PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 7 điểm Câu 1.. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đối xứng
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút.
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1 Cho hàm số y x= −3 3x2+3(1−m x2) +2m2−2m−1 (m là tham số).
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m= −1
2 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm
cực trị của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng :d x−4y− =5 0
cosπ +2xcosπ −2x+sin x 1 cos 2+ x =
π
≤ ≤
Câu 3 Giải hệ phương trình
3 3 3
x y y
Câu 4 Tính tích phân
1
ln 2 ln
e
x
x x x
+
=∫
Câu 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, với SA SB= = AB=2a=2BC và
0
120
ABC
(SCD K nằm trong tam giác SCD và ), 3
5
Câu 6 Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ab a b+ + =3 Chứng minh rằng
2 2
b +a +a b a b
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ được một trong hai phần riêng, phần A hoặc phần B.
A Theo chương trình chuẩn
Câu 7a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) : (C x−1)2+ +(y 1)2 =16 có tâm I và
điểm (1A + 3; 2) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và cắt ( ) C tại hai điểm B, C phân biệt sao
cho tam giác IBC không có góc tù đồng thời có diện tích bằng 4 3
Câu 8a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(0;4; 2) và hai mặt phẳng ( ),( )P Q lần lượt
có phương trình 3x y− − =1 0,x+3y+4z− =7 0. Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua M và song song với giao tuyến của ( )P và ( ) Q
Câu 9a Tìm tất cả các số thực a, b sao cho số phức z= +2 3i là nghiệm của phương trình
z + + =az b
B Theo chương trình nâng cao
Câu 7b Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(3; 4) và đường tròn
2 2
ssao cho AB là cạnh của một hình vuông có bốn đỉnh nằm trên ω
Câu 8b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình của mặt cầu có tâm (1; 2;3) I và tiếp xúc
d = + =
−
Câu 9b Hãy giải phương trình sau trên tập hợp số phức (z i− ) (2 z i+ )2−5z2− =5 0
Trang 2
Chiều biến thiên: y′= =L 3 (x x−2), y′= ⇔ = ∨ =0 x 0 x 2
Xét dấu y′ và kết luận: hàm số đồng biến trên (−∞;0),(2;+∞), nghịch biến trên (0; 2)
Hàm số đạt cực đại tại x=0,y cd =3; hàm số đạt cực tiểu tại x=2,y ct = −1
0.25
Vẽ đồ thị
0.25
2 y′ =3x2−6x+3(1−m2)
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y′ =0 có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu khi qua hai
nghiệm đó Điều này tương đương với phương trình x2−2x+ −1 m2 =0 có hai nghiệm phân biệt,
tức là m≠0
0.25
Khi đó, đồ thị của hàm số có hai điểm cựctrị A(1+ −m; 2m3−m2+1), (1B −m m; 2 3−m2+1) 0.25
Hai điểm này đối xứng nhau qua d khi và chỉ khi trung điểm của AB nằm trên d và AB⊥d Điều
này tương đương với
2
2
2
m
m m
0.25
2
k
4
x π
∈ nên x=π8
0.25
3 Nhận xét y≠0, nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được
(3 )xy −7(3 )xy +14(3 ) 8 0xy − =
Từ đó tìm được hoặc xy=1 hoặc xy=2 hoặc xy=4
0.25
Với xy=1, thay vào phương trình thứ nhất, được 3 19
7
19
2 7
26
2 7
2 215
4
Viết lại biểu thức dưới dấu tích phân ln 2·
x dx
−
Trang 3Đặt ln x t= thế thì khi 1≤ ≤x 2 thì 0≤ ≤t 1 và dx dt,
Khi đó
1
t
5
Gọi I là trung điểm CD Chỉ ra các tam giác ADH HDI IHB BCI là các tam giác đều cạnh a Suy , , ,
4
ABCD
a
Gọi J là trung điểm DI Khi đó HJ ⊥AB CD, và do đó CD⊥(SHJ)
0.25
2
a
trung điểm AB nên SH ⊥AB và SH =a 3
0.25
3
Từ đó, do SH ⊥AB HJ, nên SH ⊥(ABCD) hay SH là đường cao của hình chóp.
6 Từ giả thiết suy ra (1+a)(1+ = +b) 1 ab a b+ + =4 Đặt a b x x+ = , >0 thế thì
2 ( )2 4 4(3 ) 2
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
0.25
Do a2+b2 = +(a b)2−2ab nên a2+b2 =x2−2(3− =x) x2+2x−6, do đó (1) trở thành
x
Để ý rằng x3− +x2 4x− = −12 (x 2)(x2+ + ≥x 6) 0 nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Suy ra
Hình 1
Hình 2
Trang 4Do 1· · ·sin 4 3
2 IC IB ∠CIB S= ICB = nên sin 3
2
CIB
tam giác CIB đều, với độ dài ba cạnh bằng 4 Bởi vậy, bài toán quy về viết phương trình đường
thẳng ∆ đi qua (1A + 3; 2) và cách (1; 1)I − một khoảng bẳng 2 3.
0.25
Đường thẳng ∆ có phương trình (a x− −1 3)+b y( − =2) 0 với a2+b2 ≠0
Ta có phương trình
2 2
2 3
a b
0.25
8a Mặt phẳng ( )P có véctơ pháp tuyến pr=(3; 1;0)− và mặt phẳng ( )Q có véctơ pháp tuyến
(1;3;4)
Giao tuyến d của (P) và (Q) có véctơ chỉ phương
2
x = y− = z−
a b a
+ + =
+ =
Giả sử tìm được đường tròn Γ: (x−3)2+(y−4)2 =ρ2 thỏa mãn yêu cầu Khi đó, do AB là dây
cung chung, nên AB⊥IM, hay đường thẳng AB nhận uuurIM =(0;5) làm véctơ pháp tuyến Hơn
nữa, I và M ở về hai phía của AB Do đó, đường thẳng AB có phương trình dạng 5 y c+ =0 với
20 c 5
− < < (1)
0.25
2
R
d I AB = = Từ đó, kết hợp với (1),
tìm được c= −5 Suy ra AB y: − =1 0
0.25
Mặt khác AB là trục đẳng phương của ,ω Γ nên AB có phương trình 2 23 0
10
2 13
ρ = , bởi vậy Γ: (x−3)2+(y−4)2 =13
0.25
8b + Đường thẳng d đi qua M(0; 2;0)− , có véctơ chỉ phương ur= −(1; 2;2)
MI u
d I d
u
uuur r
L
+ Khẳng định mặt cầu cần tìm có bán kính bằng ( ; )d I d và viết phương trình
9
Trang 5Giải các phương trình, thu được z= ±i và z= ±2 rồi kết luận 0.25
