bài2
1. Giải phương trình 2
1 sin 2 cos 2
2 sin sin 2
1 cot
x x
x x x
1 sin 2x cos 2x 2 2 cosx
⇔ cosx = 0 hoặc cosx + sinx = 2 hay ⇔ cosx = 0 hoặc sin 1
4
x π
+ =
⇔ x = π2+kπ
hay x = 2
4 k
π + π
2.Giải hệ phương trình
1
2
x y xy y x y
xy x y x y
xy x y x y xy x y xy xy
xy
xy x y
x y
2
=
0,25
Trang 32 3 1 1
TH1:
1
hoac
xy
5 4 3 2( ) 0 5 4 3 ( )( ) 0 TH2 :
2 2 2 2 1
2
2
0,25
Vậy hệ có bốn nghiệm
x x
y y
0,25
Bài3
0
x
π
+
−
∫
Ta có : I = 4
2
0 cos
x dx x
π
0
1
1 5cos x dx
π
−
x
π
−
Vậy I = 1ln 2
4 2
ln 3 4
Bài4
lăng trụ đều ABCA'B'C' có đáy là ∆ABC cạnh a.M là trung điểm AA' G((BMC') ;
(ABC) ) = 60 0 Tính thể tích lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và MC'.
Kéo dài MC' cắt AC kéo dài tại E => A là trung điểm EC khi đó ∆BEC vuông tại B => EB ⊥
=> CC' = BC.tan600 = a 3 => VTRU = S∆ ABC.CC' = 3 3
4
a
0,25
Gọi D là trung điểm CC' => MC' // (ABD)
Gọi N là trung điểm AB => AB ⊥ (CND) khi đó ∆DCN vuông cân tại C với cạnh góc vuông
3
2
a Gọi H là trung điểm DN => CH ⊥ (ABD) & CH = 6
4
4
Bài 5
Tìm m để hệ phương trình :
Tr ừ vvv ta c ó : (x-y)(1 + xy) = 0
khi đ ó h ệ <=>
( ) 1 ( )
x y
I
x x m m xy
II
x xy m m
<=>
3
( )
1 ( )
x y
I
x m x mx m
xy
II
x y m m
0,25
Ta thấy (II) luôn có hai nghiệm pb ∀ m ∈ R đồng thời nghiệm của (II) không thể là nghiệm
của (I) ( vì nghiệm của (I) là x = y còn nghiệm của (II) là xy = -1) do đó hệ có 5 nghiệm pb
<=> (I) có 3 nghiệm pb
0,25
(I) có 3 nghiệm pb <=> pt : x2 + mx + m2 - 1 = 0 có hai nghiệm pb khác m
<=>
2
m m
0,5
Trang 4cho A(1;2), B(1;-2).Tìm trên đường thẳng d 1 : x - y -1 = 0 điểm C sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với đường thẳng d 2 : x+y -3 = 0
Vì A∈d2 nên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC tiếp xúc với d2 tại A => Ptrình IA: x – y + 1 = 0 0,25
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn bài toán làC( 3 ; 3−1) và C(− 3;- 3−1) 0,25 cho ( d ) : 1
x = y− = z
; A( 1; 2 ; - 4) ; B( 1 ; 2 ; -3) Viết ptđt (∆) đi qua B và cắt đường ( d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (∆) là lớn nhất
Do B ∉ (d) Gọi (P) là mp chứa B & (d) => (P) : 6x - 9y - z + 9 = 0 khi đó (∆) nằm trong (P) 0,25
Do A,B cố đinh và (∆) qua B nên d(A ; (∆)) ≤ AB nên d(A ; ∆) lớn nhất <=> ∆⊥ AB 0,25
Vậy ∆ có vtcp u∆ = n AB p;
uur uur uuur
hay uuur∆
(3 ; 2 ; 0) => ptts ∆
1 3
2 2 3
z
= +
= +
= −
0,5
Bài7a
Một hộp chứa 6 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 6; 5 quả cầu vàng được đánh số từ
1 đến 5; 4 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 4.Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra ba quả
cầu.Tính xác suất để ba quả cầu lấy ra đôi một khác màu và khác số.
Số phần tử của không gian mẫu : C4
CĐ 1 : lấy 1 quả cầu đỏ có 4 cách lấy
CĐ 2 : lấy 1 quả cầu vàng có 4 cách lấy
=> P(A) = 64
Bài6b
∆ABC cân với cạnh đáy BC : x + y – 1 = 0 ; đường cao BH :x – 2y – 2 = 0 và điểm
I( - 2 ; 0) nằm trên đường cao CK.Viết phương trình AB ; AC của ∆ABC
Từ gt => B( 4; 1
3 3
; ¼HBC KCB= ¼ => g(BH ; BC) = g(CK;BC) giả sử pt CK : Ax + By + 2A = 0 từ g(BH ; BC) = g(CK;BC) => pt CK : 2x - y + 4 = 0
0,25
cho ( d ) : 1
x= y− = z
; A( 7; - 8 ; 5) ; B( 1 ; 2 ; -3) Viết ptđt (∆) đi qua B và cắt đường ( d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (∆) là nhỏ nhất
Do B ∉ (d) Gọi (P) là mp chứa B & (d) => (P) : 6x - 9y - z + 9 = 0 khi đó (∆) nằm trong (P) 0,25
(∆) nằm trong (P) nên d(A ; (∆)) ≥ AH do đó d(A ; (∆)) nhỏ nhất <=> ∆ qua B & H 0,25
Vậy ∆ có vtcp uuur∆
= BHuuur(0 ; - 1 ; 9) => ptts ∆
1 2
3 9
x
=
= −
= − +
0,25
Bài7b
Gọi z z1; 2 là các nghiệm phức của pt: z2−4z+ =5 0 Tính: 2013 2013
(z − 1) + (z − 1)
Ta có: ∆ = − = − =' 4 5 1 i2 1
2
2 2
= −
(1 ) (1 )i i 1 i (1 )i
